寒假预习：比例的意义和基本性质（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

2025-2026学年六年级下册数学人教版寒假预习讲义 【比例的意义和基本性质】 【知识精讲+例题讲解+提升练习】 学习寄语 亲爱的同学们： 当你帮妈妈按“1份糖配5份水”调配酸甜可口的糖水时，当你看着地图上的比例尺规划周末出游路线时，比例知识已经悄悄融入你的生活啦！作为后续学习比例尺、正反比例应用的“核心基石”，比例的意义和基本性质是小学阶段数与代数的关键内容。这份培优讲义将带你系统梳理比例的核心知识，通过典型例题和分层练习，让你轻松掌握判断比例、解比例的技巧，为后续数学学习筑牢根基！ 知识精讲 一、比例的意义 1.核心定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如： ，因为 的比值是 ， 的比值也是 ，两个比相等，所以能组成比例。 2.比vs比例的关键区分： （1）比：是两个数相除的关系，由两项组成（前项、后项），如 ； （2）比例：是两个比相等的等式，由四项组成（两个内项、两个外项），如 。 3.判断两个比能否组成比例的方法： （1）方法一：计算两个比的比值，若比值相等则能组成比例； （2）方法二：化简两个比，若化简后的最简比完全相同则能组成比例。 二、比例的各部分名称与基本性质 1.各部分名称： （1）在比例 （或分数形式 ）中： 外项：两端的两项（ 和 ）； 内项：中间的两项（ 和 ）； （2）注意：分数形式的比例中，交叉的两项分别是外项和内项（如 中， 和 是外项， 和 是内项）。 2.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即 。 （1）示例：在 中，外项积 ，内项积 ，二者相等，符合基本性质。 3.基本性质的应用： （1）验证比例是否成立：计算内项积和外项积，若相等则比例成立； （2）已知比例中的三项，求第四项（解比例的核心依据）； （3）根据等式写比例：若 ，可写出8个不同比例（如 、 等）。 三、解比例 1.定义：根据比例的基本性质，求比例中的未知项，叫做解比例。 2.解题步骤： 步骤1：根据比例基本性质，将比例转化为内项积等于外项积的方程； 步骤2：解方程求出未知项的值； 步骤3：检验：将结果代入原比例，验证比值是否相等或内项积是否等于外项积。 3.易错点： （1）解比例时注意内项和外项的对应关系，避免交叉相乘错误； （2）涉及实际问题时，先统一单位再计算。 例题讲解 【典型例题1】比例的意义判断与构造 题目： (1) 判断下列各组比中，哪些能组成比例？请写出比例式。 ① 和 ② 和 ③ 和 (2) 写出两个比值是 的比，并组成比例。 分析： (1) 通过计算每组比的比值，判断是否相等来确定能否组成比例； (2) 先写出两个比值为 的比，再根据比例的意义组成等式。 解答： (1) ① ， ，比值相等，能组成比例： ； ② ， ，比值相等，能组成比例： ； ③ ， ，比值不相等，不能组成比例。 (2) 示例： ， ，组成比例： （答案不唯一）。 答：(1) ①和②能组成比例，分别为 、 ；(2) 如 。 【跟踪练习】 (1) 下面各组比中，不能组成比例的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 (2) 写出两个比值是3的比，组成比例：:=:（答案不唯一） (3) 如果两个比的比值都是2.5，且它们组成的比例的内项分别是4和0.5，这个比例是______。 【典型例题2】解比例的基本计算 题目： (1) 解比例 ； (2) 解比例 ； (3) 解比例 。 分析： 根据比例基本性质，将每个比例转化为方程，再解方程求出未知项。 解答： (1) 由基本性质得： ，即 ，解得 ； (2) 由基本性质得： ，即 ，解得 ； (3) 由基本性质得： ，即 ，解得 。 答：(1) ；(2) ；(3) 。 【跟踪练习】 (1) 解比例 ， ______； (2) 解比例 ， ______； (3) 解比例 ， ______。 【典型例题3】比例的综合应用 题目： (1) 根据等式 ，写出4个不同的比例； (2) 农场调配农药，按“1份农药加20份水”的比例配制，现有农药3千克，需要加多少千克水？（用比例知识解答） 分析： (1) 根据比例基本性质，将等式两边的数分别作为外项和内项构造比例； (2) 农药和水的比例一定，即农药重量:水的重量=1:20，设未知数列比例求解。 解答： (1) 示例： 、 、 、 （答案不唯一）； (2) 设需要加 千克水。 由题意得： 根据比例基本性质： 解得： 答：(1) 如 、 等；(2) 需要加60千克水。 【跟踪练习】 (1) 根据等式 ，写出2个不同的比例：、； (2) 用边长2分米的方砖铺地，需要300块；如果改用边长3分米的方砖，需要多少块？（用比例知识解答，地面面积一定） (3) 把3米长的竹竿直立在地上，测得影长1.2米，同时测得一根旗杆的影长为4.8米，旗杆的高度是多少米？（用比例知识解答） 提升练习 一、填空题 1．在一个比例中，两个外项的积减去两个内项的积，差是　 　。 2．在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是0.5，另一个外项是　 　． 3． A和B互为倒数， 且A：6=C：B， 那么， C =　 　 ； 若1.4B=0.6A(A，B均不为0)， 那么A：B=　 　：　 　 。 4．在一个比例中，两个外项分别是12和8，两个比的比值是 ，这个比例是　 　。 5．如果 那么x：y=(　 　：　 　)；如果a：15=b：4，那么a：b=(　 　：　 　)。(x、y、a、b均不为0) 二、判断题 6．甲、乙两个数都是不等于0的整数，如果甲数的等于乙数的，则甲、乙两个数之和的最小值是13。 (　　) 7．如果两个比的前项不同，后项也不同，那么这两个比不可能组成比例。 (　　) 8．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是2.5，则另一个内项是 (　　) 9． 在比例0.3：0.7=6：14中， 0.7和6是比例的内项。(　　) 10．一个比例中有两个比，所以比和比例的意义相同。(　　) 三、选择题 11．在比例35：10=21：6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上(　　)才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 12．用2，6，18三个数组成的比例式是(　　)。 A．2：18=6：18 B．6：2=18：6 C．18：2=18：6 D．18：6=2：18 13．如果a和b互为倒数，且 那么k= (　　)。 A．6 B．3 C． D． 14．已知则下面的比例(　　)成立。 A． B． C． D． 15．下列四个比中能和4.5：5.4组成比例的是(　　)。 A． B．0.45：54 C．12：10 D．5：6 四、解决问题 16．假设蜡烛每分钟燃烧的长度一定。蜡烛最初的长度是多少厘米？(用比例解) 17．中心小学举办了“铭记红色故事，共筑爱国梦想”经典红色故事演讲比赛。共20名学生参赛，前3名选手共用15分钟。小洁说：“按照这个速度，剩下的选手还需要85分钟才能演讲完。”小洁说得对吗？计算说明。 18．3台打米机1小时能打米750kg。照这样计算，再增加4台同样的打米机，1小时能打米多少千克？(用比例解) 参考答案 【典型例题1跟踪练习】 (1) 答案：D 解析：A选项 ， ，能组成比例；B选项 ， ，能组成比例；C选项 ， ，能组成比例；D选项 ， ，比值不等，不能组成比例。 (2) 答案：示例：3:1=6:2（答案不唯一） 解析：只要两个比的比值是3即可，如 和 ，比值都是3，可组成比例。 (3) 答案： （或 ，两种情况均可） 解析：比值为2.5，若第一个比的后项是4，则前项为 ；第二个比的前项是0.5，则后项为 ，组成比例 ；或第一个比的前项是0.5，后项为 ，第二个比的后项是4，前项为 ，组成 。 【典型例题2跟踪练习】 (1) 答案：15 解析： ， ，解得 。 (2) 答案：3 解析： ， ，解得 。 (3) 答案：1 解析： ， ，解得 。 【典型例题3跟踪练习】 (1) 答案：示例： 、 （答案不唯一） 解析：根据 ，将4和15作为外项，5和12作为内项，或反之构造比例。 (2) 答案：134块（进一法） 解析：设需要 块。地面面积一定，方砖面积与块数成反比例： ，即 ，解得 ，需用进一法取134块。 (3) 答案：12米 解析：同一时间，物体高度与影长的比值一定，设旗杆高 米。 ， ，解得 。 【提升练习】 1．0 2．2 3．；7；3 4．12：16=6：8 5．7；9；15；4 6．正确 7．错误 8．正确 9．正确 10．错误 11．D 12．B 13．C 14．C 15．D 16．解：设蜡烛最初的长度是 xcm。 (x-12)：8=(x-7)：18 解得： x=16 答：蜡烛最初的长度是16cm。 17．解：小洁说得对。 设剩下的选手还需要x分钟才能演讲完。 15：3=x：(20-3) 解得：x=85 答：剩下的选手还需要85分钟才能演讲完。 18．解：设1小时能打米 xkg。 3：750=(3+4)：x 解得： x=1750 答：1小时能打米1750kg。 1 学科网（北京）股份有限公司 $