由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练——2026届高三数学一轮复习

函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 考点目录 由零点数量求参数范围问题 极值点偏移问题 考点一 由零点数量求参数范围问题 例1.(2026云南昭通·模拟预测)已知函数f(x)=nx-x-2,若函数有3个零点，则k的取值范围是() n.(o) . 2.2526高三上黑济济哈尔期末)已知函数f网三。，0若函数g=八-kx+有3个零点 则实数k的取值范围为() A.1-2,0 B.(V2-3,0 c.(1-2v2,0 D.(22-3,0 例3.(25-26高三上江苏期末)己知f(x)= x4+3x3-2x,x< elnx,x>0 0,若函数g)=f)-mr有两个零点，则正数m的 取值范围是 xe,x<1 例4.(25-26高三上贵州六盘水·月考)己知函数f（x)= r,x≥1'函数8=(-m恰有3个零点，则实数 m的取值范围是_ 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 例5.(25-26高三上~山东枣庄月考)已知函数fx=n(x+1+(a∈R)】 x+1 (1)当a=-1时，讨论f(x的单调性： (2)若f(x)在区间(-1,0)上恰有一个零点，求a的取值范围. 例6.(25-26高三上甘肃兰州期末)已知函数f(x)=e-a(x+2). (1)当a=1时，讨论f(x的单调性； (②)若fx)有两个零点，求a的取值范围. 2 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 变式1.(25-26高三上河南月考)设m>0,函数f（x)=a"m-x(a>1)在区间(1，+o)上有唯一零点，则ma2的最 小值为() A.3 B.e C.3 D.e e Inx,x>1 变式2.(25-26高三上河南鹤壁·月考)已知定义在R上的函数f(x)= x-,x≤1：若函数(=f到+ar恰有 2个零点，则实数☑的取值范围为() A.（,uou,+m B.（-3ol+m c.（1-g(g*j D.(u 变式3.(25-26高三上·贵州贵阳月考)函数f(x)=2x-a-血(x-1有且只有一个零点，则a的取值范围是 变式4.(25-26高三上·上海杨浦·期中)已知函数y=xe-a有两个零点，则实数a的取值范围为 变式5.(2026陕西咸阳·一模)己知函数f(x=a(x-5)+6lx(a∈R),曲线y=f(x在点(1，f(1)处的切线与y轴 相交于点(0,6) (1)求函数∫x)的单调区间： (2)若函数y=∫(x+b有三个零点，求实数b的取值范围. 3 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 变式6.(25-26高三上·黑龙江·月考)已知函数f(x=(2x-1)e-mx-1,meR (1)当m=1时，求函数f(x)的图象在1，∫1)处的切线方程； (2)若∫(x)有2个极值点，求m的取值范围； (3)若(x)有2个零点，求m的取值范围 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 考点二 极值点偏移问题 例1.(25-26高二上广东汕头期末)已知函数f(x)=nx+-1(a∈R). (I)讨论f(x的单调性： (2)若f(x)≥0对所有x>0成立，求a的最小值： (3)设gx=fx+x-1,若gx有两个零点x,x,(x<x2),求证：x+x2<2. 例2.(25-26高三上福建厦门月考)己知函数f(x=x-1)lnx-x2+axa∈R). (1)若函数y='(x有两个零点，求a的取值范围； (2)设x,x2是函数f(x的两个极值点，证明：2.2>4. 5 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 例3.(25-26高三上·湖南衡阳月考)已知函数f(x)=xe. (I)求函数∫(x)的单调区间： (2)己知函数gx)的图象与∫(x)的图象关于直线x=1对称，证明：当x>1时，∫x)>gx: (3)如果x≠x2,且fx=∫(x,证明：x1+x2>2. 例4.(25-26高三上广东深圳月考)己知函数f(x=(x+a)e,直线y=2x+1是曲线y=f(x的一条切线. (I)求a的值，并讨论函数∫(x)的单调性； (2)若f(x)=f(x2,其中x<x2,证明：xx2>4. 6 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 变式1.(25-26高三上河北唐山月考)已知函数f(x)=(x-e-1)e-er2+ex. 21 (1)求函数∫(x)的单调区间与极值： 2)若f(x)=f()=f(x(x<x,<x,求证：占二立<e-1. 2 变式2.(25-26高三上江苏南京·月考)已知函数f(x)=e-ax(e是自然对数的底数). (I)讨论函数f(x)的单调性： (2)若g(x)=e(x-l)-alnx+f(x)有两个零点分别为x1,x2 ①求实数a的取值范围； ②求证：> e5+5 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 变式3.(25-26高三上浙江衢州月考)己知函数g(x=lnx-ax2+(2-ax(a∈R). (1)求gx)的单调区间： ②若函数=8（到+ar-2+a,0<<是函数的两个零点，证明：了生0. 变式4.(25-26高三上福建龙岩·月考)设函数f(x)=lnr+(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个零点X1,x2, ①求a的取值范围； ②证明：2a<x1+x2<1.函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 函数与导数：由零点数量求参数范围问题、极值点偏移问题专项训练 考点目录 由零点数量求参数范围问题 极值点偏移问题 考点一 由零点数量求参数范围问题 例1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为， 所以切线的斜率为， 即有， 解得， 所以切线的斜率为， 所以. 故选：B. 例2．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，当时，， 令，则，令，则；令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以当时， 方程无实数根； 当时，方程有1个根； 当时，方程有2个根； 当时，方程 有1个 根 . 当 时 ，， 令 且， 则 ， 由 ， 知在和上单调递减，当时，，当时，， 所以当时，方程无实数根， 当或时，方程有1个根， 综上可知，当和时，方程有1个根. 当时，方程有3个根， 当，及时，方程有2个根， 所以当时，函数有3个零点. 故选：D. 例3．（25-26高三上·江苏·期末）已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是 【答案】 【详解】令函数，可得有两个不等实根， 当时，，整理得， 令，则， 令，解得或0（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，； 当时，，整理得， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，， 作出、与图象，如下图所示： 因为函数有两个零点，且， 所以与和图象一共有两个交点， 由图象得，则正数m的取值范围是. 故答案为： 例4．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，则， 令， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，，当. 当时，，则， 令， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 当时，，，当， 作出函数的图象如图所示． 因为函数有3个零点， 所以与的图象有3个交点， 由图知，即实数的取值范围为. 故答案为： 例5．（25-26高三上·山东枣庄·月考）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2). 【详解】（1）当时，则， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）令，可得， 因为，记，， 原题意等价于在内恰有一个零点， 因为， 当时，则，可知在单调递减， 且，所以在区间上无零点，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，当趋近于时，趋近于， 则，解得； 综上所述：的取值范围为． 例6．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【详解】（1）当时，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值. 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点. 变式1．（25-26高三上·河南·月考）设，函数在区间上有唯一零点，则的最小值为（    ） A． B．e C．3 D． 【答案】C 【详解】令，，两边取对数得，整理得. 设函数，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，有唯一零点，且，则，所以， 即， 设，, 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 易知在上的最小值为， 所以，当且仅当时取等. 故选:C. 变式2．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出函数的图象，如图示： 当时，，， 设直线与的图象相切，切点为， 则，解得， 所以为的一条切线方程， 当时，， 设直线与的图象相切， 联立可得，即，令，解得， 所以为的一条切线方程， 当时，， 设直线与的图象相切， 联立可得，即，令，解得， 所以为的一条切线方程， 考虑直线，，与曲线相切， 由直线与曲线的位置关系可得： 当时函数图象与直线有两个交点， 即时函数恰有两个零点． 故选：B． 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）函数有且只有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为. 函数有且只有一个零点等价于只有一个解， 即函数与的图象在上有且只有一个交点. 函数的图象如图，过点，且在上单调递减，在上单调递增. 函数，图象为顶点在，开口向上的V形折线，对称轴为，且沿轴左右平移. 通过观察图象可知，当与在上相切时，有一个交点； 当与在不相交时，有一个交点. 当与在上相切时， ，令，解得，此时切点坐标为， 代入中，可得. 此时当时，函数与在上有1个交点，满足条件； 同理可得，当时，函数与在上有2个交点， 当时，函数与在上有1个交点，在上有1个交点； 综上，的取值范围为. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由可得， 令，其中，则直线与函数的图象有两个公共点， ，由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为， 函数的极小值为， 当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 变式5．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是. (2) 【详解】（1）因为，故， 令，得，， 曲线在点处的切线方程为， 因为切线与轴相交于点， 将代入切线方程得， 即，. 即，， ，令，得或， 当或时，，故在，上单调递增； 当时，，故在上单调递减. 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； （2）由（1）知函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 故函数在处取得极大值，在处取得极小值， 因为函数有三个零点，即方程有三个实数根， 且当时，，当时，， 故，所以， 即实数的取值范围是. 变式6．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数，. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若有2个极值点，求的取值范围； (3)若有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，，，所以.     所以的图象在处的切线方程为，即. （2）因为函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点， 而，令，所以，     设，只需与的图象有2个交点，， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，.     又时，且， 所以当时，函数有2个极值点. （3），1不是的零点， 令，则， 所以，令，欲使函数有2个零点，只需直线与的图象有2个交点，，     当或时，，在和上单调递增； 当或时，，在和上单调递减，且， 的极大值为，的极小值为，     又当时，且，当且时，，当且时，，当时，，所以当或时，直线与的图象有2个交点， 即有2个零点时，的取值范围是. 考点二 极值点偏移问题 例1．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)1； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 例2．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 例3．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减为； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）. 。 则的单调递增区间为，单调递减为； （2）因的图象与的图象关于直线对称， 则. 构造函数， 则. 因，则， 则在上单调递增，则， 即当时，； （3）法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函数在处取得极大值，且，如图所示． 由，不妨设，则必有， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，， 也即对恒成立．由，得， 所以，即， 又因为，且在上单调递减，所以， 即 法二：欲证，即证，由法一知， 故， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为， 故也即证，构造函数， 则等价于证明对恒成立． 由，则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 法三：由，得，化简得， 不妨设，由法一知，．令，则， 代入，得，反解出，则， 故要证：，即证：， 又因为，等价于证明：， 构造函数，则， 令. 故在上单调递增，， 从而也在上单调递增，，即证成立， 也即原不等式成立． 例4．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 【答案】(1)，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）设直线与曲线相切于点， ， 又，即， 设，则，在上单调递增， 又，有唯一零点， ，解得， ， 则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知， 当时，；当时，， ， 要证，只需证．在上单调递减， 只需证，又， 则只需证对任意恒成立． 设， 则， 设，则， 在上单调递减，． 又当时，， 在上单调递增， ，即在时恒成立， 又．故原不等式得证． 变式1．（25-26高三上·河北唐山·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． (2)证明见解析 【详解】（1）定义域为，， 令，解得或， 当时，；当时，． 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的极大值为，极小值为． （2）证明：由（1）知． 令，则 ． 令，则． 令，则． 在上恒成立，在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，． 又，． 在上单调递增，，，即． 令，则 ． 在上单调递增， 在上恒成立， 在上单调递增，， 对任意恒成立． ．又． 在上单调递增，且， ．由，得， ，． 变式2．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 变式3．（25-26高三上·浙江衢州·月考）已知函数（）． (1)求的单调区间； (2)若函数，是函数的两个零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， ， ①当时，，则在上单调递增； ②当时，若，则，若，则， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，单调递增区间为，无递减区间； 当时，单调递增区间为；单调递减区间为. （2）由已知可得，可得， 由可得，要证，即证， 即证，即证， 由题意可知，令，即证， 构造函数，其中，即证， ，所以，函数在上单调递增， 当时，，故原不等式成立. 变式4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由，，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； （2）①因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值 当，，当，在上有一个零点， 当，，当，在上有一个零点， 所以由可得 ②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设． 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且． 因为当时，单调递增，所以，即 设，，则，则，即． 所以，． 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即． 综上， 2 学科网（北京）股份有限公司 $