第14讲 二次函数的图象与性质-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册

第14讲 二次函数的图象与性质(5年3考 知识精讲练 @2022年版课标重要变化 ①会用描点法（删除）画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质 ②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.（新增）】 ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.（新增）》 ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系.（新增)》 ⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.（删除） 知识点1二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数， 概念 叫作二次函数 图象 (示意图) a>0,开口向上 a<0,开口向下 一般式 顶点式 交点式 解析式 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+h y=a(x-x1)(x-x2) 对称轴 直线① 直线② 直线③ 顶点坐标 ④ ⑤ ⑥ 在对称轴左侧时，y随x的增大而⑦ ;在对称轴右 a>0 侧时，y随x的增大而⑧ 增减性 在对称轴左侧时，y随x的增大而⑨ ;在对称轴右 a<0 侧时，y随x的增大而 当x=- 当x=h时，y取 当x=十时，y取最 2 a>0 取最小值4c-b2 最小值① 1 小值- 最值 4a 4a(￥-x2)2 当x三名时，当x三h时，y取当x+空时，y取 a<0 2 取最大值② 最大值k 最大值B 2.二次函数的图象与系数a,b,c的关系 决定抛物线的开a>0→抛物线开口向上 a 口方向 a<0台抛物线开口向下 b=0曰对称轴为y轴 决定抛物线对称 ab ab>0(a,b同号)一对称轴在y轴④ 轴的位置 ab<0(a,b异号)对称轴在y轴⑤ ,4~5分) 考点小练 1.一题串知识(2025乌鲁 木齐多校联考一模改编)已 知抛物线y=-x2+4x-3. (1)抛物线的开口向 (2)将该函数化为顶点式 为 ,顶点坐标 为 (3)抛物线的对称轴为 (4)当x= 时，抛 物线有最 值，为 (5)当x时，y随x 的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小； (6)若抛物线经过A(-3, y1),B(4,y2),则y1y2 (7)若C(x1,y1),D(x2,y2) 是该函数图象上的两点，且 y1=y2,则x1+x2= 第三单元函数 41 c=0→抛物线过原点(0,0) 决定抛物线与y c>0一抛物线与y轴交于正半轴 轴交点的位置 c<0→抛物线与y轴交于负半轴 b2-4ac=0抛物线与x轴有唯一的交点（顶点） b2-4ac 决定抛物线与xb2-4ac>0曰抛物线与x轴有⑥ 不同的 轴交点的个数 交点 b2-4ac<0一抛物线与x轴没有交点 特殊关系 2a +b 与1比较 2a 4a+2b+c 令x=2,看纵坐标 2a-b b与-1比较 2a 4a-2b+c 令x=-2,看纵坐标 a+b+c 令x=1,看纵坐标 9a+3b+c 令x=3,看纵坐标 a-b+c 令x=-1,看纵坐标 9a-3b +c 令x=-3,看纵坐标 知识点2二次函数解析式的确定及图象的平移 1.二次函数解析式的确定 已知任意三个点的坐标 y=ax2+bx+c 已知顶点坐标 解析式的 y=a(x-h)2+h 已知纵坐标相同的点 常见设法 已知与x轴的两个交点坐标 y=a(x-x1)(x-x2) 已知与x轴的一个交点坐标+对称轴 一设：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)； 待定系数法 二列：找出函数图象上的三个点，代入y=ax2+bx+c(a≠0)中， 确定二次函 得到方程组； 数解析式 三解：解方程组，得到a,b,c的值； 四还原：将所求待定系数a,b,c的值代入y=ax2+bx+c中即可 2. 二次函数图象的平移 般式y= 左右平移n(n>0) 个单位长度 →变x→y=a(x±n)+ 简记为： ax2+bx+c y=ax+bx+c b(x±n)+c 上下平移n(n>0) x“左加右 (a≠0) 变c+y=ax2+bx+c±n 个单位长度 减”， 左右平移n(n>0) 等号右边整 顶点式y= y=a(x-h)+h- 个单位长度 变x→y=a(x±n-h)'+k 体“上加下 a(x-h)2+k 上下平移n(n>0) 个单位长度 变k→y=a(x-h)'+k±n 减” 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与x轴(y=0) 两个交点（x1,0), 的交点情况 一个交点(x1,0) 无交点 (x2,0) 42 新疆数学精讲册 2.一题串知识如图是二次 函数y=ax2+bx+c的图 象，结合图中的信息填空： （在横线上填“>”“<”或 “=”) 1ōi23 第2题图 (1)abc 0: (2)b2-4ac 0: (3)2a+b 0； (4)a+b+c 0. 4a +26+c 0: (5)a-b+c 0,3a +c 0 (6)(a+c)2 b2; (7)当m≠1时，a+b m(am+b). 3.人教九，上P40练习改编] 已知抛物线y=ax2+bx+c. (1)若该抛物线经过A(0, 0),B(-1,-1),C(1,9)三 点，则解析式为 。 (2)已知二次函数的最小值 为3，对称轴为直线x=-1, 且经过点(2,8)，则解析式 为 (3)若当x=0时，y=-1, 当x=-2与2时，y=0,则 解析式为一； 4. 已知抛物线y=2(x+1)2-1. (1)将抛物线向左平移1个 单位长度，向下平移2个单 位长度得到的抛物线的解 析式为 (2)抛物线y=a(x-1)2+3 先向右平移1个单位长度，再 向上平移2个单位长度后经 过点(1,7)，则a= 5 一元二次方程 △>0曰方程有两个4=0曰方程有两个 △<0台方程没 ax2+bx+c=0 不相等的实数根x=相等的实数根x= 有实数根 (y=0)的根 x1或x=x2 X1=光2 不等式 x<x1或x>x2（对应 ax'+bx+c0 图象中x轴上方部 x≠x1的实数 x取任意实数 (a>0)的解集 分) 【温馨提示】一元二次方程ax2+bx+c=m(a≠0，m≠0)的解 或不等式ax2+bx+c>m(a≠0，m≠0)的解集常常转化为抛 物线y=ax2+bx+c与直线y=m的位置关系进行处理，通常 借助数形结合思想来判断 重难点突破 重雅点1)二次函数的图象与性质 例1(2023新疆9题)如图，在平面直角坐标系中，直线y1=mx+n与 抛物线y2=ax2+bx-3相交于点A,B.结合图象，判断下列结论：①当 -2<x<3时，y1>y2;②x=3是方程ax2+bx-3=0的一个解；③若 (-1,t1),(4,t2)是抛物线上的两点，则t1<t2;④对于抛物线y2=ax2+ bx-3,当-2<x<3时，y2的取值范围是0<y2<5.其中正确结论的个 数是 例1题图 A.4个B.3个 C.2个 D.1个 变式1(2023鸟鲁木齐新市区一模)表中列出的是一个二次函数的自 变量x与函数y的几组对应值： -2 0 1 … y 6 .6 下列各选项中，正确的是 A.这个函数的最小值小于-6 B.这个函数的图象开口向下 C.这个函数的图象与x轴无交点 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 人教九上P47T5改编】已 知抛物线y=x2-2x-3. (1)方程x2-2x-3=0的 解是 ,当y>0时， x的取值范围为 (2)方程x2-2x-3=5的 解为 ,当y<5时， x的取值范围为 解题突破点 比较二次函数值大小的方法 (1)代入求值比较大小； (2)根据函数增减性比较大 小：若这些点在对称轴的同 一侧，可通过增减性比较；若 不在对称轴的同一侧，可利 用对称性，转化为在同一侧， 然后再进行比较； (3)根据距离法比较大小：若 开口向上，则离对称轴越远， 函数值越大，如图1：若开口 向下，则离对称轴越远，函数 值越小，如图2. 10 D 图1 图2 第三单元函数 43 重难点2二次函数图象与系数a,b,c的关系 例2(2025鸟鲁木齐校级模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0) 解题突破点 与x轴交于A,B两点，与y轴的正半轴交于点C,对称轴是直线x= ①由图象可得，当x=-1时，二 -1,其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠-1时，a-b>am2 次函数的值最大； +bm;②若ax1+bx1=ax2+bx2且x1≠x2,则x1+x2=2;③若0A= ②已知该二次函数图象上两个 0C,则0B=-口：④若B(1,0),C(0,3),连接AC,点P在抛物线的 点(x1,y1),(x2,y2),若y1=y2, 则西十=-1 2 对称轴上，且∠PCA=90°，则P(-1,4).其中正确的有 (填序号) ③格搭对格轴公式-品=-1， 可得a,b的关系式，由OA= OC,可用含a,c的式子表示A,B NO 坐标，代入解析式求解点B坐 A 0 x=1 标，表示OB的长； 例2题图 变式2题图 ④点P在抛物线对称轴上，可 变式2（2024鸟鲁木齐天山区一模)如图，二次函数y=ax2+bx+c 设点P(-1,m),利用两点距离 公式表示线段长，根据勾股定理 (a≠0)的图象与x轴负半轴交于(-2,0)，顶点坐标为(1，)，有 可列出关系式： 以下结论：①abc<0;②3a+c>0;③若点(-2，y1),(0,y2),(3,y3) 均在函数图象上，则y1>y3>y2;④点M,N是抛物线与x轴的两个 交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM⊥PW,则a的 范围为a≥子 其中结论正确的有 新疆5年中考真题及拓展 圈建议用时：10分钟 命题点1)二次函数的图象与性质(5年3考) 1.(2022新疆7题)已知抛物线y=(x-2)2+ 1,下列结论错误的是 ( A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 命题点2)二次函数解析式的确定（含平移） C.抛物线的顶点坐标为(2,1) 拓展训练 D.当x<2时，y随x的增大而增大 3.将抛物线y=a(x-m)2+k先向左平移2个单 2.(2020新疆8题)二次函数y=ax2+bx+c的 位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线 图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比 解析式为y=ax2,则m,k的值分别是 例函数y=。在同一平面直 4.（2025广东省卷)已知二次函数y=-x2+bx+ 角坐标系中的图象可能是 c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则该 第2题图 二次函数的解析式可以是 温馨提示请完成《课后提升练》P27-28习题 44 新疆数学精讲册(2)在.理由略 (3)x≥2或-6≤x<0. (4)SAA0B=8. (5)S四边形BMw=4×8=32。 (6)m的值为4√5. 新疆5年中考真题及拓展 1c2.203.-124-4或1 5.解：(1)一次函数解析式为y=2x+2; 12 反比例函数解析式为y= (2)SABc=42. 第14讲二次函数的图象与性质 知识精讲练 ①r=会2=A,@x,@(-会“6： ⑤(a,):0(士，-4(-5尸)：⑦减小图谐 大：@增大：0减小①：®“。”，B-}a( x2)2;④左侧；⑤右侧；⑥两个 考点小练 1.(1)下；(2)y=-(x-2)2+1;(2,1);(3)直线x =2;(4)2;大；1；(5)<2；>2；(6)<；(7)4 2.(1)<;(2)>;(3)=;(4)>;>;(5)=;=; (6)=;(7)> 3.(①y=4+52y=多+号+器：(3y=父 +2小 4.(1)y=2(x+2)2-3;(2)2 5.（1)x1=-1,x2=3;x<-1或x>3;(2)x1=-2, x2=4;-2<x<4 重难点突破 例1B 变式1A例2①③④变式2②③④ 新疆5年中考真题及拓展 1.D2.D3.m=2,k=3.4.y=-x2+x+2(答 案不唯一) 提分专题三平面直角坐标系中的面积问题 1.B2.B3.C4.(-3,-4)或(2，-4) 5.106.C7.D8.169.(8,0)或（号，0） 10.S△ABN=12. 第15讲二次函数综合题 第1课时性质综合题 重难点突破 例解：y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1. 当x=-1时，y=4; 新疆数学 当x=m时，y=-m2-2m+3； 当x=m+1时，y=-(m+1)2-2(m+1)+3= -m2-4m. ①当m+1≤-1，即m≤-2时， 当x=m时，函数取最小值； 当x=m+1时，函数取最大值， .y最小=-m2-2m+3,y最大=-m2-4m; ②当m≥-1时， 当x=m+1时，函数取最小值； 当x=m时，函数取最大值， y最小=-m-4m,y最大=-m2-2m+3; 精 ③当m<-1<m+1,且-1-m>m+1-（-1),即 讲 -2<m<-3时， 册 当x=m时，函数取最小值； 当x=-1时，函数取最大值， ∴.y最小=-m2-2m+3,y最大=4； ④当m<-1<m+1,且-1-m<m+1-（-1),即 多<m<-1时， 当x=m+1时，函数取最小值： 当x=-1时，函数取最大值， y最小=-m2-4m,y最大=4. 变式1解：：二次函数为y=mx2-2mx+3, .抛物线的对称轴为直线x=1. ①当m>0时，抛物线开口向上， 当x=1时，函数取最小值，为m-2m+3=-m+3, .-m+3=2,解得m=1; ②当m<0时，抛物线开口向下， 当x=-1时，函数取最小值，为m+2m+3=3m+3, .3m+3=2,解得m=-3 1 综上所述，m的值为1或-分 变式2解：二次函数y=-x2+2mx-3, ∴.抛物线的开口向下， 2m 对称轴是直线x=2×（-)=m ①当0<m<3时， 当x=m时，函数取最大值，为-m2+2m2-3=m2-3, .m2-3=1,解得m=2或m=-2(舍去)； ②当m≥3时， 当x=3时，函数取最大值，为-9+6m-3=6m-12, ∴.6m-12=1,解得m= （会. 综上所述，m的值为2. 变式3解：二次函数y=x2-6x+5, ∴.抛物线的开口向上，对称轴为直线x=3, .x=2和x=4处的函数值相等. ①当m≤2时， 参考答案 5