第15讲 第2课时 二次函数与几何图形综合-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册

当x=m时，函数取最大值，为m2-6m+5; 当x=3时，函数取最小值，为32-6×3+5=-4， .m2-6m+5+(-4)=-7, 化简得m2-6m+8=0, 解得m1=2,m2=4(舍去）； ②当2<m<3时， 当x=4时，函数取最大值，为42-6×4+5=-3； 当x=3时，函数取最小值，为-4， -3+（-4)=-7,符合题意， ∴.m的取值范围是2<m<3; 精 ③当3≤m≤4时， 讲 当x=4时，函数取最大值，为-3； 册 当x=m时，函数取最小值，为m2-6m+5, .-3+m2-6m+5=-7, 化简得m-6m+9=0, 解得m1=m2=3,符合题意 综上所述，m的取值范围为2≤m≤3. 新疆5年中考真题及拓展 1.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=-,20=1. 2a (2)抛物线沿y轴向下平移31a个单位，可得 y'=ax2-2ax+3-31al. :抛物线的顶点落在x轴上， .a-2a+3-3lal=0, 解得a=子或a=-子 (3)抛物线的对称轴为直线x=1， .当x=2和x=0时，函数值相等； 当a>0时，若y1>y2,则a>2; 当a<0时，若y1>y2,则0<a<2,不符合题意， 舍去 ∴.a的取值范围为a>2 第2课时二次函数与几何图形综合 重难点突破 例解：(1)直线y=-x+4交坐标轴于B,C两点， .B(4,0),C(0,4). ,抛物线y=ax2+bx+4经过B,C两点，且交x轴 于另一点A(-1,0), fa-b+4=0 116a+4b+4=0' 解得a1 1b=3, ∴.抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. (2)设点P的坐标为(m,-m2+3m+4)(0<m< 4),则Q(m,-m+4), .PQ=-m2+3m+4-(-m+4)=-(m-2)2 +4, .-1<0, ∴.当m=2时，PQ取得最大值，最大值为4， 6 新疆数学 此时Sm分×4x4=8 (3).B(4,0),C(0,4), 0B=0C=4, PD∥y轴， ∴.∠OCB=∠OBC=∠BQD=∠PQC=45°. PC=PO, ∴.∠PCQ=∠PQC=45°， ∴.∠PC0=∠PCQ+∠OCB=90°. 又：∠A0C=90°， .CP∥AB, ∴.点P的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为4， 当y=4时，-x2+3x+4=4, 解得x=3或x=0(舍去)， .P(3,4). (4)如解图1，·PD⊥x轴于点D,∠AOC=90°， ∴.要使△OPD与△A0C相似，只需有一个锐角 相等. ①当LCA0=∠P1OD1时，AC∥OP1, 由(1)知，A(-1,0),B(4,0),C(0,4), 设直线AC的解析式为y=x+9(k≠0)， 把4(-1,0)，C0,4)代入，得-+9=0， l9=4 1得1g=4直线AC的解析式为y=4x+4 ∴.直线OP1的解析式为y=4x, 联立P4x ly=-x2+3x+4' 解得x=1十而或x=1,(舍去)， 2 2 ·点P,的横坐标为1+7， 2 例题解图1 ②当∠CA0=∠OP2D2时，△A0C△P2D20, .0C0D2 OA P2D2 点P2的坐标为(m,-m2+3m+4), 则点D2的坐标为(m,0), ∴.0D2=m,P2D2=-m2+3m+4. .0A=1,0C=4, m .4= -m2+3m+4 参考答案 解得m=11+3丽或m-山-3丽（舍去）， 8 点P的横坐标为1+377 8 综上所述点P的横坐标为生我+ 或 (5)如解图2，设AP与y轴交于点E, 例题解图2 PD∥y轴， ∠DPA=∠OEA. :∠DPA=2∠AC0, .∠0EA=2∠AC0. .·∠OEA=∠ACE+∠CAE, .∠ECA=∠EAC, .∴.AE=CE. 设0E=a,则CE=4-a,∴AE=4-a, 在Rt△AOE中，由勾股定理得OE2+OA2=AE2, 心+1P=(4-a)P解得a片 E(0,g). 设AP所在直线的解析式为y=f+e(f≠0)， 把A(-1,0),B0,)代人， [-f+e=0 5 f=8 得 _15 ,解得 e=8 15 8 直线AP的解析式为y= 1515 8t* 8 联立，得-2+3+4-空+总解得-（不合 8t+ 适的值已舍去)， 点P的横坐标为号 新疆5年中考真题及拓展 1.解：(1)：抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3), ∴可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3. :OA绕点0顺时针旋转90°后得到OB, .B(3,-1) 把B(3,-1)代入y=a(x-1)2+3,解得a=-1, ∴.抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3, 即y=-x2+2x+2. (2)①B(3,-1), 新疆数学 1 .直线OB的解析式为y=-3. A1,3)C1,-3为 P(1,m),AP=A'P,.A'(1,2m-3), 由题意，得-弓<2m-3<3, 专<m<3. 5 ②存在点P,使Saw=6Saa 易得直线OA的解析式为y=3x,直线AB的解析式 精 为y=-2x+5,不妨设点M在点N的左边， 讲 当点P在x轴上及x轴上方时，点M在OA上，点N 册 在AB上， P(1,m)M(号m),N(32,a, M520-号-15.0， = 2 61 8w=3x(3-m)x1565m-br2-高 + (i)当点A'在点C上方时，号<m<3,'C=2m 、8 3 Sa=7×(2m-号)×3=3m-4 1 .SAAMN= .m2-12m+17=0, 解得m,=6+√19（舍去），m2=6-√19. (ⅱ)当点A'在点C下方，且点P在x轴上或x轴上 方时，0≤m<号4C=号 -2m, 5mn=分x(号-2m)x3=4-3m 1 Sw=名5am 2-多+-名4-3m, 此时方程无解； ()当点P在x轴下方时，-弓<m<0,点M在 OB上，点N在AB上， P1,m）M(-3m,m）,N(32,m), .MW=5+5m 21 AP=3-m,4C=号-2m 参考答案 2 同理可得分×(3-m)×5+5m3x1 8 2 6×2×(3 2m)×3, 整理，得m2-4m-了=0， 解得%-6+合去)m-9 3 综上所述，满足条件的m的值为6-√9或5-√3四 3 2.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4)= a(x2-3x-4), 精 将C(0,4)代入，得-4a=4,解得a=-1, 讲 故抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. 册 y=-+34=-(-+空。 顶点D的坐标为（号孕。 (2)抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h (h>0)个单位长度，得到新抛物线的顶点 D(3-A,3, 易得直线AC的解析式为y=4x+4, 直线BC的解析式为y=-x+4, 将点D'的坐标代入直线AC的解析式， 得=4(2)+4， 解得h=15 81 将点D'的坐标代入直线BC的解析式， 得=-（号-）+4，解得A=0, ~办的取值范围为0<<5 (3)如解图，设直线PQ交x轴于点H, 由题意，得0B=0C=4,∴.∠0BC=∠0CB=45. PQLx轴， .∴.∠PHB=90° ∴.∠CPQ=∠BPH=∠OBC=45°. 易得AB=5,BC=4V2: 设Q(m,-m2+3m+4),则P(m,-m+4), .CP=√2m,PQ=-m2+3m+4+m-4=-m2 +4m. ①当△ABC∽△QPC时， 能即-m5n _4V2 -m2+4m√2m 解得m-或m=0(含去)， 0=-(+4 11_55 4=16 11155605 .Saoc=2×4X16128 P 新疆数学 ②当△ABC∽△CPQ时， 祭%即点 √2m-m2+4m 解得m-号或a=0(合去)， 0=-()4x26 5=25 方×号×贺 综上所述，△PQ0的商积为8支密 第2题解图 3.(1)证明：AC⊥BC,AB⊥BE,ED⊥BD, .∠ACB=LABE=∠BDE=90°， .∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠DBE=90°， .∠A=∠DBE. r∠A=∠DBE 在△ACB和△BDE中， ∠ACB=∠BDE, AB=BE ∴.△ACB≌△BDE(AAS). (2)解：①如解图1，过点C作CE⊥x轴于点E,根 据题意，得AB=BC. C DEB0 第3题解图1 由(1)同理得△BCE≌△AB0, .CE OB,BE =0A. 易得一次函数y=3x+3的图象与x轴交点为B(-1, 0),与y轴交点为A(0,3), .CE =OB=1,BE =0A=3, .点C的坐标为(-4,1) ②设直线AC的解析式为y=kc+b(k≠0)， 将A(0,3),C(-4,1)代入y=kx+b中， 得/3s6 1=-4+6解得 b=3 “直线AC的解析式为y=2x+3. (3)解：存在.对于y=x2-3x-4, 参考答案 当y=0时，x2-3x-4=0, 解得x1=-1,x2=4, B(4,0) .0B=4. Q(0,-1),.0Q=1. ①如解图2，当点M在BQ上方时，过点M作ME⊥BQ 交Q的延长线于点E,则mLMn5瓷-行 第3题解图2 过点E作FG∥x轴，过点B,M分别作BG⊥FG于 点G,MF⊥FG于点F, 易得△MEF∽△EBG, 器影器分 :FG∥x轴， .∠BEG=∠OBQ, tan L BEG=tan LOBQ=BC=0Q_1 ΓEGOB=4, 设BG=m,BG=4m,则EP=了m,MF=号m, 六点M的坐标为〔4-号m,了m)。 把M4-号写m)代入y=-3-4中，得 3m=4-号my-3(4-号m)-4, 198 解得m,=0(舍去)，m,=169, 点M的横华标是4-号m=4-号×8=-号 ②如解图3，当点M在BQ下方时，过点M作ME'⊥ BQ交BQ的延长线于点E', 则tan∠MBE'=ME'三1 BE=3 第3题解图3 新疆数学 过点E作F'G'∥y轴，交x轴于点G',过点M作 MF'⊥F'G于点F', 易得△MEF'∽△E'BG, 瓷器器宁 由匿可知m∠gBc-m∠0B0-5C-侣 =4 设E'G=n,BC'=4n,则EF'=4m 3几，MF'= 3九， 六点M的坐标为(4-马n,-乙n 3,-3), 精 把(4-号，-子)代人y=-3x-4中，得 讲 册 3=4-号2-34-号)-4 _144 解得m1=0(舍去)，几=12i: 点M的横华标是4-号=4号×货-引 综上所述，点M的模坐标是-或-骨 第16讲二次函数的实际应用 重难点突破 32 例1解：(1)2x;4, (2)投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工 厂能获得最大利润，最大利润是33万元. 例2解：(1)y=-0.02x2+0.3x+1.6. (2)不能. (3)抬高的高度至少需要大于0.62米. 新疆5年中考真题及拓展 1解：(：顺点为分子， ∴可设抛物线的解析式为为=(x-7+子 又：抛物线过点(2,4)， 9.7 a×4+4=4, ∴.a=1, .成本y2关于销售量x的函数解析式为y2=(x 3+子 (2)由题意知，当销售量x=之时，成本最低为子， 又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1 与销售量x的函数解析式为y1=5x, 当x=2时，销售额为=5x=5×7=2.5, .1 此时利润为25-子-075（万元）》。 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75 万元 参考答案 9第2课时 二次函数与几何图形综合(2023.23) 重难点突破 重难点二次函数与几何图形结合 例如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4交坐标轴于B,C两点，抛 物线y=ax2+bx+4经过B,C两点，且交x轴于另一点A(-1,0).点P 为抛物线在第一象限内的一点，过点P作PD∥y轴，交BC于点Q,交x 轴于点D. (1)求抛物线的解析式； 例题图 (2)连接PB,求△PCB面积的最大值； 解题突破点 (2)SAPCB→SAPCQ+ S△P,点B,C之间的水 平距离固定，可将△PCB 面积最大值转换为线段 PQ的最大值 (3)若PC=PQ,求点P的坐标； (3)根据已知可将线段问 题转化为角度问题： ①B,C坐标，PD∥y轴→ ∠0CB=∠PQC=45°； ②利用PC=PQ→LPQC= ∠PCQ=45°→∠PC0= 90>P坐标 第三单元函数 49 (4)连接AC,OP,当以O,D,P为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P(4)相似三角形的对应顶 的横坐标； 点未指明，分类讨论： ①△ODP∽△AOC; ②△PDO∽△AOC (5)连接AC,AP,当∠DPA=2∠ACO时，求点P的横坐标 (5)角度问题转化为线段 问题：设AP与y轴交于 点E,∠DPA=2∠ACO> ∠AE0=2∠AC0>AE= CE>点P横坐标 例题图 新疆5年中考真题及拓展 愈建议用时：40分钟 1.（2020新疆23题)如图，在平面直角坐标系 ②是香行在点P,使5am-名5a?若行 中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c的 顶点是A(1,3),将OA绕点0顺时针旋转90° 在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说 后得到OB,点B恰好在抛物线上，OB与抛物 明理由。 线的对称轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)P是线段AC上一动点，且不与点A,C重 合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的 边分别交于M,N两点，将△AMN以直线MW 第1题图 为对称轴翻折，得到△A'MN,设点P的纵坐标 为m. ①当△A'MN在△OAB内部时，求m的取值 范围； 培优题型链接 二次函数综合题 见《二轮重难题型培优》P29-34 50 新疆数学精讲册 2.（2019新疆23题)如图，在平面直角坐标系 ①求点C的坐标； 中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), ②求直线AC的解析式； B(4,0),C(0,4)三点 【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2-3x-4 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， (2)将(1)中的抛物线向下平移个单位长 与y轴交于C点，已知点Q(0,-1),连接BQ. 度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新 抛物线上是否存在点M,使得am∠MBQ=子？ 抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内，求 若存在，求出点M的横坐标. h的取值范围； (3)点P为线段BC上一动点（点P不与点B, C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛 物线于点Q,当△PQC与△ABC相似时，求 B △PQC的面积. 图1 图2 B 第2题图 图3 备用图 第3题图 3.(2023新疆23题)【建立模型】(1)如图1，点 B是线段CD上的一点，AC⊥BC,AB⊥BE,ED⊥ BD,垂足分别为C,B,D,AB=BE.求证： △ACB≌△BDE; 【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的 图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,将线段 AB绕点B逆时针旋转90°得到BC,直线AC 交x轴于点D. 温馨提示请完戒《课后提升练》P29-30司题 第三单元函数 51