贵州省黔南州长顺县民族高级中学2025-2026学年高二上学期期末检测（一）数学试卷

2027届高二年级期末检测卷（一》 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x|一1<x<1},B={x|0x≤2}，则AUB= A.{xl0x<1} B.{x|-1<x2 C.{x0<x<1} D.{x|-1<x<2} 2.若复数x=a+1+(2a一4)i(a∈R)为纯虚数，则a= A.2 B.1 C.-1 D.-2 3.设x∈R,则“|x<1”是“x3<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知圆O:(x十2)2+y2=4与圆O2:(x-2)2+(y十3)2=m-4外切，则m= A.5 B.7 C.11 D.13 5.已知函数f(x)=√x十4+ln(1一x),则f(2x)的定义域为 A[-2,2) B.[-4,1) C.[-4,1] D.[-8,2) 6.在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD1中，M是线段B1D1上一点，则点M到平面A1BD 的距离是 A号 B.23 3 c D.26 3 【高二年级期末检测卷（一）·数学第1页（共4页）】 26-T-425B 7.E知稀圆C后+芳-1a>6>0)的左，右焦点分别为万，F:C的离心率为，过点E的直 线l:与C交于点A,B(B:在x轴下方)(i=1,2),若l1∥2，则△ABF2的周长与 |AF2|+F1F2+B2F2的比值为 A千 R异 2 c.1十e D.1十e 8.已知函数f(x)=6 sin xcos x一8cos2x十4的最大值为f(0),则tan0 A号 B.3 c.-3 D.-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知一组样本数据如下：2,3,4,5,7,7,8,12，则该组数据的 A.极差为10 B.平均数为6 C.标准差为9 D.第80百分位数为7.5 10.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，G为底面A1BC1D的中心，E,F分别为AB,BB, 的中点，P点满足AP+AF-AE+AG,则 G A.CD∥平面EFG B B.BD1∥平面EFG C.G求=号B,+C市-2A店 D.P,G,E,F四点共面 1已知双曲线号-芳 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A,A2,左、右焦点分别是F1,F2,P 是双曲线上异于A1,A2的任意一点，则 A.IPA:1-PA2I=2a B直线PA,PA:的斜率之积等于定值 C.使得△PFF2为等腰三角形的点P有且仅有8个 b D.△PFF2的面积为 tan <A PA 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知事件A与B互斥，且P(A)=0.28,P(B)=0.54,则P(AUB)= 13.已知点F为抛物线C:y=6x的焦点，l为C的准线，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足 为M.若|MF|=|MPI,则PF= 【高二年级期末检测卷（一）·数学第2页（共4页）】 26-T-425B 14.已知由正四棱锥截得的四棱台ABCD-A1BCD1中，AD=20√2， D AB1=10√2，点A1到平面ABCD的距离为103，将四棱台ABCD- A,BCD,放入球O内，则球O表面积的最小值为 B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知圆C:(x+2)2+(y一6)2=16，过点M(一4,0)作斜率为1的直线1交圆C于A,B 两点 (1)求线段AB的中垂线方程； (2)求弦AB的长. 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ccos(B-否）-bsinC--0. (1)求B: (2)若△ABC的面积为2√/3，且sinC=2sinA,求△ABC的周长. 17.(本小题满分15分)》 已知f(x)是二次函数，且f(0)=1,f(x+1)一f(x)=2x. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在区间[0，t上的最大值. 【高二年级期末检测卷（一）·数学第3页（共4页）】 26-T-425B 18.(本小题满分17分)》 如图，能國C草+芳 =1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点P(1,号）)： (1)求椭圆C的方程； (2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M, (ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上； (i)求△AMN面积的最大值. 19.(本小题满分17分) 如图1，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,M,N分别是BA,BC边上的动点（不同于端 点)，且MN∥AC,将△BMN沿MN折起到△PMN的位置，得到四棱锥P-ACNM,如图 2所示，点Q是线段AC的中点. M M Q 图1 图2 (1)求证：MN⊥PC: (2)若PN=2NC,当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，求平面PMC与平面PMQ的 夹角的余弦值： (3)若AM⊥PQ,求直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围. 【高二年级期末检测卷（一）·数学第4页（共4页）】 26-T-425B2027届高二年级期末检测卷（一）·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B因为A={x-1<x1},B={x0<x≤2冫，所以AUB={x|一1<x≤2.故选B 2.C由纯虚数的定义可知a+1=0,2a一4≠0，解得a=-1.故选C. 3.A由x<1可得一1<x<1;由x3<1可得x<1.因为(-1,1)(-∞，1)，所以“|x<1”是“x3<1”的充 分不必要条件.故选A. 4.D圆O:(x+2)2+y2=4的圆心为O(-2,0),半径n1=2,圆O2:(x-2)2十(y+3)2=m-4的圆心为 O(2,-3),半径r2=√m-4,因为两圆外切，所以|OO|=n1十2，即5=2十√m-4,解得m=13.故选D. 题意可得{十。解得一41，所以函数f()的定义域为一4，D,所以一4<2x<1,解 ≤x<号，所以f(2)的定义域为[-2，号).故选A 6.B在正方体ABCD-A1BCD1中建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,2), B(2,2,0),D(0,0,0),A1B=(0,2,-2),A1D=(-2,0,-2).设平面A1BD的 A 法向量=，，则：方220，取=1可得平面ABD的个 n·AD=-2x-2x=0, 法向量n=(1,-1,一1)，因为M是线段B1D1上一点，设M(a,a,2)(0≤a≤2)， D 所以市=(-a,-Q,一2)，所以点M到平面A,BD的距离d=:ml- n 2-2故选B √5 7.C设c=√a一b,由椭圆定义易得△ABF2的周长为4a,由对称性可得|A1F1=|B,F2|,所以 |AF2|+IF1F2|+IB2F2|=|A1F2|+|FF2|+IA1F1|=2a+2c,所以△ABF2的周长与 IAE+EF+AFE的比值为。子故选C 8.B因为f(x)=6 sin-8cosx+4=3sin2x-4cos2x=5sin(2x-9),其中tang=3,9e(0,受)， 4 因为函数f(x)的最大值为f(0),所以20-9=2kx+受，k∈Z,解得0=kx+至+号，k∈Z,由tang= 21am号 1-an =号，得1am号=-2或1am号=之又g(0,受)，所以号∈(0，)am号=号，所以1am0= tam(ex+至+号)=tm(年+号) tan平+ian =3.故选B. 1-tan平tam号 9.AB 极差为12-2=10，故A正确：平均数为2+3+4牛5+7+7+8+12=6，故B正确：标准差为 √g[(2-6+3-6)+(4-6)+5-6+7-6)+(7-6)+(8-6)+(12-6)西=3，散C 错误；因为80%×8=6.4，所以第80百分位数为8，故D错误.故选AB. 10.ABD易知CD∥B1A,BA∥EF,所以CD∥EF,而C1D庄平面EFG,EFC平面EFG,所以CD∥平面 EFG,故A正确：由G为底面A1BCD的中心，知G为B1D的中点，又F为BB1的中点，所以FG∥ BD,而BD,丈平面EFG,FGC平面EFPG,所以BD∥平面EFG,放B正确：G京-B广-BG=号B方 (BC+BA)=2B店-成-B=BB+C成+A店，故C错误：因为A护+A萨=A花+AG, 所以AP-AG=A正-A市，即G京-F正，所以P,G,E,F四点共面，故D正确.故选ABD. 11.BC在△A1PA中，两边之差小于第三边，即||PA1|一|PA2||<|A1A2|=2a,A错误；设P(x,%), 【高二年级期末检测卷（一）·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-425B 则暗-是=1.即=号(c),A(-a,0)A(a0)则a,=产a=。a云a, 产。X一。产。号，B正确：不纺设P在第一象限根据双黄线的定义可知P≠P明引，者 |PF1|=|F1F2|=2c,结合图象易知|PF1|>a+c,则满足条件的点存在且唯一，若|PF2|=|F1F2|= 2c,结合图象易知|PF2|>c一a,则满足条件的点存在且唯一，根据双曲线的对称性可知，使得△PF1F2为 等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；不妨设P在第一象限，则|PF|一|PF2|=2a,|FF2|=2c, OsF PF:=PEitPEEEPE 1-IPED:+2PEIX PE-IEE 2PF X PF 2PFX PF +器=PPm,×Pm==F又s 262 2PFX PF2 安PXIX压=器 26sin∠F,PEos∠E,PE 2 2sim∠EPE 2一= 6子 tan∠EPE'所 2 2 以D错误.故选BC 12.0.82因为事件A与B互斥，所以P(AB)=0,所以P(AUB)=P(A)十P(B)-P(AB)=0.28+0.54 =0.82. 13.6由抛物线的定义知：PF|=PM,又|MF|=|MP|,.△PMF为等边三角形，∠FMN=30°，故 IMFI NF sin∠FMNsin30=2p=6,故|PF|=6. C (第13题图) (第14题图) 14.1600π由题意知，当球O是四棱台ABCD-A1B1C1D1的外接球时，球O的半径最小，表面积也最小.由四 棱台的性质可知，平面ACCA过球心O,且等腰梯形ACCA1的外接圆圆心即为球心O.如图，分别过点 A,C作AC的垂线，垂足分别为A',C,则A1A'=CC=105,易知AA'=CC=AC-AC=4020= 2 10,所以tan∠ACC1=√3，∠ACC1=∠CAA1=60°.当O为AC中点时，OA=OC=OA1=OC=20,满足题 意，此时球O的半径为20，表面积为1600π. 15.解：(1)由直线1的斜率为1，得线段AB的中垂线m的斜率为一1，…2分 又m过圆心（一2,6），则m的方程为y一6=一（x十2)，… …4分 所以线段AB的中垂线方程为x十y一4=0.…6分 (2)由题意可得直线l的方程为x一y十4=0，… 8分 圆心(-2,6)到直线1的距离为：d=一2一6+4=22，… 11分 /1+I 所以AB=2VP-E=2√42-(2/2)2=4V2. 13分 16.解：(1)由正弦定理，得sin Ccos(B-)--sin Bsin C=0. 1分 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,… 2分 所以cos(B-否）-sinB=0,… …3分 即5osB叶sin B-sinB=osB-2snB=cos(B+吾）=0， …5分 因为B∈(0，)，所以B+吾∈（答，石），… …6分 【高二年级期末检测卷（一）·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-425B 所以B+否=受，所以B= 3· 7分 (2)因为Sa= 2acsin B=3 ac=23, …8分 所以a=8.…9分 因为sinC=2sinA,由正弦定理，得c=2a,解得c=4,a=2. 11分 由余弦定理，得=a2+2-2 accos B-=4+22-2×4×2X号=12，所以b=25. 2 …… 14分 所以△ABC的周长为a十b+c=6+2√5. 15分 17.解：(1)设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0)，… …1分 ∴.f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c, 故f(x十1)-f(x)=2a.x十a十b,… …3分 .f(x+1)-f(x)=2x,即2a.x十a+b=2x, 4分 ÷242.即 lb=-1. 5分 又f(0)=1,.c=1. 故f(x)=x2-x十1.… 7分 (2)由(1)知f(x)的图象的对称轴方程为x=2,f(0)=f(1)=1,… 8分 且f()在(0,2)上单调递减，在（受，十∞）上单调递增。 9分 当0<1≤1时，f(x)max=f(0)=1; 当t>1时，f(x)max=f(t)=-t+1. 故f(x)在区间[0，]上的最大值∫(x)m={-十1，t>1. 11,0t1, 15分 18.(1)解：因为椭圆的一个焦点为F(1,0),所以c=1, 将点P(1,多)代人椭圆方程可得己+品=1， 又a2-6=2=1,解得a2=4,=3, 所以椭圆C的方程为号+苦-1. 3分 (2)(1)证明：由题意得F(1,0),N(4,0), 设Am,0m<2),则B,一06≠0)，且学+号=1,0 则AF,BN的方程分别为n(x-1)-(m-1)y=0,n(x一4)一(4一m)y=0. 5分 设M(0,),则有n(x0-4)一(4一m)y=0,②n(0-1)一(m一1)=0，③ 由②.③得6-孤w=2产”5由0得4=12-m, (3m)2=(5m-8)2+12r=5m-8)2+369m=1, 因为4+普-”器+3 4(2m-5)2 4(2m-5)2 所以点M恒在椭圆C上.…9分 (i)解：设AM的方程为x=y+1,代入兰+苦=1，得(3+4)y+6y-9=0, -6t -9 设A(y),Mm为)，则有n十%=3千4y为=3中4 …11分 所以y-y=十2)-4m四-45：于，令3+4=A心4)， 312+4 则4√厂（安）广+=4√厂（）+ ,…13分 因为24，所以0<<分 故当=子，即X=4,1=0时，1一为有最大值3，此时B,M点重合。 所以Sww=|FN1I-为l=子1y-y≤号 【高二年级期末检测卷（一）·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-425B 即△AMN的面积的最大值为号. 17分 19.(1)证明：在△ABC中，AC⊥BC,MN∥AC,所以MN⊥BC,所以在四棱锥P-ACNM中，MN⊥PN,MN⊥ NC,又PN∩NC=N,PN,NCC平面PNC,所以MN⊥平面PNC,…2分 又PCC平面PNC,所以MN⊥PC.…3a分 (2)解：当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，平面PMN⊥平面ACNM.…5分 又平面PMN∩平面ACNM=MN,MN⊥PN,PNC平面PMN,所以PN⊥平面ACNM,…6分 以N为坐标原点，NM,NC,NP所在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 标系，如图所示， 则N(0.0.0),A(2,号，0，P(0.0号)，C(0,号，0)M(告0,0)，所以 Q(1,号，0) 设平面PMC的-个法向量为m=(y1),又P心-(0，号，-号)，C方= (-号0），所 m·P元-号y-青=-0， m·Gi=亭-号y=0, 令=1，解得x1=1,yM=2, 所以平面PMC的一个法向量m1=(1,2,1). 7分 设平面PMQ的一个法向量为m=(),又M=(-号0，专)，M0=(-子号，0，所以 m2·M=-4, 4 39十32=0， 2 令2=1，解得x2=2=2,所以平面PMQ的一个法向量m2=(2,1,2). m·M0=一子a+号为=0 …8分 设平面PMC与平面PMQ的夹角为0， 所以m0=osmm= 2+2+2 6 w/1+4+1×/4+1+4 3 即平面PMC与平面PQ的夹角的余弦值为号 10分 (3)解：以C为坐标原点，直线CA和CN分别为x,y轴，过C作平面ACNM的垂线为z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示，设P(0,s,u)(u>0),N(0,t,0)(0<12),Q(-1,0,0),A(-2,0,0),M(1-2,t,0), Ai=(t,t,0),P0=(-1,-s,-u),又AM⊥PQ,所以AM.P0=-1 sl=0,解得s=一1，…11分 则P(0,-1,),则PM=(t-2,1十1，-u),又PM=2PN,所以(t-2) +(t+1)2+(-u)2=2(2-t)2,整理得=3-6t,且2=3-6t>0,t> 0,得01K子. …… 12分 易得平面ACM的一个法向量为n=(0,0,1),设直线PM与平面ACM所 成角为B, A sing=|cos(pi,mwl=1或i·nL |PM·|nl√/(t-2)2+(t+1)2+2 3-6t 3-6t-6(1-2t)」 6(1-21) 则sim9=2-++i+3-61280+82-4=3+1-20)厅 o 0-2)+22+6 …14分 令1-21=A∈(0,1)，函数(X)=+是+6在0,1上单调递减，fX)>f1)=16 因此1-2)+2十6>16.则0<n名，解得0<s血9。 所以直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围是(o,) 17分 【高二年级期末检测卷（一）·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-425B