微专题(十三)“垂线段最短”在最值问题中的应用&微专题(十四) 利用“两点之间线段最短”求最值-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

AB为直径的圆上运动.，CD=1,且 CD是绕点C旋转，.点D在以C为 圆心，以1为半径的圆上运动.，AB= √2AC=3√2，∴.当cos∠BAE最大时， AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最 小.①如图，当AE与圆C相切于点D, 且D在△ABC内部时，∠BAE最小， AE最大. .∠ADC=∠CDE=90°，.AD= √AC-CD=22.:AC=AC, ·∠CEA=∠CBA=45°，.DE=CD= 1,此时AE=2√2+1，即AE的最大值 为22十1.②如图，当AE与圆C相切 于点D,且D在△ABC外部时， ∠BAE最大，AE最小. B 同理可得AD=2√2，DE=1,此时AE= 2√2-1，即AE的最小值为2√2-1. 15.(1)证明：如解图①，连接CD.线段 BC绕，点B顺时针旋转180°一2a得到 线段BD,∴.BC=BD,∠BDC= 2180°-∠CBD)=a,·.∠A ∠BDC,.CA=CD..∠CDE=90°- ∠BDC=90°-a,∠AED=90°- ∠A=90°-a,.∠CDE=∠AED, ∴.CD=CE,.CA=CE,即C是AE 的中点 EM M B DN A B N 图① 图② (2)EF=2AC证明：如解图②，将射 线BA绕B,点顺时针旋转180°一2a交 射线AM于点H,连接DH,取EF中 点G,连接DG.∴.∠ABH=180°-2a. ∠A=a,∴∠AHB=180°-∠A ∠ABH=180°-a-(180°-2a)=a, ∠A=∠AHB,.BA=BH.BC= BD,∠CBD=180°-2a,.∠CBA= ∠DBH,.△CBA≌△DBH(SAS), .CA=DH,∠DHB=a,.∠FHD= 2a..∠A=a,DF∥AN,∴.∠EFD= a,∠EDF=90°.G为EF中点， GE=GF=GD=号EF,∴∠DGE= 2DG-DH,AC-DG-EF, 即EF=2AC. 16.D[解析]以原点O为位似中心，将 矩形OABC按相似比3缩小，点B的 坐标为(3,2)，.顶点B在第一象限对 应点的金春为(3×号，2×号)， 即(，号)片 微专题（十三）“垂线段最短”在最值 问题中的应用 1.3 2.233.B 4.35[解析]如图，连 接AC.四边形AB- CD是菱形，AB= BC.,∠ABC=60°，∴.△ABC是等边 三角形，∴AB=AC=BC,∠FAC= ∠ACB=∠BAC=60°，即∠BCE+ ∠ACE=60°.，∠ECF=60°，∴.∠ACE+ ∠ACF=60°，∴.∠BCE=∠ACF,在 △ACF和△BCE中，∠FAC=∠EBC, AC=BC,∠ACF=∠BCE,.△ACF≌ △BCE(ASA),.CF=CE.,∠ECF= 60°，.△ECF是等边三角形.由垂线段 最短可得，当CE⊥AB时，CE长最短， 则△ECF周长最小.，BC=2,∠ABC= 60,.CE=BC·sin60°=2x5-5. 2 .△ECF周长的最小值为3√3. 5.5[解析]如图，作点O关于直线1的对 称点O',连接O'P,O'A,则O'P=OP, ∴PO+PA=OP+PA≥OA,当A, P,O'三点共线时，PO十PA取得最小 ·50· 值，最小值为O'A的长.B(0,2), .0(0,4),.O0=4.A(3,0), .OA=3,.PO+PA的最小值为O'A= √OA2+00z=√/32+42=5. 6.2√2+2√6 7.5√2[解析]过点B作BD⊥AC,垂足 为D,如图1所示.，tanC=2,在 Rt△BCD中，设DC=x,则BD=2x, 由勾段定理可得BC=5x,“C 即 BC DC,.AC+ √5x 5 5 BC=AC+DC. 图1 图2 延长DC到E,使EC=CD=x,连接 5 BE,如图2所示.AC+写BC=AC+ DC=AC+CE=AE.BD⊥DE, DE=2x=BD,.△BDE是等腰直角三 角形，则∠E=45°.在△ABE中，AB=5, ∠E=45°，由辅助圆一定弦定角模型，作 △ABE的外接圆，如图3所示. 图3 由圆周角定理可知，点E在⊙O上运 动，AE是⊙0的弦，求AC+ 5BC的 最大值就是求弦AE的最大值，根据圆 的性质可知，当弦AE过圆心O,即AE 是直径时，弦最大.，AE是⊙O的直 径，∴.∠ABE=90°.∠E=45°， ∴.△ABE是等腰直角三角形.，AB=5, ,.BE=AB=5,则由勾股定理可得AE= √AB+BE=52,即AC+台BC的 最大值为5√2. 8.(1)证明：如图①，连接AN.,MN是 AE的垂直平分线，.AN=EN.",四边 形ABCD为菱形，BD为对角线， ∠ABC=60°，∴.∠ADN=∠CDN= 号∠ABC=30,AD=CD.在△ADN (AD=CD, 和△CDN中，∠ADN=∠CDN, DN=DN, .△ADN≌△CDN(SAS),.AN= CN,.'.EN=CN. M B EGF C 图① 图② (2)解：由(1)可得AN=CN=EN, :2EN+BN=2(EN+2BN）= 2(AN+号BN).如图②，过点N作 NF⊥BC于点F.,∠ABC=60°， .∠CBD=30°，.NF=BN·sin30°= 合BN,2(AN+2BN）=2(AN+ NF),过点A作AG⊥BC于点G..当 A,N,F三，点共线且AF⊥BC时（此时 点E与点B重合)，AN十NF的值最 小，最小值为AG的长.，AB=2, ∠ABC=60°，.AG=AB·sin60°= =5,2EN+BN的最小值为 25. 微专题（十四）利用“两点之间线 段最短”求最值 1.A[解析]如图，连 接DE.,四边形 ABCD是菱形，对角 线AC,BD相交于点O,AC=6√3，BD =6A0=号AC=35,B0=号BD= 3,AC⊥BD,.AB=√AO+BO7= /(3√3)2+32=6，∴.AB=AD=BD, 即△ABD是等边三角形.又，E是AB 的中点，DE⊥AB.:S黄影ABCm=2AC 1 ·BD=AB·DE,∴2X65X6=6: DE,∴.DE=33.DP+PE≥DE, ,PD+PE的最小值为DE的长，即 PD+PE的最小值为3√3 2.C[解析]，'在Rt△ABO中，∠OBA= 90°，A(4,4),∴.AB=OB=4,∠AOB= 45:品=号点D为0B的中成， .BC=3,OD=BD=2,.D(2,0), C(4,3).如图，作点D关于直线OA的 对称点E,连接EC交OA于P,则此时， 四边形PDBC周长最小，E(0,2).直 线OA的解析式为y=x,设直线EC的 b=2, 解析式为y=kx十b, 解得 (4k+b=3, 1 k=4':直线EC的解析式为y= b=2, 1 4x十2，易知OA与EC交于点P,则有 V-T, 881 解得 y= 4x十2， 33 3.10[解析].正方形是A M 轴对称图形，点B与点D N 是关于直线AC为对称B容 轴的对称点，如图，连接BN,BD,则直 线AC即为BD的垂直平分线，∴.BN= ND,'.DN+MN=BN+MN,连接 BM交AC于点P.·点N为AC上的 动点，由三角形两边之和大于第三边，知 当点N运动到点P时，BN+MN=BP+ PM=BM,.BN十MN的最小值为 BM的长度.：四边形ABCD为正方 形，∴.BC=CD=8,CM=8-2=6, ∠BCM=90°，∴.BM=√/62+82=10， ∴.DN+MN的最小值是10. 4.2[解析]如图，作点N关 于BD对称的点N',连接 PN',MN',则NP=N'P, .PM-PN=PM-PN'≤MN',.当 点P,N',M共线时，PM一PN取得最 大值.延长MN'交BD于点P',则MP'一 N'P'=MN'.:点N为OA的中点， ·51· “点N为OC的中点，CN=子AC= 子A8+BC-片×8E=2E. .CN'_ CM AC BC =子，MN∥AB, ∴.∠N'MC=∠ABC=90°，易得MN'= ,√2 CN'·sin45°=22×Y2=2,PM- PN的最大值为2. 5.解：如图，连接BD交AC于点O,过点 D作DK⊥BC于点K,延长DE交AB 于点R,连接EP'并延长交AB于点J, 连接BQ,BP'.,四边形ABCD是菱 形，∴点B,D关于AC对称，.DQ= BQ,当点P是定点时，DQ一QP'=BQ一 QP'.当B,P',Q三点共线时，DQ一 QP'的值最大，最大值是线段BP'的长； 当点P与B重合时，点P与J重合；当 点Q与A重合时，此时BQ一QP'的值 最大，最大值是线段BJ的长.·四边形 ABCD是菱形，.AC⊥BD,AO=OC. .AE=14,EC=18,.AC=32,A0= OC=16,.OE=A0-AE=16-14= 2.:DE⊥CD,.∠DOE=∠EDC= 90°.，'∠DEO=∠DEC,∴.△EDO∽ △BCD-品中DE=0· EO EC=36,∴.DE=EB=EJ=6(负值已舍 去)，.BC=CD=WEC2-DE= √/182-6=12√2，OD=√DE2-OE2= √62-2=42，∴.BD=8V2.,S△w= 2OC·BD=7BC·DK,DK= 16×8E= 12√2 2.:∠DEB+∠DCK= 180°，∠DEB+∠BER=180°，，'.∠BER= BR ∠DCK,.sin∠BER= =sin∠DCK= BE 32 DK 3 4√2 CD 12√2 RB=BEX4 9 9 8√2 3.EJ=EB,ER LBJ,JR月 8√2 16√2 最大值为3 6.C[解析]如图，分别作 点P关于BA,BC的对 ≥P 尔点P，P2，连接- P1P2,交BA于点M,交 BC于点N,连接BP1,BP,BP2,.BP1= BP=BP2,∠BPM=∠MPB,∠NPB= ∠NP2B.根据轴对称的性质，可得 MP=PM,PN=P2N,∴.△PMN周长 的最小值为PP2的长.由轴对称的性 质，可得∠P,BP2=2∠ABC .∠BP1P2+∠BP2P1=180° 2∠ABC=80°，.∠MPN=∠BPM+ ∠BPN=∠BP,M+∠BP,M= ∠BP1P2+∠BP2P1=80° 7.B[解析]如图，作 点F关于直线AC 的对称点F',连接 AF'并延长，作点E。 关于AF'的垂线，与AF'的延长线交于 点F。,由对称性可知，EF=EF',此时 EF十EB=EF'十EB.由“点到直线的距 离垂线段长度最小”可知，当BF'⊥AF 时，EF+EB有最小值BF。,此时E位于 图中的E。位置.由对称性可知，∠CAF。= ∠BAC=90°-75°=15°，∴.∠BAF。= 30°，由直角三角形中，30°角所对直角边 等于斜边的一学可知，BF。=号AB= ×5= 8.(1)证明：在Rt△ABC中，∠C=90°， DF⊥CB,.∠C=∠DFB=90°.，四 边形ABDE是正方形，∴.BD=AB, ∠DBA=90°.，∠DBF+∠ABC=90°， ∠CAB+∠ABC=90°，∴.∠DBF= ∠CAB,.△ABC≌△BDF(AAS). (2)解：如图，连接DN. D .△ABC≌△BDF, ..DF=BC 5,BF AC=9,∴.FC=BF+CPPA BC=9十5=14.BE是正方形顶点A 与顶点D的对称轴，.AN=DN.若 AN十PN的值最小，则点D,N,P在一 条直线上，由于，点P,N分别是AC和 BE上的动，点，.作DP1⊥AC,交BE于 ,点N1,垂足为P1,.AN十PN的最小 值=DP,=FC=14. 9.12[解析]如图，作点D关于AB的对 称点M,点E关 于AC的对称点MC N,连接MN交BD AB于G,交AC 于F,得到四边形DEFG的周长最小. 延长MD交NE的延长线于T,设DM 交AB于点J,EN交AC于点K.在 Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC=7. BD=CE=1,∴.DE=5.点D,M 关于AB对称，∴.DJ=JM,DJ∥AC, △BJD∽△BAC,·AC=BCI DI BD g-7-∠A ∠AJT=∠AKE=90°，ET∥BJ, △BDI△EDT,:8- 3 号7Dr=5Mr=Dr+ 1 7 2DJ=3,同理EK=2 7 .在Rt△DTE 中，根据勾股定理，得ET=10四 7 ..TN=ET 2EK =2 10,.'.MN √TM+NT=7,∴.四边形DEFG的周 长的最小值为DE十EF十FG+DG= DE+FN+FG+GM=DE+MN=5+ 7=12. 25+55 10. [解析]如图，过点E作 2 EM⊥BC于点M,过 点A作AN∥EF使 得AN=EF,连接 NE,.四边形 ANEF是平行四边BFM 形，.AF=NE,.AF+CE=NE+ CE.∴.当N,E,C三点共线时，NE十 CE最小，最小值为CN的长.EF⊥ AC,E,F分别在边AD,直线BC上， .EF始终保持不变，.AF十FE十EC 的最小值为CN+FE.四边形ABCD 是矩形，AB=5,AD=10,∴.CD=AB= 5,∠D=90°，.AC=√AD2+CD= ·52. 5√5.EM⊥BC,∴.∠EMF=∠AEM =90°，EM=CD=5.又，EF⊥AC, '.∠AOE=90°，∴.∠AEO+∠FEM= ∠AEO+∠OAE,.∠FEM ∠OAE,,∴.tan∠FEM=tan∠DAC, FM CD FM 5 EM AD ,即行-0，解得FM 5 2 在 Rt△EFM 中，EF= Vn+E7-5AN-55又 .EF⊥AC,AN∥EF,.NA⊥AC, ∴.∠CAN=90°.在Rt△ACN中，CN= ACFANT-25 ∴AF+FE+EC 的最小值为CN+EF= 25+5√5 2 1.C[解析]如图，过点B作BG⊥PQ于 点G,过点DMB人B 作DL⊥PQ于 E K T 点L,过点A PC R 作PQ的垂线AR,交PQ的平行线DR 于点R,AR,MN交于点K,延长DF 至T,使DT=BC=12,连接AT交 MN于点B',作B'C∥BC,交PQ于点 C.当BC在B'C时，AB十CD最小，最 小值为AT的长，可得AK=AE· a60-号AE=25,DL-号DF 46,8G=6c=6g,A版-=25+ 65+4√5=12√5.，AD=24√3， .sin∠ADR=AD ，∠ADR AR 30°.∠PFD=∠BCQ=60°， ∴.∠ADT=90°，.AT=√AD2+DT= √/(24W3)2+122=12√13. 2.3√2[解析]如D H 图，作点G关于G AB的对称点M, 连接EM,.GE= M ME,在CD上截取CH=1,连接EH, 得四边形EFCH为平行四边形， ∴.CF=HE,连接HM交AB于点E,则 GE+CF=ME+HE≥HM,当M,E, H三点共线时，GE十CF最小.G为 AD的中点，.AG=DG=AM=1, DM=AD+AM=3,DH=CD-CH= 3,在Rt△DMH中，MH= √DH+DM=√32+3=32， .CE+CF的最小值为3√2， 13.解：如图，在BC上截取BM=3,作点D 关于x轴的对称点D',连接ED',则 BM=EF,.M(-1,6),D'(0,-4). ,四边形OABC为矩形，.BC∥OA, .四边形BMEF为平行四边形，∴.BF =ME,∴.BF+DE=ME+DE..点D 和D关于x轴对称，.ED=ED' BD,EF都是定值，∴.当点M,E,D'在 同一条直线上时，BF+DE=ME+DE =ME+D'E的值最小.设直线MD'的 解析式为y=kx+b,把M(一1,6)， D'(0,一4)代入，得 一十b=6解得 6=-4, k=-10, .直线MD的解析式为y= b=一4， -10x-4,当y=0时，x=一 点E 2 的坐标为（号0） 第八章统计与概率 第一节统计 知识网络 ①全面②部分个体③全体 ④考察对象⑤个体⑥数目⑦越大 ⑧精确⑨个数①数据总数 频数 ①折线 @扇形⑧具体数量④变化趋势 ⑤部分在总体中所占的百分比⑥总个数 ⑦平均数⑧方差 当堂检测 1.D2.A 3.解：(1)A型号汽车的平均里程为 190×3+195×4+200×5+205×6+210×2 3+4+5+6+2 200(km),20个数据按从小到大的顺序 排列，第10,11个数据均为200km,∴.中 位数为200km..205km出现了六次， 次数最多，∴.众数为205km. (2)选择B型号汽车.理由：A型号汽车 的平均里程、中位数和众数均低于 210km,且只有10%的车辆能达到行程 要求，故不建议选择；B,C型号汽车的平 均里程、中位数和众数都超过210km, 其中B型号汽车有90%符合行程要求， 很大程度上可以避免行程中充电耽误时 间，且B型号汽车比C型号汽车更经济 实惠，故建议选择B型号汽车. 安徽十年精选 1.任务1解：a=200-(15+70+50+ 25)=40. 任务2解：200X(15×4+50×5 70×6+50×7+15×8)=6,.乙园样本 数据的平均数为6. 任务3① 任务4解：由样本数据频数直方图可 得，乙园的一级柑橘所占比例大于甲园， 根据样本估计总体，因此可以认为乙园 柑橘品质更优.（合理即可） 2.(1)18(2)23 (3)解：优秀率高的年级不是平均成绩也 高.理由：七年级优秀率为20%十20%= 40%,平均成绩为7×10%+8×50%+ 9×20%十10×20%=8.5（分），八年级 优秀率为3+2X100%=50%>40%,平 10 均成绩为0×(6+7×2+2×8+3×9+ 2×10)=8.3(分)<8.5（分），.优秀率 高的年级为八年级，但平均成绩七年级 更高，∴.优秀率高的年级不是平均成绩 也高。 【变式训练】 解：(1)由统计图可知，第10个数据是 3分，第11个数据是4分，.中位数为 3.5分.由统计图可得平均数为 1×1+3×2+6×3+5X4+5X5=3.5(分)， 20 ∴.客户所评分数的平均数或中位数都不 低于3.5分，.该部门不需要整改. (2)设监督人员抽取的问卷所评分数为 分，周有3>8.5，部得> 4.55.,满意度从低到高为1分、2分、 3分、4分、5分，共5等，.监督人员抽取 的问卷所评分数为5分..4<5，.加入 这个数据，客户所评分数按从小到大排 列后，第11个数据不变还是4分，即加 ·53· 入这个数据后，中位数是4分，.与(1)相 比，中位数发生了变化，由3.5分变成4分 3.D 【变式训练】 1.D2.B 4.(1)60 108 (2)解：估计全体960名职工中最喜欢B 84 套餐的人数为960X =336(人). 240 (3)解：由题意，从甲、乙、丙、丁4人中任 选2人，总共有6种不同的结果，且每种 结果发生的可能性相同，列举如下： (甲，乙)、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、 (乙，丁)、（丙，丁）.其中甲被选到的结果 有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁），共3种， 故所家税率P=号-子 全国真题汇编 1.B2.D3.C 4.(1)甲 29 (2)解：因为甲的平均每场得分大于乙的 平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以 甲队员表现更好（答案不唯一，合理 即可) (3)甲的综合得分为26.5×1+8×1.5十 2×(一1)=36.5（分）.乙的综合得分为 26×1+10×1.5+3×(-1)=38(分). 38>36.5,.乙队员的表现更好. 5.A6.B7.A8.D 9.解：(1)39218一30733=8485（元），所 以2019~2023年全国居民人均可支配 收入中，收入最高的一年比收入最低的 一年多8485元. (2)2019~2023年全国居民人均可支配 收入的中位数为35128元. (3)① 10.C11.乙 第二节概率 知识网络 ①1②必然不会 ③0 ④ 当堂检测 1.B 2.B[解析]画树状图得： 开始 S; S><《微专题（十三）》 “垂线段最短”在最值问题中的应用 >>》 类型一一动一定 类型三一动两定(“胡不归”问题】 1.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=4√3，对 OA,垂足为点D,且PD=3,点M是射线OC 角线AC,BD相交于点O,若点P是BC边上 上一动点，则PM的最小值为 一动点，则DP士BP的最小值为 7.(2024·广元)如图，在△ABC中，AB=5, tanC=2,则AC+5 BC的最大值为 M 第1题图 第2题图 2.如图，在矩形ABCD中，AC=8,∠BAC= 30°，点P是对角线AC上一动点，连接DP, 以DP,CP为邻边作□DPCQ,连接PQ,则 A 线段PQ的最小值为 8.(2024·凉山州)如图，在菱形ABCD中， 类型二两动一定 ∠ABC=60°，AB=2,E是BC边上一个动 3.在△ABC中，BC=8,∠ABC=45°，BD平分 点，连接AE,AE的垂直平分线MN交AE ∠ABC,M,N分别是BD,BC上的动点，则 于点M,交BD于点N,连接EN,CN. CM+MN的最小值为 (1)求证：EN=CN; A.4 B.4√2 C.6 D.8 (2)求2EN+BN的最小值. B B 第3题图 第4题图 4.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点 E,F分别在边AB,AD上运动，且∠ECF= 60°，则△ECF周长的最小值为 5.(2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(3,0),B(0,2).过点B作y轴的 垂线l,P为直线l上一动点，连接PO,PA, 则PO十PA的最小值为 第5题图 第6题图 144 第七章图形的变化 <微专题（十四） 利用“两点之间线段最短”求最值>>》 类型一一动两定(“一线两点”型) 5.如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD 1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD 交对角线AC于点E,连接BE,点P是线段 相交于点O,AC=6√3，BD=6,点P是AC BE上一动点，作P关于直线DE的对称点 上一动点，点E是AB的中点，则PD十PE P',点Q是AC上一动点，连接P'Q,DQ.若 的最小值为 ( AE=14,CE=18,求DQ-P'Q的最大值， A.33 B.63 C.3 D.6√2 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(4, 4),点C在边AB上，且CB-3,点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在 OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的 类型二两动一定(“一点两线”型) 点P的坐标为 ( 6.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，点P为 A.(2,2) R(》 △ABC内一定点，点M,N分别在AB,BC 上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度 c(8》 D.(3,3) 数是 ( ) 3.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC A.120° B.90° C.80° D.60° 上且DM=2,N是AC上的一动点，则DN+ MN的最小值是 N 第6题图 第7题图 B 7.已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC= 第3题图 第4题图 75°，AB=5.点E为边AC上的动点，点F为 4.如图，在正方形ABCD中，AB=8,AC与BD 边AB上的动点，则线段FE+EB的最小 交于点O,N是AO的中点，点M在BC边 值是 ( 上，且BM=6.P为对角线BD上一点，则 53 5 PM-PN的最大值为 A.2 2 C.5 D.√3 微专题（十四）利用“两点之间线段最短”求最值 145 8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为边在 类型四“定长十定点”型 AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥ 11.如图，定直线MN∥PQ,点B,C分别为 CB,交CB的延长线于点F,连接BE MN,PQ上的动点，且BC=12,BC在两直 (1)求证：△ABC≌△BDF; 线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A (2)P,N分别为AC,BE上的动点，连接 是MN上方一定点，点D是PQ下方一定 AN,PN,若DF=5,AC=9,求AN+ 点，且AE∥BC∥DF,AE=4,DF=8,AD= PN的最小值. 243,当线段BC在平移过程中，AB+CD 的最小值为 A.2413 B.24√15 C.12√/13 D.12√/15 0 MB县 E PC D 第11题图 第12题图 12.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,G是 AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动， 若EF=1,则GE十CF的最小值为 13.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点 O在坐标原点，顶点A,C分别在x轴、y轴 上，B,D两点的坐标分别为B(一4,6)， D(0,4),线段EF在边OA上移动，保持 类型三两动两定(“两点两线”型) EF=3,求当四边形BDEF的周长最小时， 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3, 点E的坐标. AB=2√I0,点D,E在BC边上，BD=CE= 1,点G,F分别是边AB,AC上的两个动点，则 四边形DEFG周长的最小值为 G B D 第9题图 第10题图 10.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10.若 点E是边AD上的一个动点，过点E作EFL AC且分别交对角线AC、直线BC于点O, F,则在点E移动的过程中，AF十FE+EC 的最小值为 146 第七章图形的变化