函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 考点目录 利用导数研究含参单调性讨论问题 利用导数研究零点问题 极值点偏移问题 考点一 利用导数研究含参单调性讨论问题 例1．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 例2．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 令得，令得，令得， 所以的单调递增区间为，递减区间为， 所以在处取得最小值. （2）， 则， ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增. 综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，不存在减区间. （3）在区间上存在一点，使得成立， 即在区间上存在一点，使得， 即函数在上的最小值小于等于零. 由（2）可知 当，即时，在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，满足， 所以； 当，即时，在上单调递增. 所以最小值为，由可得，满足， 所以； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可得最小值为，因为，所以， 故，此时不成立. 综上讨论可得所求的范围是：或. 例3．（25-26高三上·甘肃·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 例4．（25-26高三上·广东广州·阶段练习）已知函数． (1)当，求在区间上的最大值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，求导得， 因，当或时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值为，又， 故在区间上的最大值为6. （2）因，令或， 则当，即时，，即在上单调递增； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上， 当时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 变式1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，无最值；当时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值． 【详解】（1）当时，，求导得 ， ，， 在处的切线方程为：，即. （2），求导得， 当时，，在上单调递增，无最值； 当时，令，解得， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，极小值（也是最小值）为，无最大值． 当时，在上单调递增，无最值；当时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值． 变式2．（25-26高三上·江苏·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：当时，，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点为， 所以切线方程为，即. （2）解：由函数，可得函数的定义域，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，即，即，解得； 令，即，即，解得， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 变式3．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）时，，定义域为R， ，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，最小值为； （2）的定义域为R， ， 时，令得或， 若，，故， 的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，，令得或， 令得， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，，令得或， 令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上，若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，单调递增区间为，，单调递减区间为. 变式4．（25-26高三上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，则，， ，，则切线方程为； （2）函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 考点二 利用导数研究零点问题 例1．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)若函数的极小值点为，求的值； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值点为，得； （2）在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 因，则在上单调递减， 则，， 则实数的取值范围是； （3）当时，，则， 令，则， 令，则， 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 例2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)若的极小值小于，求的取值范围； (2)当时，证明：有个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当时，对任意的，， 则函数在上单调递减，则无极小值，不满足； 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得，即在上单调递减， 所以的极小值为，而的极小值小于， 所以，即， 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得. 故的取值范围为. （2），， 令，得， 令，，则与有相同的零点， 且． 令，，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值， 又当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当时，，则有2个零点，故有个零点． 例3．（25-26高三上·宁夏固原·阶段练习）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，取得极小值，无极大值. (2). 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 求导得，由可得， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，取得极小值，无极大值. （2）由方程有两个不等实根可知，，化简得， 依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点. 由，当时，恒成立，当时，恒成立， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值， 且当；当，且， 故可作出函数的图象如下.    由图知，当且仅当时，函数与有两个交点.， 故的取值范围为. 例4．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，， 在点处的切线方程为： （2）定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知且， ， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是 变式1．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）， 当时，，则，故在上单调递增； 当时，令，解得或（负值，舍去）， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）（i）若，在上单调递增，不可能有两个不同零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则有，即， 解得，即， 又时，，， 故存在，使得， 即的取值范围为； （ii）由，则，由，则， 若，即时，有， 要证，只需证， 又，即只需证， ， 令，， ， 令，，则， 则在上单调递减， 又， 则当时，，故在上单调递增， 又， ， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，时，， 故，则，即有，即； 若，即时， 由，，， 故，故； 综上所述：. 变式2．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)设函数 (ⅰ)求函数的单调区间； (ⅱ)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)(ⅰ)答案见解析；(ⅱ). 【详解】（1）当时，， 由，可得. 所以函数在点处的切线方程为：，即. （2），. (ⅰ)因为，. 当即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当即时，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (ⅱ)由，可得，. 设，，则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且当时，；；当时，, 当时，;当时，. 作出函数的大致图象如下： 要使有两个零点，需使与有两个交点，由图知，解得. 所以当时，函数有两个零点. 变式3．（2025·浙江金华·一模）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，讨论在区间上零点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)3个. 【详解】（1）由，则，显然，所以切线方程为； （2），此时， 法一：分离参数法，从而， 令，则， 所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 因此，故的取值范围为； 法二：必要性探路，， 令，， 下证：，时，恒成立， 由一次函数在上递减， 则， 在和上恒成立，且时， 所以恒成立，故的取值范围为； （3）在区间上有3个零点，理由如下： 由于，所以是函数的一个零点，， 当时，此时恒成立，又由（1）知恒成立， 从而恒成立，所以在区间上没有零点； 当时，此时，， 若是的导数，则， 由于恒成立，所以，即在上单调递增， 从而存在使得，且，， 即在区间上递减，区间上递增，从而， 又，所以在有唯一零点，即在上有唯一零点； 当时，此时，从而， 由于时，，所以， 又，从而恒成立， 即在上恒成立，所以在区间上单调递增， 因为，， 因此在区间上有唯一零点， 综上所述，函数在区间上有3个零点. 变式4．（25-26高三上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)设实数使得恒成立，求的取值范围； (3)设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由题可得函数的定义域为，且， 则，因， 所以在点处的切线方程为，化简为. 故函数在点处的切线方程为. （2）由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立， 设，则，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取到极大值也是最大值，所以， 所以的取值范围为. （3）由题知令，即，则得，从而得， 由（2）得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数， 又因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且当时，取到极大值也是最大值， 又因为，， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为. 综上所述：当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 考点三 极值点偏移问题 例1．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. （2）函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 例2．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)的零点为0；在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【详解】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 例3．（25-26高三上·河北·阶段练习）已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）定义域为， 由题意可得. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，，且， 则，解得，即的取值范围为； （2）证明：先证明对一切不相等的正实数，都有. 不妨设，要证，即证 设， 则， 所以在上单调递增，所以，即当时，有， 故，即. 因为是的两个零点，所以 所以，则， 所以，则. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，所以，即. 例4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知，， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，，， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证， 因为，所以， 而，得证. 变式1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）（i）函数，求导得， 令，得， 设，求导得，， 令，得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 于是，由有两个极值点，得方程有两个实根， 即有两个实根，则. （ii）由（i）知，是方程的两个实根，即，且， 设，求导得， 令，则当时，， 即函数在上单调递增，则，即当时，， 于是函数在上单调递增，则，因此， 则，即，而，又在上单调递减， 因此，所以. 变式2．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），， 其中，， 当时，即，此时恒成立， 函数在区间单调递增， 当时，即或， 当时，在区间上恒成立， 即函数在区间上单调递增， 当时，，得或， 当，或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； （2）①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是，、是方程的两根， 有，， 又的图象与有三个公共点， 故，则， 要证，即证，又， 且函数在上单调递减，即可证， 又，即可证， 令，， 由， 则 恒成立， 故在上单调递增，即， 即恒成立，即得证； ②由，则， 令，， 则 ， 故在上单调递增，即， 即当时，， 由，故，又，故， 由，，函数在上单调递减，故， 即，又由①知，故， 又， 故. 变式3．（2025·山东日照·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， 且，令，可得， 当，即时，可知在内恒成立， 即在内恒成立，所以在内单调递增； 当，即时，由解得或， 由可知， 若，；若，； 所以在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，可得，， 由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递减， 则，即； 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递增， 则，即； 由和可得. 变式4．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若方程的两个实数根互为相反数，求实数的值； (3)在条件（2）下，若函数有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)增区间是，减区间是 (2)0 (3)证明见解析 【详解】（1）的定义域为R， 故， 令得，令得， 故函数的增区间是，减区间是； （2），即， 设方程的两根分别是和， 故①， ，即②， 由①-②可得：③， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极小值，也时最小值， 故，即单调递增，注意到， 故只有1个零点，即0， 当时，由①可知：，即，无解， 故，则，则有，解得； （3）由（2）可得，， 则， 令得，即， 令，则函数在单调递增，， 函数有两个不同的零点，也即方程在有两根， 其中， 令，则， 令，解得，令，解得， ∴在为减函数，在为增函数， ∴，又时，；时，， ∴m，，， 令， 则，当且仅当时，等号成立， 又，故恒成立， ∴在单调递增，∴时，， 由得，即， 而在单调递减，且，所以，， 即有， ∵， ∴，又， ∴，而在单调递增， ∴，∴. 即得证 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 考点目录 利用导数研究含参单调性讨论问题 利用导数研究零点问题 极值点偏移问题 考点一 利用导数研究含参单调性讨论问题 例1.(2526高三上山东聊城期中)已知函数列=na四++ax-l,其中g0 )当a=l时，若直线=t+b是曲线’=八的一条切线，求力的值： 2讨论的单调性： 例2.(2025-陕西榆林模拟预测)已知函数x=x-anr,gy=-1+aeR. x )诺a=1,求函数的最小值： 2设函数=∫刊-8，讨论函数刊的单调区间： 6)若在区间心上存在一点，使得(}≤8成立，求“的取值范围. 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 例3.(25-26高三上甘肃阶段练习)已知函数f()=e-r。 )当a=1时，求曲线”=f在点0,0)处的切线方程： 2讨论的单调性. 例4.(25-26高三上广东广州阶段练习)已知函数f)=2x+3a++6ar+1laeR) 0)当4=0，求在区间-2刘上的最大值； 、f(x) (2)讨论的单调性. 2 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 变式1.(25-26高三上·安徽阶段练习)已知函数f()=e-r+a(aeR 1)当a=2时，求在0，/)处的切线方程 2讨论（的单调性，并求最值。 变式2.(25-26高三上江苏期中)已知函数f八=c+x )当“=l时，求曲线”=f八在点00处切线方程： 2讨论的单调性： 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 变式3.(25-26高三上北京阶段练习)已知函数f=0- ax2-axa∈R）. 2 )若a=0,求f的最小值 2当a>0时，求八刊的单调区间. 变式4.。(25-26高三上湖北襄阳阶段练习)已知函数=ax+2ar-4nr(a≠0) )诺a=1,求曲线'=f在点Lf处的切线方程： 2求函数刊的单调区间。 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 考点二 利用导数研究零点问题 例1.(2025云南楚雄模拟预测)已知函数f)=(2x+a)©，其中“为常数。 (0若函数的极小值点为=，求的值 2考≥c在*0时恒成立，求实数“的取值范围。 ③当a=1时，若函数8)=f-“在-0,0上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围 例2.(25-26高三上甘啸兰州期中)已知函数/d=m1-刘-hr-1 )若的极小值小于1，求m的取值范围 2当m>1时，证明：8=f利+e-m有2个零点 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 例3.(2526高=上字受固原阶段练习)已知f(=c--,aeR,°是自然对数的底数 山)当a=1时，求函数”=的单调区间、极值以及对应的极值点： 2若关于x的方程冈+1=0有两个不等实根，求“的取值范围 例4。(2025广东广州模拟预测)已知函数f=ae2-(a+2列e+x+2aeR )当a=l时，求曲线'=f在点0，f(0) 处的切线方程： 2讨论函数口的单调性： ③若函数八川有三个零点，求“的取值范围 6 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 变式1.（25-26商三上山西太原阶段练习》已知函数f八=nx+只a∈R). 山)讨论（刊的单调性： 2若有两个零点，(x< (i)求a的取值范围： (ⅱ)证明： +x2>1 f(x)=Inx+acosx,(aER) 变式2.(25-26高三上江苏无锡·阶段练习)已知函数 f(x)P(π，f(π) ①)诺a=e,求函数W在点 处的切线方程： g(x)=f(x)-acosx-2ax+1 (2)设函数 0求函数8() 的单调区间： g(x) ()若 有两个零点，求的取值范围。 > 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 变式3.(2025浙江金华一模)已知函数f(刊=c-x-1 )求”=f八在x=0处的切线方程 hx)≥a-xnx-l (2)若 恒成立，求实数的取值范围： (3)当a≥1时，讨论g到=对-rc0sx在区间-元，受上零点的个数. 变式4。(25-26高三上北京西城阶段练习)已知函数fx=血 )求函数'=在点山f川处的切线方程： 2设实数k使得()<红恒成立，求长的取值范围， [1, 3)设g=fx)-a(keR,求函数8x在区间 」上的零点个数 P 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 考点三 极值点偏移问题 例1.(25-26高三上重庆九龙坡期中)已知函数f八=(x-anx-x, (1)当a=0时， ①求国的最小值： @teN,求正岩 n+14; ②设x:,:(:<是f)的两个极值点，求证：舌+x> e 例2.(2025广东佛山模拟预测)已知函数了)=c+)2-x )设=了，求的容点并判断八的单调性： 2若八=，且<5，证明： (i)+5<0 (ii)+e2 9 函数与导数：含参单调性讨论问题、零点问题、极值点偏移问题专项训练 例3.(25-26高三上河北阶段练习)已知函数)=血x--“,且f)有两个零点， (I)求a的取值范围： (2)证明： x+xx32+x>3 f(x)=a(x-1)-xInx f(x)<0 例4.(2025·湖南岳阳·模拟预测)已知函数 ,且 (1)求a; fex)>3)-f) (2)已知∫'(x)为函数f(x)的导函数，证明：对任意的0<x<x2,均 X2-x; 11 ®证明：对任意的nN,均有+2n+3+2十中不n2 10