第7讲 一元二次方程及其应用-【练客中考】2026年新疆新中考数学精讲册

第7讲 一元二次方程及其应用（必考， 知识精讲练 Q2022年版课标重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系.（删除“*”，改为必学） 知识点个一元二次方程及其解法 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数 概念 是① (二次)的方程，叫作一元二次方程 一般 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0) 形式 直接开 (1)ax2+c=0(a≠0，ac≤0)→x=② 平方法 (2)(x+m)2=n(n≥0)→x=③ 适用于二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 步骤：(1)移项：将常数项移到方程的右边； 配方法 (2)变形：将二次项系数化为1； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)求解：用直接开平方法求解 适用于所有一元二次方程，当2-4ac≥0(a≠0)时，实数根可 解法 写为④ 公式法 使用求根公式时：(1)先将方程化为一般式，再利用公式求解； (2)a,b,c代入公式时应注意其符号 通过因式分解，转化为一次方程求解： ax2+6:+c=0(a≠0）分解因武，(m+n)(x+g)=0 因式 转化为一元一次方程 分解法 mx+n=0或px+g=0,求得x的值 【易错提示】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有未 知数的相同因式，避免丢根 【温馨提示】(1)m,n是方程ax2+bx+c=0的两根，则ax2+bx+c=a(x-m) (x-n); (2)若a2+a-1=0,b2+b-1=0,则a,b可看作方程x2+x-1=0的两根 知识点2根的判别式 般地，式子⑤ 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别 概念 式，通常用希腊字母“4”表示它，即△=b2-4aC (1)4⑥ 0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； (2)△≥0曰方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根； 根的情 (3)A=0曰方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个⑦ 的实数根； 况与判 别式的 (4)△<0曰方程ax2+bx+c=0(a≠0)⑧ 实数根 关系 【易错提示】根据字母系数的值求根的情况时应注意： (1)使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a,b,c的值； (2)若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论 第二单元 ~10分) 考点小练 1.人教九上P16-17节选】 按要求解下列方程： (1)(x+5)2=25(直接开平 方法)； (2)x2+10x+16=0(配方 法)； (3)x2+x-12=0(公式 法)； (4)3x(x-1)=2(x-1) (因式分解法) 2.一题串知识(2025乌鲁 木齐校级模拟改编)已知关 于x的方程(m+1)x2-2x +1=0. (1)若x=1是该一元二次 方程的一个根，则m的值为 (2)若m=-3,则该一元二 次方程根的情况是 (3)若该一元二次方程没有 实数根，则m的取值范围 为 (4)若该一元二次方程有实 数根，则m的取值范围 为 (5)若该方程有实数根，则 m的取值范围为 方程（组）与不等式（组） 23 知识点3根与系数的关系 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2= ⑨ ,1·x2=⑩ 【温馨提示】根与系数关系的常见变形： 根与 系数的 (1)1+1=名+3 (2)x+x=(x1+x2)2-2x1x2; 关系 （3-产=(+)2-4：(41--： (5)+-好+经_（出1+）2-2x12 X2 X1 X1X2 12 知识点4一元二次方程的实际应用 平均增长设a是基础量，b为增长（下降）后的量， (下降)若x为平均增长率，2为增长次数，则b=@ 率问题 若x为平均下降率，2为下降次数，则b=② 销售 (1)常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 问题 (2)单价每涨a元，少卖6件，若涨价y元，则少卖的数量为子·6（件） 设矩形ABCD的长为a,宽为b,空白部分的宽为x,则： 面积 问题 田 B AB+BC+CD=a S阴影=B S阴影=④ S阴影=固 S阴影=固 (1)单循环问题：每两队之间比赛一场，则x队共比赛的场数为 循环 x(x-1)(x≥2)； 2 问题 (2)双循环问题：全班有x人，每人向其他人送一份礼物，则共送出礼 物的份数为x(x-1)(x≥2) (1)细胞分裂：现有a个细胞，若每轮分裂中每一个细胞可分裂成x 个细胞，则第一轮分裂后的细胞总数为ax,第二轮分裂后的细胞总数 为ax2; 传播 (2)病毒传染：有一个人患流感，若每轮传染中平均一个人传染了x 问题 个人，则第一轮后共有(1+x)个人患流感，第二轮后共有(1+x)2个 人患流感； (3)植物主干分支：一种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出a 个小分支，则主干、支干和小分支的总数为(1+a+a2)个 【温馨提示】实际问题需要验根，检验根是否符合实际意义 24 新疆数学精讲册 3.已知方程x2+x-2=0的两 根分别为1，西2，则上+1的 X1 X2 值为 4.已知x1,x2是方程2x2+x -2=0的两个实数根，且 (x1-2)(x2-2)=10,则k 的值为 5.平均下降率问题一人教九 上P19探究2改编】为了减 轻百姓医疗负担，某制药厂 将一种药剂价格逐年降低. 2023年这种药剂价格为200 元，2025年该药剂价格为98 元.设2023年到2025年这 种药剂价格的年平均下降 率为x,根据题意，可列方程 为 6.面积问题[2025辽宁]中 国古代数学家杨辉的《田亩 比类乘除捷法》中记载：“直 田积八百六十四步，只云长 阔共六十步，问长多阔几 何.”其大意是：一块矩形田 地的面积为864平方步，只 知道它的长与宽共60步，问 它的长比宽多多少步？设 这个矩形的宽为x步，根据 题意可列方程为 7.循环问题一人教九上P25 改编】“少年强，则国 强”，为丰富校园文化生活， 激发学生参与体育运动的 积极性，进一步推动学校体 育活动的健康发展，以赛促 练.某校组织了一次单循环 的足球比赛（每两支队伍之 间比赛一场)，共进行了36 场比赛，设有x支队伍参加 了比赛，依题意可列方程 为 新疆5年中考真题及拓展 圈建议用时：20分钟 命题点1]一元二次方程及其解法(5年2考) 命题点4 1一元二次方程的实际应用(5年 1.（2023新疆6题)用配方法解一元二次方程 2考) x2-6x+8=0配方后得到的方程是（ 8.面积问题(2025新疆7题4分)如图，小明 A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 长)和24m长的围栏围成一个面积为40m2 2.（2021新疆6题)一元二次方程x2-4x+3= 的矩形场地.设矩形的宽为xm,根据题意可 0的解为 () 列方程 ( A.x1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=3 A.x(24-2x)=40 C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3 B.x(24-x)=40 拓展训练 C.2x(24-2x)=40 第8题图 D.2x(24-x)=40 3.（2025青海省卷)若x=1是一元二次方程 9.平均增长率问题](2022新疆8题)临近春 x2-4x+c=0的一个根，则c的值为 节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一 命题点2根的判别式(5年3考) 个月的销售额为8万元，第三个月的销售额 4.（2025新疆6题4分)若关于x的一元二次方 为11.52万元，设这两个月销售额的月平均 程x2-2x+a=0无实数根，则实数a的取值 增长率为x,则根据题意，可列方程为() 范围是 A.8(1+2x)=11.52 A.a<1 B.a>1 B.2×8(1+x)=11.52 C.a≤1 D.a≥1 C.8(1+x)2=11.52 5.（2022新疆6题)若关于x的一元二次方程 D.8(1+x2)=11.52 x2+x-k=0有两个实数根，测飞的取值范围 拓展训练 是 ( 10.销售问题】哈密瓜主产于中国新疆吐哈盆 A.>-1 B.≥-1 地，以香甜多汁、营养丰富著称，被列为中国 4 4 国家地理标志产品.某商店原来每天可销 C<- D.k 售哈密瓜100kg,每千克盈利7元，为了减 少库存，经市场调查，如果哈密瓜每千克降 6.（2024新疆12题)若关于x的一元二次方程 x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k 价1元，那么每天可多售出40kg,若要每天 盈利840元，则每千克应降价多少元？ 的取值范围为 命题点3]根与系数的关系 拓展训练 7.(2025乌鲁木齐适应性测试)若α，B是方程 x2-3x-4=0的两个根，则a2-4a-B的值 ©培优题型链接 解方程（组） 为 见《二轮重难题型培优》P3 温馨提示请完成《课后提升练)P13-14习题 第二单元方程（组）与不等式（组） 25考点小练 1(1)①2④⑥，①0(2)≠3；-3 -:（43品，5) 211:(2)8(3)2: a-li (6)4a62 9c2 3.解：原式= x+1 当=2时，原式=行 新疆5年中考真题及拓展 1.x≠5变式1-15变式1-2x>5 例解：原式= 1 a-1 1 当a=2时，原式=2-1=l. 2.A 3.原式=1. 第二单元方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及其应用 知识精讲练 ①b±c;②bc;③a;④1；⑤两；⑥两；⑦公共解 考点小练 1.(1)-1;(2)x;(3)3;(4)22.(1)-1;(2)-9 3.x=-1. 4.15.5 67 7.208.(1)35;65;(2)九 9.(120+x)×75%=120×95% 新疆5年中考真题及拓展 1.x=5. 「x=2 3.D 4.解：A种水果买了5千克，B种水果买了2千克 5.D 第6讲分式方程及其应用 知识精讲练 ①未知数；②最简公分母；③0 考点小练 1.(1)x=-2;(2)4;(3)2;(4)2或1；(5)m>1且 m≠22.C 新疆5年中考真题及拓展 例x=0. 1.x=2. 新疆数学 2.D3.D 4.解：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 公里. 第7讲一元二次方程及其应用 知识精讲练 2,@±√80-m± ④x=-b±，B-4ac,⑤6-4c:⑥>：⑦相等； 2a ⑧无：⑨-名0后0a(1+:a(1-)': 精 B(a-2x)(b-2x);④(a-x)(b-x); 讲 ⑤(a-x)(b-x):⑥(a-2 册 2 考点小练 1.解：(1)x1=0,x2=-10. (2)x1=-2,x2=-8. (3)x1=3,x2=-4. (4)g=子4=1 2.(1)0;(2)有两个不等的实数根；(3)m>0; (4)m≤0且m≠-1；(5)m≤0 3.7475.20(1-x)2=98 6.x(60-)=8647.(x2-1=36 2 新疆5年中考真题及拓展 1D2B334B5B6k<号71 8.A9.C 10.解：每千克应降价子元 第8讲一元一次不等式（组）及不等式的应用 知识精讲练 ①>；②>；③>；④<；⑤<；⑥x<a;⑦x≤a; ⑧x≤b:⑨无解：0≥：①≤ 考点小练 1.D 2.解：不等式的解集为x≤1， 在数轴上表示解集如解图所示。 -3-2-10123 第2题解图 3.解：(1)a>-1;(2)a≤-1；(3)2<a≤3； (4)不等式组的解集为-2<x<1, 在数轴上表示解集如解图所示. 口→ -3-2-1012 第3题解图 参考答案 3