第16讲 二次函数的实际应用-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册

第16讲 二次函数的实际应用(5年3考，5~12分) 知识精讲练 Q2022年版课标重要变化 能解决相应的（改动）实际问题， 知识点建立二次函数模型解决实际问题 常见类型 方法总结 抛物线型 解决球类运动轨迹和大桥拱门等实际问题时，需要选择合适的原点建立平面直角坐标系.选的原点 问题 不同，会导致点的坐标表示不一样，解题的难度也不一样，所以要尽可能选择“特殊点”作为原点 求最大利润等问题时，可以通过题意确定出二次函数的解析式和自变量的取值范围，然后确定最值 销售利润 【易错提示】在解决实际问题时，二次函数的最值并不一定是在顶点处，而是要根据题目当中自变量 问题 的取值范围决定 般利用图形面积计算公式，建立关于面积的二次函数，结合题目中的墙长、栅栏长等确定自变量的 图形面积 取值范围，再求出面积的最值（不规则图形可利用割补法得到规则图形，再按照上述方法计算） 问题 【易错提示】解决篱笆、栅栏等问题时，一定要注意是否有哪一条边不需要栅栏或篱笆 重难点突破 重难点1]利润问题 例1(2025鸟鲁木齐校级模拟)某工厂计划投资生产A,B两种产 解题突破点 品，根据市场调查与预测，产品A的利润y1(万元)与投资量x(万 (1)已知二次函数图象过原点， 元)成正比例关系，如图1所示；产品B的利润y2(万元)与投资量 可直接设顶点式，代入点坐标 x(万元)成二次函数关系，如图2所示. (2,3)即可求出二次函数关 (1)请直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式：y1= 系式； (2)由A产品的投资金额不超 y2= 过B产品的2倍，且不少于3 (2)如果工厂以9万元资金投入生产A,B两种产品，要求A产品的 万元，可求出A产品的投资金 投资金额不超过B产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂 额范围，要求两种产品的利润 能获得最大利润？最大利润是多少？ 和，直接相加两个函数关系式， 利用二次函数的顶点式求最 P2,4) 值，注意自变量的取值要符合 题意 24元 2-10 图1 图2 例1题图 52 新疆数学精讲册 重难点2抛物线型问题 例2(2025鸟鲁木齐十三中三模)我国新能源汽车发展迅猛，公共 解题突破点 充电桩建设也快速推进.图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚 （1)由0A=1.6,可知函数图象 顶的横截面可以看作是抛物线的一部分.图2是棚顶的竖直高度y 经过点(0,1.6)，已知点B(6, (单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足 2.68),分别代入函数解析式可 二次函数y=-0.02x2+bx+c的图象，支柱OA=1.6m,最外端点B 求得b,c的值； 的坐标为(6,2.68).若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车 (2)判断货车能否完全停到车 棚，一般有两种方法，方法一： 截面可看作长CD=4m,高DE=2.2m的矩形 固定货车的宽，看车棚是否足 (1)求该二次函数的解析式； 够高（相当于已知x的值，根据 (2)判断此纯电货车 (填“能”或“不能”)完全停到车棚内， 函数解析式求y的值，再与限 并说明理由； 制高的值比较大小)；方法二： (3)为确保在车棚内能容纳长5m,高2.5m的车辆进入充电，现对 固定货车的高，看车棚是否足 该车棚进行改造.受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用 够宽（相当于已知y的值，根据 抬高支柱OA的方式进行改造，则拾高的高度至少需要大于多少米？ 函数解析式求x的值，再与限 y/m 制宽的值比较大小) 已知CD=4,可求出，点C的坐 标，进而求得点C处的y值，再 O C D x/m 与货车高进行比较； 图1 图2 (3)仍使用原来的车棚，采用抬 例2题图 高支柱的方式，则说明抛物线 的形状不变，向上平移若干个 单位长度，可根据平移规律设 出函数解析式，再根据车棚能 容纳长5m的车辆，得出车左 侧端点横坐标代入函数解析 式，求出车左侧端，点对应的y 值，与车辆的高2.5m进行 比较 第三单元函数 53 新疆5年中考真题及拓展 建议用时：30分钟 命题点1)利润问题(2024.21) 命题点2面积问题(2022.14) 1.（2024新疆21题)某公司销售一批产品，经 2.(2022新疆14题)如图，用一段长为16m的 市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨 篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够 之间时，销售额y1(（万元)与销售量x(吨)的 长)，则这个围栏的最大面积为 m2. 函数解析式为y1=5x;成本y2(万元)与销售 量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的 一部分，其中（分子）是其顶点 第2题图 (1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式； 命题点3)抛物线型问题(2025.21) (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ 3.多解法(2025新疆21题10分)天山胜利 (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？ 隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界 最大利润是多少？ 上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交 (注：利润=销售额一成本) 通效率，促进经济发展.如图是隧道截面图， y(成本/万元) 其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧 道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方 式建立平面直角坐标系， 6 (1)求抛物线的函数解析式； (2.4 (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶 3x(销售量/吨) 部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 第1题图 米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心 线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽 度不计).若宽3米，高3.5米的两辆车并排 行驶，能否安全通过？请说明理由 12 第3题图 培优题型链接 二次函数的实际应用 见《二轮重难题型培优》P7-8 温馨提示请完成《裸后提升练》P31-32习题 54 新疆数学精讲册当y=0时，x2-3x-4=0, 解得x1=-1,x2=4, B(4,0) .0B=4. Q(0,-1),.0Q=1. ①如解图2，当点M在BQ上方时，过点M作ME⊥BQ 交Q的延长线于点E,则mLMn5瓷-行 第3题解图2 过点E作FG∥x轴，过点B,M分别作BG⊥FG于 点G,MF⊥FG于点F, 易得△MEF∽△EBG, 器影器分 :FG∥x轴， .∠BEG=∠OBQ, tan L BEG=tan LOBQ=BC=0Q_1 ΓEGOB=4, 设BG=m,BG=4m,则EP=了m,MF=号m, 六点M的坐标为〔4-号m,了m)。 把M4-号写m)代入y=-3-4中，得 3m=4-号my-3(4-号m)-4, 198 解得m,=0(舍去)，m,=169, 点M的横华标是4-号m=4-号×8=-号 ②如解图3，当点M在BQ下方时，过点M作ME'⊥ BQ交BQ的延长线于点E', 则tan∠MBE'=ME'三1 BE=3 第3题解图3 新疆数学 过点E作F'G'∥y轴，交x轴于点G',过点M作 MF'⊥F'G于点F', 易得△MEF'∽△E'BG, 瓷器器宁 由匿可知m∠gBc-m∠0B0-5C-侣 =4 设E'G=n,BC'=4n,则EF'=4m 3几，MF'= 3九， 六点M的坐标为(4-马n,-乙n 3,-3), 精 把(4-号，-子)代人y=-3x-4中，得 讲 册 3=4-号2-34-号)-4 _144 解得m1=0(舍去)，几=12i: 点M的横华标是4-号=4号×货-引 综上所述，点M的模坐标是-或-骨 第16讲二次函数的实际应用 重难点突破 32 例1解：(1)2x;4, (2)投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工 厂能获得最大利润，最大利润是33万元. 例2解：(1)y=-0.02x2+0.3x+1.6. (2)不能. (3)抬高的高度至少需要大于0.62米. 新疆5年中考真题及拓展 1解：(：顺点为分子， ∴可设抛物线的解析式为为=(x-7+子 又：抛物线过点(2,4)， 9.7 a×4+4=4, ∴.a=1, .成本y2关于销售量x的函数解析式为y2=(x 3+子 (2)由题意知，当销售量x=之时，成本最低为子， 又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1 与销售量x的函数解析式为y1=5x, 当x=2时，销售额为=5x=5×7=2.5, .1 此时利润为25-子-075（万元）》。 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75 万元 参考答案 9 (3)由题意知，利润=5x-【(:-2》产+子引=-女 +6x-2=-(x-3)2+7. .-1<0,0.4≤x≤3.5， ∴.当x=3时，利润取最大值，最大值为7 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利 润是7万元. 2.32 3.解：(1)由题意，得顶点坐标为（号，8），即(6,8)， 精 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0)， 讲 代入点(12,0)得a(12-6)2+8=0, 册 解得a=-9 2 ·抛物线的解析式为y=-)(x-6)2+8(0≤x≤12). (2)能安全通过，理由如下： 解法一：标注图形如解图，令两辆车到中心线的距 离相等。 122 由题意，得=2-2-3=2， 将-2代入y=-号-6)2+8， 得y=-号×2-6)+8-9 9 93.5-0>05, 能安全通过 X 12 解法=：将y=3.5代入y=-号(x-6)2+8, 得3.5=号(x-6)2+8, 解得x1=1.5,x2=10.5. .10.5-1.5=9>3×2+2, 能安全通过. 第四单元三角形 第17讲线段、角、相交线与平行线（含命题） 知识精讲练 ①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短； ③)4C:④BC;⑤0°；⑥180°；⑦相等；⑧平分线； ⑨∠8；0对顶角相等；①互为邻补角的两个角之和等 于180°；②∠7；B∠8；④∠8；⑤相等；⑥垂直平分线； ⑦相等；®平行；四互补 10 新疆数学 考点小练 1.B2.1cm3.(1)63.5;(2)26.5;116.5;(3)3 4.2；4；3 5.(1)平行；平行；(2)70；70 6.(1)②③：①④；(2)如果两个角相等，那么这两个 角是对顶角；假；(3)对顶角不相等；(4)0（答案不 唯一) 新疆5年中考真题及拓展 1.B2.D3.C4.705.A6.A7.C 第18讲三角形及其性质 知识精讲练 ①大于；②小于；③180：④360；⑤cD,⑥7；⑦BC: ⑧90°：⑨∠DAC:0DF 考点小练 1.10cm(答案不唯一）2.150 3(1)030:②日：(2)①3：22 4.(1)17:(2)50° 新疆5年中考真题及拓展 1.B2.15°3.A4.C5.1 提分专题四遇到中点、角平分线如 何添加辅助线 例1 54 85 例2 综合训练 1.12.6.53.8+454.355.35 2 6 6.265 7.198.39.g510.5 3 2 11.证明：连接AW,如解图. .·四边形ABCD是菱形 .点A,点C关于直线BD对称， .AN =CN. AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于 点N, .AN =EN, .EN=CN. D B E 第11题解图 第19讲等腰三角形与直角三角形 知识精讲练 ①平分线；②中线；③1；④两条边；⑤两个角；⑥60°； ⑦3；⑧等腰；⑨互余；⑩斜边的一半；①斜边的一半； 参考答案