寒假预习讲义：圆锥（讲义）-2025-2026学年六年级下册人教版数学

寒假预习讲义：圆锥 【知识梳理+例题讲解+巩固练习】 亲爱的同学们： 寒假是提前探索数学奥秘的好时机！本讲义将带你认识一个有趣又实用的几何体——圆锥。它像冰淇淋蛋筒一样可爱，像沙堆一样常见，还藏着旋转的魔法和测量的智慧。通过预习，你将： 1.看清圆锥的“长相”，记住它的特征； 2.学会测量圆锥的高，动手实践找方法； 3.用生活中的例子理解数学概念。 预习不是赛跑，请慢慢思考、动手操作，相信你一定能发现圆锥的乐趣！加油吧！ 知识点梳理 1. 圆锥的基本特征 （1）定义：圆锥是一种几何图形，由一个圆面（底面）和一个曲面（侧面）围成，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。 （2）各部分名称： 底面：圆形 侧面：曲面，展开后为扇形 顶点：圆锥的尖端 高：从顶点到底面圆心的垂直距离，圆锥只有一条高 2. 圆锥的测量方法 （1）测量高的步骤： ① 先把圆锥的底面放平 ② 把一块平板水平放在圆锥顶点上 ③ 竖直量出平板和底面间的距离 3. 圆锥与直角三角形的关系 （1）旋转关系：以直角三角形的一条直角边为轴旋转，可以得到一个圆锥 作为轴的直角边是圆锥的高 另一条直角边是圆锥的底面半径 4. 圆锥的体积公式 （1）公式推导： 实验法：通过将圆锥容器装满水或沙子，倒入等底等高的圆柱容器中，发现三次正好倒满，从而得出圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的 数学推导：圆锥可以看作是由一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周所形成的立体图形 （2）公式表达： 用字母表示为 ，其中 表示圆锥的体积， 是圆锥的底面积， 是圆锥的高 由于圆的面积公式为 （其中 为底面半径），所以圆锥体积公式也可以写成 5. 圆锥与圆柱的关系 （1）等底等高关系： 圆锥体积是圆柱体积的 圆柱体积是圆锥体积的3倍 （2）等体积关系： 等体积等高的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的3倍 等体积等底面积的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的3倍 例题讲解 【例题1】 一个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm，求它的体积。 答案： cm³ 分析：本题考察圆锥体积公式 的直接应用，已知半径和高，可直接代入公式计算。 详解： 1.圆锥体积公式： 2.代入已知数据： cm， cm 3.计算过程： 4.因此，这个圆锥的体积是 cm³。 【跟踪练习1】 一个圆锥的底面直径是6cm，高是8cm，求它的体积。 【例题2】 一个圆锥的底面周长是9.42cm，高是6cm，求它的体积。 答案： cm³ 分析：本题考察圆锥体积计算，需先通过周长求出半径，再代入公式 。 详解： 1.先求底面半径：圆的周长公式 ，所以 cm 2.代入圆锥体积公式： 3.因此，这个圆锥的体积是 cm³。 【跟踪训练2】 一个圆锥的底面周长是12.56cm，高是9cm，求它的体积。 【例题3】 一个圆锥形沙堆，底面直径是8m，高是3m，每立方米沙重1.5吨，这堆沙重多少吨？ 答案： 吨 分析：本题考察圆锥体积的实际应用，需先求出体积，再乘以单位体积重量。 详解： 1.先求底面半径： m 2.计算圆锥体积： 3.计算沙的重量： 吨 4.因此，这堆沙重 吨。 【跟踪训练3】 一个圆锥形谷堆，底面周长是25.12m，高是4m，每立方米谷重0.7吨，这堆谷重多少吨？ 巩固练习 一、选择题 1．如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（    ）杯。 A．3 B．6 C．9 D．12 2．下面各图中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的有（    ）个。 ①圆柱、圆锥的底面都是圆；②将圆锥沿高切开后，得到的截面是三角形；③圆锥的侧面展开图是扇形，不能是半圆；④圆锥与圆柱都有无数条高。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱体积的比是1∶6，圆锥的高是4.8cm，圆柱的高是（    ）cm。 A．28.8 B．9.6 C．1.6 D．0.8 5．一个圆柱和圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥的高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（    ）。 A． B． C． D．2倍 二、填空题 6．一个圆柱的体积是，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )，削去部分的体积是( )。 7．从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高。图中圆锥的高是( )cm。 8．如下图所示的是一个圆锥，这个圆锥的高是( )cm，底面半径是( )cm，底面周长是( )cm，底面积是( )。 9．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是，则这个圆锥的体积是( )。 10．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 三、判断题 11．圆锥体的底面半径扩大3倍，体积就扩大6倍。( ) 12．圆柱形状的水桶体积一定是圆锥形状水桶体积的3倍。( ) 13．等底等高的圆柱和圆锥的体积和是36立方厘米，其中圆锥的体积是12立方厘米。( ) 14．一个圆柱与一个圆锥底面直径比是1∶3，高相等，圆柱与圆锥体积比是1∶3。( ) 15．展厅内有一个圆柱和一个圆锥等底等高，那么这个圆柱体积比圆锥多2倍。( ) 四、计算题 16．计算下面图形的体积。 五、解答题 17．蒙古包，古代称作穹庐，其上部为圆锥形，下部为圆柱形，四周用绳索固定。下图中这个蒙古包内部的空间是多少立方米？（厚度忽略不计） 18．一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 19．一个圆锥形沙堆，底面周长是25.12m，高是1.5m。如果每立方米沙重1.5t，那么这堆沙有多重？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 【跟踪练习1】 答案： cm³ 分析：本题考察圆锥体积计算，需先求出半径，再代入公式 。 详解： 1.先求底面半径： cm 2.代入圆锥体积公式： 3.因此，这个圆锥的体积是 cm³。 【跟踪练习2】 答案： cm³ 分析：本题考察圆锥体积计算，需先通过周长求出半径，再代入公式 。 详解： 1.先求底面半径： cm 2.代入圆锥体积公式： 3.因此，这个圆锥的体积是 cm³。 【跟踪练习3】 答案： 吨 分析：本题考察圆锥体积的实际应用，需先通过周长求出半径，再计算体积，最后乘以单位体积重量。 详解： 1.先求底面半径： m 2.计算圆锥体积： 3.计算谷的重量： 吨 4.因此，这堆谷重 吨。 【巩固练习】 题号 1 2 3 4 5 答案 C D B B C 1．C 【分析】一个等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由题意可知，圆柱和圆锥的底面积相等，但圆柱的高是圆锥的3倍，相当于求3个等底等高的圆柱的体积是一个等底等高圆锥的几倍。 【详解】3×3＝9（杯） 因此将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满9杯。 故答案为：C 2．D 【分析】因为直角三角形绕一条直角边旋转时，另一条直角边形成圆锥底面圆，斜边形成圆锥侧面；所以圆锥是由一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的立体图形。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A.  该图形绕斜边进行旋转，绕直线旋转一周不能得到圆锥。 B. 该图形是梯形，绕直线旋转一周得到的是圆台，不是圆锥。 C. 该图形是半圆，绕直线旋转一周得到的是球，不是圆锥。 D. 该图形是直角三角形，绕着一条直角边旋转一周可以得到一个圆锥。 故答案为：D。 3．B 【分析】圆柱的特征：一个侧面、两个圆形底面、无数条高；圆锥的特征：一个侧面、一个圆底面、一个顶点、一条高。根据圆柱与圆锥的特征进行判断。 【详解】圆柱、圆锥的底面都是圆。圆柱有两个圆形底面，圆锥有一个圆形底面，所以这句是对的。 将圆锥沿高切开后，得到的截面是三角形。将圆锥沿高切开后，得到的截面是一个等腰三角形，所以这句是对的。 圆锥的侧面展开图是扇形，不能是半圆。半圆也是扇形，所以这句是错的。 圆锥与圆柱都有无数条高。圆锥只有一条高，所以这句是错的。 故答案为：B 4．B 【分析】已知一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，圆锥与圆柱体积的比是1∶6，设圆锥的体积是1cm3，则圆柱的体积是6cm3； 根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，据此求出这个圆锥的底面积，也是圆柱的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出这个圆柱的高。 【详解】设圆锥的体积是1cm3，则圆柱的体积是6cm3； 圆锥的底面积：1×3÷4.8＝0.625（cm2） 圆柱的高：6÷0.625＝9.6（cm） 所以，圆柱的高是9.6cm。 故答案为：B 5．C 【分析】根据题意，可设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2，根据圆柱的体积公式V＝sh和圆锥的体积公式V＝sh求出各自的体积，然后再用圆锥的体积除以圆柱的体积即可。 【详解】设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2。 （s×1）÷（2s） ＝s÷2s ＝÷2 ＝× ＝ 所以圆锥的体积是圆柱体积的。 故答案为：C 6． 4 8 【分析】先明确等底等高的圆柱与圆锥体积关系，用设份数法，根据题目给到的信息，求出一份的体积再求对应的圆柱、圆锥、削去部分体积； 把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，那么圆锥的体积就是圆柱体积÷3； 把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，削去的体积就应该为（份），求出对应一份的体积再×2即可得到答案。 【详解】（立方分米） （立方分米） 所以，一个圆柱的体积是12立方分米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是4立方分米，削去部分的体积是8立方分米。 7． 顶点 底面圆心 4 【分析】根据圆锥的特征，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高； 根据测量的方法，用直尺测量时，如果没有从0刻度开始测量，那么需要用末端数字减去起始数字，才是测量的长度，据此解答。 【详解】从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 圆锥的高：（cm） 图中圆锥的高是4cm。 8． 13 3 18.84 28.26 【分析】根据圆锥的特征，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，底面圆的半径、周长和面积的计算公式分别为（d为直径），，，据此求解。 【详解】高：13cm 底面半径：（cm） 底面周长：（cm） 底面积：（cm²） 所以，这个圆锥的高是13cm，底面半径是3cm，底面周长是18.84cm，底面积是28.26cm²。 9．18 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行分析。 【详解】（m） 把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是36m，则这个圆锥的体积是18m。 10．6 【分析】根据题意，把一个圆柱形零件熔铸成一个圆锥形零件，则零件的体积不变； 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出零件的体积；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形零件的高。 【详解】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 那么这个圆锥形零件的高是6分米。 11．× 【分析】圆锥体积公式为。当底面半径扩大3倍时，新半径为3r，代入公式得新体积，再与原来的圆锥体积作比较即可。 【详解】圆锥的体积为： 当底面半径扩大3倍时，半径变为。 新体积为： 所以体积扩大为原来的9倍，而非6倍。原说法错误。 故答案为：× 12．× 【分析】圆柱的体积公式为底面积×高，圆锥的体积公式为底面积×高×。只有当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱体积才是圆锥的3倍。 【详解】根据体积公式，圆柱体积为，圆锥体积为。若两者底面积和高相等，则圆柱体积是圆锥的3倍。但题目中未限定圆柱与圆锥的底面积和高相等，因此无法确定体积关系。例如：若圆柱底面积为2dm2、高3dm，体积为6dm3；圆锥底面积为6 dm2、高3dm，体积为 dm3，此时两者体积相等。故原题说法错误。 故答案为：× 13．× 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，一共是（1＋3）份；用等底等高的圆柱和圆锥的体积和除以总份数，求出一份数，即是圆锥的体积。 【详解】36÷（1＋3） ＝36÷4 ＝9（立方厘米） 圆锥的体积是9立方厘米。 原题说法错误。 故答案为：× 14．√ 【详解】圆柱体积公式：V＝πr2h（r为圆柱底面半径，h为高）。圆锥体积公式：V＝πr2h（r为圆锥底面半径，h为高）。已知底面直径比是1∶3，则半径比与直径比相同，即1∶3；高相等。假设圆柱的半径为1，圆锥的半径为3，代入公式计算，然后相比即可。 【分析】假设圆柱的半径为1，圆锥的半径为3。 圆柱体积：π×12×h＝π×12×h＝πh 圆锥体积：π×32×h＝π×9×h＝3πh 圆柱体积∶圆锥体积＝πh∶3πh＝（πh÷πh）∶（3πh÷πh）＝1∶3 所以圆柱与圆锥体积比是1∶3，原说法正确。 故答案为：√ 15． √ 【分析】根据圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍。即圆柱的体积有3份，圆锥的体积有1份，用圆柱比圆锥多出来的份数除以圆锥的份数，判断是否符合题目中“圆柱体积比圆锥多2倍”这一关系。 【详解】等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍 展厅内有一个圆柱和一个圆锥等底等高，那么这个圆柱体积比圆锥多2倍。原题说法正确。 故答案为：√ 16．1256cm3 【分析】由图可知，该图形为圆锥，圆锥体积公式为：V＝πr2h（V表示圆锥体积，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高，π取3.14）。已知圆锥的半径为10cm，高为12cm，把数据代入公式计算即可。 【详解】×3.14×102×12 ＝×3.14×100×12 ＝1256（cm3） 该图形的体积是1256cm3。 17．120.576立方米 【分析】根据题图可知，就是求圆柱和圆锥的体积，根据、求出圆柱和圆锥的体积，相加即可； 【详解】 （立方米） 答：这个蒙古包内部的空间是120.576立方米。 18． 30平方厘米 【分析】先依据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，再根据水的体积不变，利用圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数值即可求出圆锥形容器的底面积。 【详解】 （立方厘米） （平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米。 19．37.68t 【分析】圆锥的底面是圆形，首先根据圆的底面周长÷3.14÷2求出底面半径，再根据圆锥的体积公式：，求出沙堆的体积，然后用沙堆的体积乘每立方米沙的质量即可。 【详解】（m） （） （t） 答：这堆沙有37.68t。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $