第1章 1 三角形内角和定理-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理和三角形的全等 要点提示 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 注意：无论是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形，三个内角的和都是180° 三角形的全等：(I)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS);(2)全等三角形的对应 边相等、对应角相等 之O1固基础念 。 来检查模板是否合格？ 知识点1三角形内角和定理 1.在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则 ∠C的度数为 A.35° B.40° C.45° D.50° 2.将一个三角尺（∠A=30) 按图所示的位置摆放，直线 B… D ◇Xa C 知识点(3全等三角形的判定与性质 a∥b.若∠ABD=20°，则 第2题图 5.如图，AB与CD相交于点 ∠a的度数是 O,且OA=OB.添加下列选 知识点2三角形内角和定理的应用 项中的一个条件，不能判定 第5题图 3.《周礼》中记载：“半矩谓之宣，一宣有半谓之 △AOC≌△BOD的是 ( 橘…”意思：直角的一半的角叫作宣，一宣 A.OC=OD B.∠C=∠D 半的角叫作褐1宜=矩1橱=12宜，1矩 C.AC=BD D.AC∥BD 6.如下图，∠A=∠B,AC=BD,点D在边 =90°).图①为中国古代的一种强弩，图②为 AC上，∠1=∠2.求证：△AEC≌△BED. 这种强弩的部分组件的示意图.若∠A= 1矩，∠B=1橘，则∠C= 图① 图② 第3题图 4.一个大型模板如下图所示，设计要求BA和 CD相交成30°角，DA和CB相交成20°角. 怎样通过测量∠A,∠B,∠C,∠D的度数 下册第一章 02提能力 O3拓思维 7.如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC 11.抽象能力【问题情景】如图，在同一平面 点A的对应点为点A'.若∠A'=32°，∠B= 内，点B和点C分别位于一块直角三角尺 112°，则∠A'NC的度数是 PMN的两条直角边PM,PN上，点A与 A.114 B.112 点P在直线BC的同侧，连接AB,AC.若 C.110° D.108° 点P在△ABC内部，则∠ABP,∠ACP 与∠A的大小是否满足某种确定的数量 A 关系？ 【特殊探究】(1)若∠A=55°，则∠ABC十 ∠ACB= ,∠PBC+∠PCB 第7题图 第8题图 ,∠ABP+∠ACP= 8.如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交 AC于点E,DE=FE,FC∥AB.若AB=4, CF=3,则BD的长是 【类比探索】(2)请猜想∠ABP+∠ACP与 ∠A的数量关系，并说明理由. 9.在△ABC中，AD为边BC上的高.若∠B 【类比延伸】(3)改变点A的位置，使点P =30°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为 在△ABC外，其他条件都不变，判断(2)中 的结论是否仍然成立？若成立，请说明理 10.如下图，AD,AE分别是△ABC的高和角 由；若不成立，请直接写出∠ABP,∠ACP 平分线，∠B=50°，∠ACB=80°，点F在 与∠A满足的数量关系式， BC的延长线上，FG⊥AE,垂足为H,FG 与AB相交于点G.求： (1)∠AGF的度数. A (2)∠DAE的度数. 用 数学八年级BS版 第2课时 三角形内角和定理的推论 要点提示 三角形的外角：三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作三角形的外角， 三角形内角和定理的推论：(1)三角形的一个外角等于与它不相部的两个内角的和，(2)三角 形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 符号语言：如右图，：∠1是△ABC的一个外角（已知），.∠1=∠2+∠3，且∠1>∠2，∠1>∠3. O1固基础之 BP并延长交AC于点D,连接PC,则图中 ∠1，∠2，∠A的大小关系是 ( 知识点1三角形的外角定义 A.∠A>∠2>∠1 1.如图，点D在线段BC的延长线上，过点B B.∠A>∠1>∠2 作射线BF交AC于点E.下列是△ABE的 C.∠2>∠1>∠A 外角的是 ( 第5题图 D.∠1>∠2>∠A A.∠ACD B.∠AEB 6.如右图，D是△ABC的边 B C.∠AEF D.∠CEF AC延长线上的一点，E是 BC上一点，连接DE.求证： ∠BED>∠A. C D 第1题图 第2题图 知识点2三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和 2.如图，∠A=45°，∠B=55°，则∠DCA的度 数为 ( A.100° B.80° C.55° D.90° 3.如图，AB∥CD,∠B=75°，∠E=27°，则 易错点 运用外角的性质时忽略“不相 ∠D的度数为 邻”而致错 7.下列说法正确的是 A.三角形的一个外角等于任意两个内 角的和 第3题图 第4题图 B.三角形的一个外角小于它的一个 4.如图，若∠A=∠B=∠C=35°，则∠CDB= 内角 C.三角形的一个外角大于与它相邻的 知识点3三角形的一个外角大于任何一个 内角 与它不相邻的内角 D.三角形的一个外角大于任何一个与 5.(教材变式)如图，P是△ABC内一点，连接 它不相邻的内角 下册第 章 02提能力 O3拓思维 8.如图，点D,E分别在线段BC,AC上，连接 11.我们学习了由三角形内角和定理得出的推 AD,BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C= 论：三角形的一个外角等于与它不相邻的 50°，则∠1的度数为 两个内角的和.已知∠ACD是△ABC的 A.60 B.70 C.75° D.859 一个外角（如图①），则∠ACD=∠A +∠B. (1)如图②，线段AB,CD相交于点O,连 接AC,BD,我们把形如这样的图形称为“8 第8题图 第9题图 字型”.请仔细观察该图形，直接写出∠A, 9.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,点D,E ∠B,∠C,∠D之间的数量关系： 分别在边BC,AC上，∠ADE=2∠AED, ∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于 (2)如图③，这是由线段组成的一个“风筝” 点F.若∠F=52°，则∠EDC的度数为 形状.若∠BOF=120°，运用(1)中得出的 数量关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+ 10.如下图，已知CE是△ABC的外角∠ACD ∠E+∠F的度数， 的平分线，且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=35°，∠E=20°，求∠BAC的度数. (2)求证：∠BAC=∠B+2∠E 1 数学八年级BS版 第3课时多边形的内角和 要点提示 多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n一2)·180°(n是大于或等于3的自然数) O1固基础 02提能力◆ 知识点1多边形的内角和 7.(2025武威，有改动)如图，一个多边形纸片 1.一个七边形的内角和等于 的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个 A.540°B.900° C.980° D.1080° 内角后，所得新多边形的边数为 () 2.一个多边形的内角和不可能是 ( A.12 B.11 C.10 D.9 A.720°B.1080°C.1620° D.1900° 3.(教材变式)从一个n边形的同一顶点出发， 分别连接和它不相邻的各顶点.若把这个n 06 边形分成8个三角形，则这个多边形的内角 第7题图 第8题图 和为 8.如图，在平面上将边长相等的正三角形、正 4.求下列图形中x的值（图②中AB∥CD). 方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠 D 在一起，则∠3+∠1一∠2等于 () 14090 Ex150 N359 A.60° B.45°C.24°D.18 B 9.抽象能力用一条宽度相等的足够长的纸条 图① 图② 打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧，压平 后可以得到如图②所示的正五边形ABCDE, 则图②中∠EAC的度数为 图① 图② 知识点2正多边形的内角 第9题图 5.若一个正多边形的每一个内角的度数都是 10.如下图，以正六边形ADHGFE的一边AD 150°，则这个正多边形的边数是 ( 为边向外作正方形ABCD,连接BE,DE. A.10 B.12 C.14 D.15 求∠BED的度数. 6.(2025自贡)如图，正六边形与正方形的两邻 边相交，则α十3= 第6题图 A.140° B.150°C.160° D.170° 下册第 章 第4课时 多边形的外角和 要点提示 多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。 O1固基础 02提能力 知识点多边形的外角和 6.如图，CG平分正五边形AB 1.如图所示，小花同学想用一张长方 CDE的外角∠DCF,并与 形纸片剪出一个正五边形，其中正 ∠EAB的平分线交于点O, 五边形的一条边与长方形的边重 则∠AOG的度数为() 第6题图 合.则∠a的大小为 ( )第1题图 A.144°B.126° C.120° D.108 A.54° B.60° C.70° D.72° 7.如图①，作∠BPC的平分线PD,并反向延 2.(教材变式)若一个多边形的边数增加1，则 长得到PA.分别以∠APB,∠APC, 这个多边形的内角和与外角和增加的度数 ∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1. 例如，若∠BPC=90°，以∠BPC为内角，可 之和是 ( A.60 B.90° C.180°D.360° 作出一个边长为1的正方形，此时∠BPD= 90° 3.交通指示牌中“停车让行标志”外轮廓可以 =45°，45是360'的8，这样就怡好可作 看成是正八边形，如图所示，则∠1= 出两个边长均为1的正八边形，如图② (1)图②的外轮廓周长是 (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一 个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外 轮廓周长. 第3题图 第4题图 4.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的4个外角.若∠A=120°，则∠1+∠2+ 图① 图② ∠3+∠4= 5.如下图所示，小明从点A出发，沿直线前进 8m后左转40°，再沿直线前进8m,又左转 40°，….照这样走下去，直至他第一次回 到出发点A时停止， 40° (1)整个行走路线是什么图形？ (2)小明一共走了多少米？ 409 数学八年级BS版参考 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理和三角形的全等 1.C2.50° 3.2.5°【解析】：1宜=号矩，1欄=1宜1矩 90,∠A=1矩，∠B=1褐∴∠A=90.∠B=名× ×90°=67.59，∠C=180°-∠A-∠B=180° 1 90°-67.5°=22.5°. 4.解：如图，延长BA,CD相交于点 E,延长DA,CB相交于点F :设计要求BA和CD相交成30 角，即∠E=30°， ∴.只要量得∠ABC+∠C=180°- ∠E=150°，就可以判定BA与CD 相交成30°角. 同理，只要量得∠C+∠CDA=180°-∠F=160°，就 可以判定DA与CB相交成20°角. 5.C 6.证明：如图，设AE和BD相交于 点O 在△AOD和△BOE中，∠AOD =∠BOE,∠A=∠B, .∠BEO=∠2. 又，∠1=∠2，.∠1=∠BE0, .∠1+∠AED=∠BEO+∠AED, 即∠AEC=∠BED (∠A=∠B, 在△AEC和△BED中，∠AEC=∠BED, AC=BD, .'.△AEC≌△BED(AAS). 7.D8.1 9.80°或40°【解析】当△ABC为锐角三角形时，如 图①， ∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90° =60°， ,∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°： 图② 答案 当△ABC为钝角三角形时，如图②， ∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90° =60°， .∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°. 综上所述，∠BAC的度数为80°或40°. 10.解：(1)：∠B=50°，∠ACB=80°， ∴.∠BAC=180°-50°-80°=50°. .AE是∠BAC的平分线， ∠BAE=2∠BAC=25. :FG⊥AE,.∠AHG=90°， ∠AGF=180°-90°-25°=65° (2).'AD⊥BC,.∠ADB=90°. ∠AEB=180°-25°-50°=105°， .∠AED=180°-105=75°， ∴.∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=15. 11.解：(1)125°90°35° (2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A.理由如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A. :∠ABC=∠ABP+∠PBC,∠ACB=∠ACP +∠PCB, .∠ABP+∠PBC+∠ACP+∠PCB=180 -∠A, ∴.∠ABP+∠ACP+∠PBC+∠PCB=180 -∠A. 在Rt△PBC中，∠BPC=90°， ∴.∠PBC+∠PCB=90°， .∠ABP+∠ACP+90°=180°-∠A, ∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)不成立.∠ABP,∠ACP与∠A满足的数量关系 式是∠A十∠ACP-∠ABP=90°或∠A+∠ABP -∠ACP=90°或∠A-∠ABP-∠ACP=90°. 【解析】(3)分以下三种情况讨论： ①如图①，设AB交PN于点O. :∠AOC=∠BOP, .∠A+∠ACP=90°+∠ABP, .∠A+∠ACP-∠ABP=90° 图① ②如图②，设AC交PB于点O. :∠AOB=∠COP, ∴.∠A+∠ABP=90°+∠ACP, ∴.∠A+∠ABP-∠ACP=90 下册参考答案 ③如图③.：∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°，∠P+∠ABP+ ∠ACP+∠ABC+∠ACB =180°， 图③ ∴.∠A=∠P+∠ABP+ ∠ACP, .∠A-∠ABP-∠ACP=90. 综上所述，∠ABP,∠ACP与∠A满足的数量关系 式是∠A+∠ACP-∠ABP=90°或∠A+∠ABP -∠ACP=90°或∠A-∠ABP-∠ACP=90°. 第2课时三角形内角和定理的推论 1.C2.A3.48°4.105°5.D 6.证明：，∠ECD是△ABC的外角，∴.∠ECD>∠A. :∠BED是△ECD的外角，∴.∠BED>∠ECD, .∠BED>∠A. 7.D8.B 9.26°【解析】：BF平分∠ABC,DF平分∠ADE, ,∴.∠ABC=2∠DBF,∠ADE=2∠EDF. :∠ABC=2∠C,∠ADE=2∠AED, ∴.∠C=∠DBF,∠AED=∠EDF. :∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠EDF=∠C+∠EDC. :∠EDF+∠EDC=∠CDF=∠F+∠DBF=∠F +∠C, ∴.∠C+∠EDC+∠EDC=52°+∠C, 解得∠EDC=26°. 10.解：(1)∠B=35°，∠E=20°， .∠DCE=∠B+∠E=55°. ,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴.∠ACD=2∠DCE=110°， ∴.∠BAC=∠ACD-∠B=75° (2)证明：，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴.∠ACE=∠DCE. :∠DCE=∠B+∠E ∴.∠ACE=∠B+∠E. :∠BAC=∠ACE+∠E, ∴.∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E. 11.解：(1)∠A+∠C=∠B+∠D (2)连接EF,如图. 由(1)的结论可得∠B十∠C= B ∠EFO+∠FEO=∠BOF=120°， ∠A+∠D=∠EFD+∠FEA. 又：∠EFD=∠EFO-∠CFD, ∠FEA=∠FEO-∠AEB, ∴.∠A+∠D=∠EFO-∠CFD+∠FEO-∠AEB =∠BOF-∠CFD-∠AEB=120°-∠CFD -∠AEB, ∴.∠A+∠D+∠CFD+∠AEB=120°， .∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠CFD =240°. 数学八年级BS版 第3课时多边形的内角和 1.B2.D 3.1440°【解析】由题意得n一2=8，∴.这个多边形的内 角和为8×180°=1440°. 4.解：图①中，2x=360°-90°-140°，∴.x=65. 图②中，AB∥CD,∴.∠C+∠B=180°， ,.x=(5-2)×180°-150°-135°-180°=75°. 5.B6.B7.A 8.C【解析】正三角形的每个内角的度数是180°÷3 =60°， 正方形的每个内角的度数是360°÷4=90°， 正五边形的每个内角的度数是(5-2)×180°÷5 =108°， 正六边形的每个内角的度数是(6一2)×180°÷6 =120°， 则∠3+∠1-∠2=(90°-60)+(120°-108)- (108°-90°)=30°+12°-18°=24°. 9.72°【解析】：正五边形ABCDE的内角和为(5-2) ×180°=540°， 540° ·∠AED=5 -=108° 由题意得AC∥DE,∴.∠EAC=180°-∠AED=180° -108°=72° 10.解：.六边形ADHGFE为正六边形， 六AE=AD,∠DAE=6-2)X180 6 =120°， 心∠AED27×(180-120°)=30 ,四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD=AE,∠BAD=90°， ∴.∠BAE=360°-120°-90°=150°， 六∠AEB=2×180°-150)=15， ∴.∠BED=∠AEB+∠AED=15°+30°=45. 第4课时多边形的外角和 1.D2.C3.45 4.300°【解析】设∠A的外角为∠5，则∠5=180°一 ∠A=180°-120°=60°. ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=300° 、360° 5.解：(1)40°=9，整个行走路线是正九边形。 (2)8×9=72(m),小明一共走了72m. 6.B【解析】，任意多边形的外角和等于360°，且五边 形ABCDE是正五边形， ,∴.∠DCF=360°÷5=72°， .这个正五边形的每个内角为180°-72°=108°， .∠B=∠EAB=∠BCD=108°. :A0平分∠EAB,∴∠OAB=专∠EAB=54 :CG平分∠DCF,∠DCG=2∠DCF=36. ∴.∠BC0=∠BCD+∠DCG=108°+36°=144°， .∠AOC=360°-（∠BAO+∠B+∠BCO)=360°- (54°+108°+144°)=54°， .∠A0G=180°-∠A0C=180°-54°=126° 7.解：(1)14 (2)设∠BPC=2x,.以∠BPC为内角的正多边形的 360°180° 边数为180°-2x-90°-x 以∠APB,∠APC为内角的正多边形的边数均 为360 180°-2+360°-2+ :会标的外轮廓周长C是g0-x x 360°-2=180+720 一6 x 90°-xFx 180° 根据题意可知90°一 360 与 均为整数，x的值只能 为30°，45°，60°，72. 180° .7209 当x=30°时，C=90°-30+30° -6=21: 180° ,720 当x=45时，C=90°-45十45 -6=14: 180° 1720° 当x=60时，C=90°=60+60° -6=12: 180° ,720° 当x=72°时，C=90°-72+72°-6=14. 综上所述，当x=30时，周长最大，此时会标的外轮廓 周长是21. 2等腰三角形 第1课时等腰三角形和等边三角形的性质 1.C 2.解：CA=CB,∠CBA=∠CAB=2(180°-∠1) =74°.a∥b,∴.∠2=∠CBA=74°. 3.35°4.45.D 6.证明：，△ABC是等边三角形， .∴.AB=CA,∠BAC=∠ACB=60°， ∴.∠EAB=∠DCA=120°. (AE=CD, 在△EAB和△DCA中，∠EAB=∠DCA, AB=CA, .∴.△EAB≌△DCA(SAS),∴.AD=BE 7.40°或140°8.D9.78° 10.4【解析】在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, .CD=BD,SAABC=2SAABD ∴2AC·BF=2X2AB,DE, .AC=AB,DE=2...BF=2DE=4. 11.解：(1)证明：：△ABC和△EDC均为等边三角形， ∴.BC=AC,CD=CE,∠B=∠ACB=∠DCE =60°， ∴.∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE, .∠BCD=∠ACE. 在△BCD和△ACE中，BC=AC,∠BCD=∠ACE, CD=CE, ∴.△BCD≌△ACE(SAS),∴.∠B=∠CAE. 又∠B=∠ACB, ∴.∠CAE=∠ACB,∴.AE∥BC. (2)当点D运动到AB的中点时，BC⊥EC. 理由：，△ABC为等边三角形，D为AB的中点， .CD⊥AB,∠BDC=90°，∴∠BCD=30°， ∴.∠BCE=∠BCD+∠DCE=30°+60°=90°， .BC⊥EC 12.解：(1)猜想：∠BAD=2∠CDE.证明如下： 设∠B=x,∠ADE=y. AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠C=x. :∠AED=∠ADE,∴∠AED=y, ∴.∠CDE=∠AED-∠C=y-x,∠DAE=180° ∠ADE-∠AED=180°-2y, ∴.∠BAD=180°-∠B-∠C-∠DAE=180°-x x-(180-2y)=2(y-x), .∠BAD=2∠CDE. (2)∠BAC>25°，∠BAD=25°， ∴点D不在BC的延长线上，故可分为以下两种情 况：①当点D在线段BC上时，如图①，此时点E在 CA的延长线上或线段AC上，则∠ADE=∠AED, ∠ADE'=∠AE'D, ·∠ADE+∠ADE'=∠AED+∠AE'D. 又：∠ADE+∠ADE'+∠AED+∠AE'D=180°， ∴.∠ADE+∠ADE'=∠AED+∠AE'D=90. 由1知，∠CDE=g∠BAD=12,5 .∠CDE=90°+12.5°=102.5°； ②如图②，当点D在CB的延长线上时，点E在CA 的延长线上或AC的延长线上.同(1)的方法得 ∠BAD=2∠CDE',∴.∠CDE=12.5°.同理可得 ∠EDE'=90°，.∠CDE=77.5 综上所述，∠CDE的度数为12.5°或102.5°或 77.5°. B 图① 图② 下册参考答案