专题13 特珠平行四边形中的折叠与最值问题-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（华东师大版·新教材）

同步练测·八年级数学·华师版·下册 ∴.PC+CE=√2CD. 当点P在线段AC的延长线上运动时， 四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ACD=∠DAC=45°，∠ADC=90. 四边形DPFE是正方形，.DP=DE,∠PDE=90°， ∴.∠ADC+∠CDP=∠PDE+∠CDP, 即∠ADP=∠CDE, AD=CD, 在△ADP和△CDE中， ∠ADP=∠CDE, DP=DE, ∴.△ADP≌△CDE(SAS),.AP=CE, .CE-PC=AP PC=AC=2CD. (3)由(2)知△ADP≌△CDE, .∠DCE=∠DAP=45°， .·.∠ACE=∠ACD+∠DCE=90 AB=2,CD=AB=万，.AC=2, .CE=√AE2-AC=√（√29)2-22=5. .AP=CE=5,..PC=AP-AC=5-2=3, .PE=√CE2+PC=√52+32=√34， .DE=DP=√17. 如答图，连结BD,交AC于点0.易知D0=之4C=1, Sams=2DE·DP=子x(VT)2=7,SAmc= P0D0=×3x1=}, 173 六S四边形DCPE=SAPDE+SAPDC=乞+2=10， 5题答图 6.c 7.解：因为四边形ABCD是正方形， 所以OB=0C,∠B0C=90°，L0BC=∠0CD=45° 因为OE⊥OF,所以∠E0F=90°， 所以∠EOB+∠BOF=∠BOF+∠FOC=90°， 所以∠EOB=∠FOC. ,∠EOB=∠FOC, 在△B0E和△COF中， OB=OC. L∠OBE=LOCF, 所以△BOE≌△COF(ASA), 所以BE=CF=2,BF=AE=5. 在Rt△BEF中， EF=√BE2+BF=√22+5=√29 ·40. 专题13特殊平行四边形中的折叠与最值问题 1.B 2.A[解析]如答图，连结GE.四边形 0 ABCD是正方形，.∠B=∠C=∠BAD= 、H ∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=2..E是 BC边的中点，∴BE=CE=1.将△DCE沿G 直线DE翩折得△DE,∴.∠EFD=∠C= B龙 90°，CE=FE=BE=1,DC=DF=2,2题答图 ∴.∠GFE=∠GBE=90°.GE=GE,∴.Rt△EFG≌Rt△EBG, ∴.GF=GB.设GB=GF=x,则AG=2-x,DG=2+x,根据勾 股定理可得AG+AD2=DC2,即(2-x)2+22=(2+x)2, 解得x=分DG=是AG=是“LADG和LD4G的平 分线DH、AH相交于点H,∴.点H到AD、AG、GD的距离相 5 GD 2 1 等，SACDM=GD+AG+ADSAADG=互3×2× 2+2+2 ×2=名故选1 3 3.B4.（-3,4) 5.【探究发现】解：四边形DEGF是菱形.理由如下： .·将△DEF沿EF翻折得到△GEF, ∴.DE=GE,DF=GF. .·DF=DE,∴.GE=DE=DF=GF ∴.四边形DEGF是菱形. 【探究证明】证明：，将△BMN沿MW翻折得到△HMN, .BN HN,BM HM. BN BM..'.HN BN BM HM. ∴.四边形BMHN是菱形，.NH∥BC. E为边AD的中点，M为边BC的中点， .DE=7 AD,BM=7 BC. 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC,.DE=BM,AD∥NH. 四边形DEGF是菱形，∴.DE=FG,FG∥AD, .FG=DE=BM=HN,FG∥NH, .四边形GFHN是平行四边形. 6.c 7.5[解析]如答图，连结BD、BF.AB=8,AD=6,.BD= AB2+AD2=10.:G为BE的中点，H为EF的中点， .BF=2GH,.当BF有最大值时，GH有最大值.F是CD 上的点，.当点F与点D重合时，BF有最大值为10，GH 的最大值为5.故填5. B D 7题答图 8.59.10 10.解：：四边形DAEF为平行四边形， .EF AD,DF=AE. E为线段AC上的动点， ·.可以看作EF是定线段沿菱形ABCD在AC方向上水平 运动，则如答图①，点B的运动轨迹为线段MN,过点E作 关于线段MN的对称点E' 由对称性，得BE=BE', ∴.BE+BF=BE'+BF≥E'F, 当且仅当E、B、F依次共线时，BE+BF取得最小值EF, 此时如答图② 设AC与BD交于点O,EE'交MN于点H,延长E'E交FD 延长线于点G,菱形ABCD中，AC=4,BD=2, .AO-AG=2,BO=DO=7BD=1.ACLBD. 由题可得AC∥MN, ∴由对称性可得EH⊥HB,.AC⊥GH, .∴.∠OEH=∠EOB=∠EHB=90°， .四边形EOBH是矩形. .E'H=EH=OB=1. :四边形DAEF为平行四边形，.DF=AE,DF∥AC, ∴.GD⊥D0,.∠GD0=∠DOE=∠GE0=90°， ∴.四边形DOEG是矩形，.GD=E0,GE=D0=1, .'GF=GD+DF=EO+AE=AO=2. GE'=GE +EH+E'H=3, .EF=√GF2+GE2=√22+32=√/13， 即BE+BF的最小值为√13， D E 10题答图① G D B M 10题答图② 11.解：如答图，作点G关于直线AB的对称点G',在CD上截 取CH=1,然后连结HG交AB于点E,在EB上截取EF= 1,此时GE+CF的值最小，且GE=GE,AG=AG 四边形ABCD是矩形，，AB∥CD,AD=BC=2. 又CH=EF=1, .四边形EFCH是平行四边形， 参考答案及解析 .EH=CF, ∴.GH=EG'+EH=EG+CF AB=CD=4,BC=AD=2,G为AD的中点， ..AG=AG=1, .DG'=AD+AG=2+1=3,DH=CD-CH=4-1=3, .由勾股定理可得HC=√8， .GE+CF的最小值为√18.（√18也可写为3√2，本学期 不要求化简) H G ‘E G 11题答图 12.解：如答图，连结BP. :点B与D关于直线AC对称， ∴.PD=PB,∴.PD+PE=PB+PE 由两点之间线段最短，知当点P在点P'处时，PD+PE有 最小值，最小值为BE的长. 正方形ABCD的面积为6，∴.AB=√6. 又：△ABE是等边三角形，∴BE=AB=√6， .PD+PE的最小值为√6. D B C 12题答图 专题14特殊平行四边形中的动点问题 1.解：如答图，过点C作CG⊥BD于点G,连结PC. 四边形ABCD是矩形，PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F, ∴.∠ECF=∠PEC=∠PFC=90°， ∴.四边形PECF是矩形，EF=CP. CD=5,BC=12,.BD=√CD2+BC=√52+122=13， 5am=7×13x0G=7×5x12CG=g CP≥CG,BF≥智BF的最小值为 13 D B 1题答图 2.解：(1)：四边形ABCD是矩形，AD=12cm,AB=3cm, .BC=AD=12cm,∠B=90° 在Rt△ABE中，BE=√AE2-AB2=√52-32=4(cm) BC=12cm,∴.CE=BC-BE=8cm.故CE的长为8cm. ·41…同步练测·八年级数学·华师版·下册 专题13特殊平行四边形中的折叠与最值问题 [答案P40] 类型③特殊平行四边形中的折叠问题 ⑤（吉林中考）【问题背景】在学习了平行四边形 ①如图，在矩形ABCD中，AD=15,AB=9.E是边 后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的 AB上一点，将△ADE沿DE所在直线折叠，使得 平行四边形的折叠问题.其探究过程如下： 点A恰好落在CB边上点F处，则EF的长是 【探究发现】如图①，在口ABCD中，∠A=60°， ( AB>AD,E为边AD的中点，点F在边DC上，且 DF=DE,连结EF,将△DEF沿EF翻折得到 △GEF,点D的对称点为点G.小组成员发现四 边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边 形的形状，并说明理由. 1题图 【探究证明】取图①中的边BC的中点M,点N A.4 B.5 C.25 D.3√2 在边AB上，且BN=BM,连结MN,将△BMN沿 2(重庆中考)如图，正方形ABCD的边长为2，E MN翻折得到△HMW,点B的对称点为点H,连 是BC边的中点，连结DE,将△DCE沿直线DE 结FH、GN,如图②，求证：四边形GFHW是平行 翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE, 四边形 延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的平分 0-- D 线DH、AH相交于点H,连结GH,则△DGH的面 E G 积为 B 5题图① 5题图② 2题图 A. B.S 4 C.⑤ D.5⑤ 8 8 4 3如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼 成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.EH= 12cm,EF=16cm,则边AD的长是 3题图 A.16 cm B.20 cm C.28 cm D.12 cm 4将矩形ABC0按如图方式放置在平面直角坐标 系中，AB=4,OA=8,若将其沿着对角线OB对 折后，点A的对应点为A',OA'与BC交于点D, 则点D的坐标为 4题图 88 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第18章矩形、菱形与正方形 类型⑧特殊平行四边形中的最值问题 1]如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是AD 6如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1,AF 的中点，线段EF在边AB上左右滑动.若EF= =2.若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的 1,求GE+CF的最小值， 最小值为 11题图 6题图 A.1 B.2 C.3 D.4 7(内江中考)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD= 6,E、F分别是边AD、CD上的动点，连结BE、 EF,G为BE的中点，H为EF的中点，连结GH, 则GH的最大值是 A D 7题图 8如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB= 60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+ BF的最小值为 D 12如图，正方形的面积为6，△ABE是等边三角形， 点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点 B 8题图 P,使PD+PE的和最小，求这个最小值. 9如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点P在 AD上，点Q在BC上，且AP=CQ,连结CP、QD, 则PC+QD的最小值为 12题图 9题图 1回如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段 AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，求 BE+BF的最小值. B 10题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 89