第六章 第二节 与有关的位置关系-【决胜中考】2025年中考数学全程复习练习册（安徽专版）

第二节 与圆有关的位置关系 【中考过关】 于点G,连接DG.若AB=10,DE=8,则AF 1.(2024·泸州)如图，EA,ED是⊙O的切 ,DG= 线，切点为A,D,点B,C在⊙O上，若 6.(2024·眉山)如图，BE是⊙O的直径，点A ∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=() 在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC= A.56° B.60° C.68° D.70° ∠ABC,AD平分∠BAE交⊙O于点D,连 E y 接DE (1)求证：CA是⊙O的切线； D (2)当AC=8,CE=4时，求DE的长. 第1题图 第2题图 B 2.(2024·包头)如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，点O在四边形ABCD内部， 过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点 P,连接OA,OB.若∠AOB=140°，∠BCP= 35°，则∠ADC的度数为 3.(2024·盐城)如图，△ABC是⊙O的内接 三角形，∠C=40°，连接OA,OB,则∠OAB= 【中考突破】 7.(2024·滨州)刘徽（今山东滨州人）是魏晋 时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论 的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰 第3题图 第4题图 斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一 题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容 4.(2024·眉山)如图，△ABC内接于⊙O,点 圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种 O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D, 表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C=90°， 连接BD.若AB=10,BD=25,则BC的 AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用 长为 含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直 5.(2024·重庆)如图，以 径d,下列表达式错误的是 AB为直径的⊙O与 A.d=a+b-c AC相切于点A,以AC 2ab 为边作平行四边形AC G B.d= a+b+c DE,点D,E均在⊙O C.d=√2(c-a)(c-b) 上，DE与AB交于点F,连接CE,与⊙O交 D.d=|(a-b)(c-b) ·44· 变式拓展 11.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O (2024·临邑县一模)如 D 的弦，点D在⊙O外，延长DC,AB相交于 图，在矩形ABCD中， 点E,过点D作DF⊥AB于点F,交AC BC=8,以AB为直径作 于点G,DG=DC. ⊙O,将矩形ABCD绕点 (1)求证：DE是⊙O的切线； B旋转，使所得矩形 B (2)若⊙O的半径为6，点F为线段OA的 A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E,边 中点，CE=8,求DF的长， A'B与⊙O相交于点F.若BF=8,则CD长为 ( ) A.9 B.10 C.83 D.12 8.(2024·利辛县一模)如图，线段AB是⊙O 的直径，⊙O交线段BC于点D,且D是BC 中点，DE⊥AC于点E,连接AD,则下列结 论中正确的有 () 【核心素养】 ①CE·CA=CD·CB;②∠EDA=∠B;③ 12.(2024·辽宁)如图所示，⊙O是△ABC的 0A=2AC,①DE是⊙0的切线；⑤AD= 外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC AE·AB. 上，AC=BD,点E在BA的延长线上， A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ∠CEA=∠CAD. (1)如图1，求证：CE是⊙O的切线； (2)如图2，若∠CEA=2∠DAB,OA=8, 求BD的长 B 第8题图 第9题图 9.(2024·浙江)如图，AB是⊙O的直径，AC 图1 图2 与⊙O相切，A为切点，连接BC.已知 ∠ACB=50°，则∠B的度数为 10.(2024·山东)如图，△ABC是⊙O的内接 三角形，若OA∥CB,∠ACB=25°，则 ∠CAB= ·45·45°.此时，点M恰好与点C重合，得 x=12. (Ⅲ)如图2所示，若AN=AD=6,则 ∠1=∠2.AD∥BC,.∠1=∠4.又 ∠2=∠3，∴.∠3=∠4，∴.CM=CN. .AC=6√2，∴.CM=CN=AC AN=6√2-6.故x=12-CM=12 (6√2-6)=18-6√2.综上所述，当 x=6或12或18-6√2时，△AND是 等腰三角形 图1 图2 第六章圆 第一节圆的基本性质 1.D2.A3.C 4.60[解析]，四边形ABCD内接于 ⊙O,.∠B十∠D=180°.四边形 OABC是菱形，∴.∠B=∠AOC, ∠AOC十∠D=180°.由圆周角定理 可知，∠D=2∠A0C,∠D=60 5.(1)解：∠ADC=2∠B,∠ADC+ ∠B=180°，∴.∠B=60° (2)证明：如图，连接OD A :点D为AC的中点，AD=CD, ∴.∠AOD=∠COD.,∠B=60°， ∠AOC=2∠B,.∠AOC=120° ∴.∠AOD=∠COD=60°..AO=DO= CO,.△AOD和△COD均为等边三角 形，∴.AO=CO=AD=CD,∴.四边形 AOCD为菱形. 6.B[解析]如图，连接AD. D B :AC=BC,∠ADC=∠BDC= 3∠A0c=号×96=18 7.A[解析]AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°.∠CDB=60°，∠A= ∠CDB=60°，∴.∠ABC=90°-∠A=30°. 8.90°[解析]：∠A是BC所对的圆周 角，·∠A=2∠0.：0B=0C, 1 ∴∠OBC=∠OCB.又，∠O+∠OBC+ ∠0CB=180°，∴∠0+2∠0BC=180°， 日∠0+∠0BC=90,甲∠A+ ∠OBC=90°. 9.(1)证明：AB=BC,AB=BC :∠ABD=∠BCE,AED=BAE,即 AE+DE=AB+AE,·AB-DE :AB=BC,∴BC+CD=DE+CD,即 BD=CE,∴BD=CE. (2)解：①：CD的度数B=60°，.AB= BC=DE,其所对圆心角的度数均为 180°-60=40，AB所对国心角为 3 40°，即∠AOB=40°.：点A,B,C,E在 ⊙0上，∴.∠BCE+∠A=180°， ∠E=1m-(2）=1w-0 110°，即a=110°. ②6a十B=720°，理由如下：CD的度数 为B,.AB=BC=DE,其度数都等于 180g∠608-180g2.女周，t 3 接AE. 易知四边形ABCE是⊙O的内接四边 形，∴.∠BCE+∠A=180°，.∠BCE= 180°-∠A=180°-(180-∠A0B)= 2 90+2∠A0B=90+宁×1ng,即 3 a=0+7×18026a+g=72m 10.解：(1)，大圆的半径为80公分，小圆 的半径为20公分，EF=大圆的半 径一小圆的半径=80一20=60（公分）. G为ER中点，GF=号EP 30公分. (2)CD>AB.理由 EOK 如下：由题意知，C可D AB=大圆的直径=HF 80×2=160(公分).如图，延长CH, EF交于点O,延长DK,FE交于点O, 则OC=OE=OD=O'F=80公分. .EG=GF=30公分，∴.OG=O'G= 50公分.∠0=∠0=90°，∴CG= √0C+0G=V√80+50=10v√/89= ·82· DG,.CD=CG+DG=2089公分. .√/89>8，∴.20√89>160，即CD>AB. 第二节与圆有关的位置关系 1.C[解析]如图，连接AD. E B ,·四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°..∠BAE+ ∠BCD=236°，.∠EAD+∠BAD+ ∠BCD=∠EAD+180°=236°， .∠EAD=56°.，EA,ED是⊙O的切 线，.EA=ED,.∠EDA=∠EAD= 56°，∴.∠E=180°-∠EDA-∠EAD= 180°-56°-56°=68°. 2.105°[解析]如图，连接OC. 点C为切点，.OC⊥PC,.∠OCP= 90°.∠BCP=35°，∴.∠OCB=90°- ∠BCP=55°.，OC=OB,∴.∠OBC= ∠OCB=55°，.∠BOC=180°-∠OCB- ∠OBC=70°.∠AOB=140°，.∠AOC= 360°-∠AOB-∠BOC=150°，.∠ABC =2∠A0C=75,∠ADC=180°- 1 ∠ABC=105°. 3.50 4.8[解析门如图，延长AC,BD交于E点. E A B AB是⊙O的直径，∴.BD⊥AD, .∠ADB=∠ADE=90°.，AD平分 ∠BAC,∴.∠BAD=∠DAE.又，AD= AD,.△BAD≌△EAD(ASA),,∴.BD= DE=25,∴.BE=BD+DE=4√5. ,AB=10,BD=25,∴.AD= √/102-(25)2=4√5..∠DAC= ∠CBD,且∠ACB=∠ADB=90°，即 ∠ADB=∠BCE=90°，.△ABD △BEC, BE BC .、45= BC ·AB=AD·10 45 .BC=8. 5.82013 13 [解析]连接OE,OD,OG, 过点O作OH⊥DG于点H,CE交AB 于点P,如图所示 B C ,以AB为直径的⊙O与AC相切于点A, ∴.AB⊥AC.,四边形ACDE为平行四边 形，.AC∥DE,.AB⊥DE,∴.DF=EF =4AB=10,d0A=( 在Rt△OEF中，OF=√OE-EF= √52-4=3，.AF=OA+OF=5+ 3=8..'DE∥AC,.∠DEC=∠ECA. 又∠APC=∠EPF,∴.△PEF∽ △PCA,EP-EF1 PAAC=2·又：FP+ PA-aFPA-号AP-号X8-9 31 在R△ACP中，PC=√S+() 8/E.:∠D0G=2∠DG,∠D0G= 3 2∠DOH,∴.∠DEG=∠DOH.易知DE∥ OH∥AC,∠DEG=∠EDO=∠DOH, ∠DOH=∠PCA,∴.Rt△DOHD Rt△PCA,∴.DH：AO=OD:PC,即 :9-5:8:nm= 131 ,OH⊥DG,.点H平分DG,.DG= 2DH=2013 13 6.(1)证明：如图连接OA,BE是⊙O的 直径，.∠BAE=90°，∴.∠BAO+∠OAE 90°.，OA=OB,∴.∠ABC=∠BAO. '∠EAC=∠ABC,.∠CAE= ∠BAO,.∠CAE+∠OAE=90°， ∠OAC=90°.OA是⊙O的半径， ∴CA是⊙O的切线 (2)解：：∠EAC=∠ABC,∠C=∠C, △ABCO△BACC-g,可得 84 BC=8,解得BC=16,BE=BC CE=12.如图连接BD.,AD平分 ∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,.BD=DE, .BD=DE.,BE是⊙O的直径， ÷∠BDE=9O,DE=BD=2BE= 2 62. 7.D[解析]如图，作OE⊥AC于点E, OD⊥BC于点D,OF⊥AB于点F. A C D B 易证四边形OECD是正方形，设OE= OD=OF=r,则EC=CD=r,∴.AE= AF=6-r,BD=BF=a-r..'AF+ BF=AB,..6-r+a-r=c,.r= a十b-C,“d=a十b-c,故选项A正 2 确.S△ABc=S△Ac+S△BG十S△AB, 动=r+r+ib=ra+ ab 2ab 6+c),心r=a+b+c,即d=a+b+e 故选项B正确.由前面可知d=a十b一 c,.d2=(a+b-c)2=(a+b)2-2c(a+ b)+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2. a2+b2=c2,.上述式子=2c2+2ab 2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)= 2[(c2-ac)+b(a-c)]=2(c-a)(c-b), .d=√2(c-a)(c-b),故选项C正 确.综上所述，由排除法可知选项D错 误D. 变式拓展 B[解析]如图，连接OE,延长EO交 BF于点M D 4 B :C'D与⊙0相，∠OEC'=90.在 矩形A'BCD'中，A'B∥C'D',∴.∠EMB= 90°，.BM=FM.,矩形ABCD绕点B 旋转所得矩形为A'BCD',∴∠C=∠C= 90°，AB=CD,BC=BC'=8,.四边形 EMBC'为矩形，∴.ME=8.设OB=OE= OM=8-..OM2+BM2=OB2, .(8-x)2+4=x2,解得x=5,.AB= CD=10. 8.C[解析]由题图易知△CED为直角三 角形，而△ABC不是直角三角形，故两 三角形不相似，.CE·CA≠CD·CB, ①错误.如图所示，连接OD. ·83· B ,D为BC中点，O为AB中点，.DO 为△ABC的中位线，.OD∥AC.又， DE⊥AC,.∠DEA=90°，∴.∠ODE= 90°，∴.DE为⊙O的切线，④正确.OB =OD,∠ODB=∠B.AB为⊙O的 直径，.∠ADB=90°.∠EDA十 ∠ADO=90°，∠BDO+∠ADO=90°， .∠EDA=∠BDO,∴.∠EDA=∠B, ②正确.D为BC中点，且AD⊥BC, .AD垂直平分BC,∴.AC=AB.又OA= AB,∴0A=子AC,⑤正猜.：∠DAC= ∠EAD,∠DEA=∠CDA=90°， AD,即 △ADED△ACD,.A2=AE AD2=AE·AB,⑤正确.综上，正确结 论有4个， 9.40° 10.40°[解析]连接OB,如图所示. ∠ACB=25°，∴.∠AOB=2∠ACB= 50°..OA=OB,..∠OAB= ∠0BA=2180-∠A0B)=65 .OA∥CB,.∠OAC=∠ACB=25°， ,∴.∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°. B 11.(1)证明：如图连接O℃. .DG=DC,.∠DGC=∠DCG. ,∠DGC=∠AGF,.∠DCG= ∠AGF..DF⊥AB,.∠AFG=90°， .∠A+∠AGF=90°..OC=OA, .∠A=∠ACO,.∠DCG+∠ACO= 90°..∠DC0=90°.，OC是⊙O的半 径，，DE是⊙O的切线. (2)解：由(1)知，∠OCE=90°.OC= 6,CE=8,∴.OE=√OC2+CE2=10. ,OA=6,点F为线段OA的中点， E0F=20A=3,÷EF与 13. ∠DFE=∠OCE=90°，∠E=∠E, :△OCE∽△DFE,·EF CE OC DF' -解得DF- 12.(1)证明：如图，连接OC. E :∠CAO是△ACE的一个外角， ∴.∠CAO=∠CEA+∠ACE,即 ∠CAD+∠DAB=∠CEA+∠ACE. ∠CEA=∠CAD,∴.∠DAB= ∠ACE.AC=BD,.∠ABC= ∠DAB,∴.∠ABC=∠ACE..AB是 ⊙O的直径，.∠ACB=90°，.∠ABC十 ∠OAC=90°..OA=OC,∴.∠OAC= ∠OCA,∴.∠ABC+∠OCA=90°， ∴∠ACE+∠OCA=90°，即∠OCE= 90°.OC是⊙O的半径，.CE是⊙O 的切线 (2)解：如图，连接OD E的 设∠DAB=x.:∠CEA=2∠DAB, ·∠CEA=2x.:∠CEA=∠CAD, ∴∠CAD=2x.:AC=BD,.∠ABC= ∠DAB=x.:AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，.∠ABC+∠BAC= 90°，∴x十2x十x=90°，.x=22.5°，即 ∠DAB=22.5°，.∠BOD=2∠DAB= 45.:04=8,÷.BD的长为45πX8=2元 180 第三节与圆有关的计算 1.B 2.11π[解析]阴影部分的面积为 40π×10240π×140π×(102-12) 360 360 360 11π(m2) 3.4r[解析]AB的长为120xX6 4π. 180 4.8π[解析]如图，过点C作CM⊥AB于 点M,则AM=BM= 2AB=. ·六条等弧所对应的弦构成一个正六边 形，中心为点0，∠A0B=360° 6=60 :OA=OB,.△AOB是正三角形. ,点C是△AOB的内心，∴.∠CAB= ∠CBA-令X60=30,∠ACB= 2∠AOB=120°.在Rt△ACM中，AM= AM 5,∠CAM=30°，AC=coS30=2, ∴AB的长为120xX2=4 180 ,花窗的 周长为子rX6=8元 5.4π[解析]AB=4,.BC=√2AB= 4√2.点O为BC中点，.OB=OC BC=22,四边形ABCD为矩 ∠OBE=90,·cos∠BOE=8E 2∠B0E=45.同理，∠C0F=45, ,∠EOF=180°-∠BOE-∠COF=90°， 5m-别X:0E-7X16=4 90 6.C[解析]如图，在正六边形ABCDF中 连接OA,OB,过点O作OM⊥AB,垂足 为点M. E :正六边形ABCDEF,∴∠AOB= 360°=60.0A=0B,∴△A0B是正 6 三角形，，OA=OB=AB.设AB=x, 则OA=OB=x,∴.S王大带=6S△A0B= 63,6X2 XzX号=6,解得 x=2或x=一2（舍去），即正六边形的边 长为2. 7.B[解析]如图，作O关于AB的对称点 D.连接OD交AB于E,连接OB,DB. D 由折叠知，OB=DB=2,OD⊥AB .OD=OB=2,.OB=OD BD, .△OBD是等边三角形，∠DOB= ∠ODB=60°..OA=OB,.∠AOB= 2∠DOB=120°，∴.∠BOC=60°..OB= OC,.△OBC是等边三角形，∴OC= OB=OD=BD=BC=2,.四边形 ODBC是菱形..BE=OB·sin60°= V3,S黄形oDc=OD·BE=23.O 是ADB所在圆的圆心，点D为O关于 ·84· AB的对称点，.D是AOB所在圆的圆 60 360πX2= 心，.S形oB 3，心S影= S美形0DBc一S鼎带DOB=2V3 2 8. 4 8 [解析]由题知，S扇形OAB= 90·元1=开(m).:点C,D分别是 360 4 OA,OB的中点，0C=OD=之(m), Saw=××-g(m).花 窗的面积为(-号)m. 9.(1)证明：如图，过，点O作OKAC于点K. D E B C AC=CE,.∠OAK=∠E.四边形 ABCD是正方形，.AD∥BE,AD⊥ OD,.∠OAD=∠E,.∠OAD= ∠OAK,即AO为∠DAK的平分线. .AD⊥OD,OK⊥AC,.OD=OK.又 .OD为⊙O的半径，.点K在⊙O上， .AC是⊙O的切线。 (2)①相切[解析]如下图，过点O作 OG⊥AC于点G,连接OM.,:⊙O与 AD相切于点M,.OM⊥AD.,AC= CE,.∠OAG=∠E..四边形ABCD是 菱形，.AD∥BE,.∠OAD=∠E, .∠OAD=∠OAG.又，OG⊥AC, OM⊥AD,.OG=OM,.点G在⊙O 上，.AC与⊙O相切. M ②解：如上图所示，过点A作AH⊥BC 于点H.在Rt△ABH中，cosB=。, 。BH 7 AB 设BH=7x,则AB=9x, .AH2=AB2一BH2=32x2.由菱形的 性质可得BC=AD=AB=9x,.CH= BC-BH=2x.在Rt△AHC中，由勾股 定理得AH2+CH=AC2,∴.32x2+ (2x)2=62,解得x=1(负值舍去)， .BC=AD=9,AH=√32x=42, SAm=SAe=BC·AH=× 9X42=18√2.S△Acn=S△Aoc十 SAm=?AC·0G+号AD·OM- M,5OM=18vE,解释OM 15