第五章 第二节 矩形、菱形与正方形-【决胜中考】2025年中考数学全程复习练习册（安徽专版）

第二节矩形 【中考过关】 1.(2024·甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角 线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°，AB= 2,则AC的长为 () A.6 B.5 C.4 D.3 B 第1题图 第2题图 2.(2024·甘肃)如图，O是坐标原点，菱形 ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C 的坐标为(3,4)，则顶点A的坐标为() A.（-4,2) B.(-3,4) C.(-2,4) D.(-4,√3) 3.(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中， 点A的坐标为（一4,0），点C的坐标为(0， 2).以OA,OC为边作矩形OABC.若将矩 形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形 OA'B'C',则点B'的坐标为 () A.（-4,-2) B.(-4,2) C.(2,4) D.(4,2) 【中考突破】 4.(2024·包头)如图，在矩形ABCD中，E,F 是边BC上两点，且BE=EF=FC,连接 DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG 若AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为 ( A酒 R26 0. 菱形与正方形 、G E F 第4题图 第5题图 5.(2024·河北)在平面直角坐标系中，我们把 一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点 的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象 限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形 四个顶点中“特征值”最小的是 () A.点AB.点BC.点C D.点D 6.(2024·长沙)如图，在菱形ABCD中，AB= 6,∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接 AE,DE,过点A作AF⊥DE于点F.设 DE=x,AF=y,则y与x之间的函数解析 式为（不考虑自变量x的取值范围）() 9 12 A.y= B.y= x C.y=18 D.y=36 D N 4 D B E B 第6题图 第7题图 7.(2024·宜宾)如图，正方形ABCD的边长为 1,M,N是边BC,CD上的动点.若∠MAN= 45°，则MN的最小值为 8.(2024·广东)如图，菱形ABCD的面积为 24,点E是AB的中点，点F是BC上的动 点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分 的面积为 A E E 第8题图 第9题图 9.(2024·吉林)如图，正方形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，点 F是OD上一点，连接EF.若∠FEO=45°， 则的值为 10.(2024·长春节选)如图，在△ABC中， AB=AC=5,BC=6.点D是边BC上的 一点（点D不与点B,C重合），作射线 AD,在射线AD上取点P,使AP=BD, 以AP为边作正方形APMN,使点M和 点C在直线AD同侧. (1)当点D是边BC的中点时，求AD 的长； (2)当BD=4时，点D到直线AC的距离 为 (3)连接PN,当PN⊥AC时，求正方形 APMN的边长. P B D 【核心素养】 11.在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点 A出发，沿着折线A→B→C的路线向终 点C运动，连接DM交AC于点N,连 接BN, (1)如图1所示，当点M在AB边上运 动时， ①求证：△ABN≌△ADN; ②若∠ABC=60°，∠ADM=20°，求 证：MB=MN. (2)如图2示，若∠ABC=90°，记点M 运动所经过的路程为x,是否存在x,使 得△AND为等腰三角形？若存在，请 求出；若不存在，请说明理由 41·tam∠ocD=O CD =2,0D=10X 2 5√2，.AD=2OD=10√2， '.截面ABCD的面积为AD X CD= 10√2×10=100√2(cm2). 12.解：在Rt△OBD中，∠ODB=90°， ∠BOA=64°，BD=20.5cm, BD BD ∴.tan∠B0A=OD,sin∠BOA=OB 20.5 20.5 即2.05≈ OD ,0.90≈ OB ,OD≈ 10(cm),OB≈22.78(cm).在Rt△COE 中，OC=OB=22.78cm.∠COA= OE 37°，.cos∠COA= C,即cos37≈ 22.78,整理得0E≈22.78X0.80≈ OE 18.224(cm),则ED=OE-OD≈ 8.2(cm). 第五章 四边形 第一节多边形与平行四边形 1.C[解析]，任意多边形的外角和都是 360°，又，这个多边形的每个外角都相 等，且等于60°，∴该多边形的边数是 360°÷60°=6. 2.B[解析]如图，直线l,m相交于点A, 则∠A=60°.，正多边形的每个内角相 等，正多边形的每个外角也相等， ∠1=∠2=180°-60° =60°，n 360° =6. 2 60° A 3.B[解析]连接BD交AC于点O. B 四边形ABCD是平行四边形，'.OD= OB.EF=DE,.OE是△BFD的中 1 位线， OE OD .2 AC-1 1 ·BFBD 2 BF =1, 2AC-CE BF 2BF=3. 4.A[解析]平行四边形ABCD与平行 四边形EFGH全等，A,B,C,D分别对 应H,E,F,G,∴.AB=CD=HE=FG= 7,AD=HG=EF=5,∠DCB=∠GFE, ..EF=EC=5.FC=3,.CG=FG- FC=4.故四边形ECGH的周长=EC十 CG+HG+EH=5+4+5+7=21. 5.A[解析门]，四边形ABCD是矩形， ∠C=90.由题意得BF=号BC, EF∥AB,∴.∠ABQ=∠BQF.由折叠的 性质得∠BQP=∠C=90°，BQ=BC= 4,4∠AQB=90,BF=7BQ, ∠BQF=30°，∴∠ABQ=30°.在 Rt△ABQ中，AB=2AQ,.AQ2+BQ= AB2=4AQ2,..BQ2=3AQ,..AQ= 5BQ=4,∴AB=8. 3 6.C[解析]如图，过D作DH⊥BC,交 BC延长线于H..四边形ABCD是平 行四边形，.AB=DC,AD∥BC.,AE⊥ BC,DH⊥BC,.AE=DH, .Rt△DCH≌Rt△ABE(HL),,∴.CH= BE=x.'BC=y,..EC=BC-BE= y-x,BH=BC+CH=y+x..AE2= AC2-EC2,DH2=BD2-BH2,..22- (y-x)2=(23)2-(y十x)2,.xy=2 (定值). D E CH 7.C[解析]：四边形ABCD是平行四边 形，.AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故 ①③正确.对角线BD,S△ABD= Sam=号Sm,∠ODE=∠0BR 点O是BD的中点，.OD=OB.又 :∠DOE=∠BOF,.△ODE≌△OBF (ASA),.S△oDE=S△oBr,EO=FO≠ ED,故②不正确.：'S△ABD=S△cDB, S△oE=S△oir,'S△ABD-S△oDE=S△cDB SAOBF,即S四造形ABOE=S四效形cOF,故④正 确.综上所述，正确结论的个数为3个. 8.OB=OD(答案不唯一) 9.50°[解析]，六边形ABCDEF是正六 边形，'.∠AFE=∠BAF= (6-2)×180°=120°.：∠EFG=20°， 2 .∠AFG=120°-20°=100°..AH∥ FG,∴.∠AFG+∠FAH=180°， ,∠FAH=180°-100°=80°，∴.∠BAI= 120°-80°=40°..BI⊥AH,.∠ABI= 90°-40°=50°. 10.(1)证明：E是AB的中点，.AE= BE.又DF=BF,EF是△ABD的 中位线，.EF∥AD,即CF∥AD.又 ,AF∥CD,.四边形AFCD为平行四 边形. (2)解：由(1)知，EF是△ABD的中位 线，.AD=2EF=2.∠EFB=90°， ·80· tan∠FEB=3,∴.BF=3EF=3..DF= FB,.DF=BF=3.AD∥CE, .∠ADF=∠EFB=90°，∴.AF= √AD2+DF2=√13.四边形 AFCD为平行四边形，∴.CD=AF= √I3.文DF=BF,CE⊥BD,.BC= CD=13. 1.(1)证明：四边形ABCD是平行四边 形，.AD∥BC,∠BAD=∠BCD, ,∠AEB=∠DAE.AE,CF分别是 ∠BAD,∠BCD的平分线，∴.∠AEB= ∠DAE= ∠BAD,∠BCF 1 ∠BCD,∴.∠AEB=∠BCP,AE ∥CF.又，AF∥CE,.四边形AECF 是平行四边形. (2)解：如图，过点C作CH⊥AD于点 H,则∠CHD=90°. A H B E 四边形ABCD是平行四边形，，.AD BC,,.∠ADC+∠BCD=180°， .∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°= 120°.，CF是∠BCD的平分线， ∠DcF=合∠BcD=号×120= 1 60°，.∠ADC=∠DCF=60°， ,△CDF是等边三角形，，'.CD=DF= 1 2,DH=2DF=1.在R△CHD中， CH=√CD2-DH=√22-1=3， Soam=DF,CH=号X2Xg= √3.由(1)知，四边形AECF是平行四 边形，CE=AP=合DF=2×2= 1..AD∥BC,.△DGF△EGC, FG 子，G=号cR, DF 2 CG CE SAGDF-3 5aw子a 2.(1)证明：根据小明的作法知，CF= AE.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,即AE∥CF.又.CF= AE,,.四边形AFCE是平行四边形， ∴.AFCE. (2)解：以A为圆心，EC为半径画弧， 交BC于点F,此时可能会有两个交，点， 只有其中之一符合题意故小丽的作法 有问题 第二节矩形、菱形与正方形 .C[解析]，四边形ABCD为矩形，对 角线AC,BD相交于点O,.OA=OB= OC=OD.∠ABD=60°，.△OAB为 等边三角形.又.AB=2,.OA=OB= AB=2,..OC=OA=2,..AC=OA+ 0C=4. 2.C[解析]如图，过C作CN⊥x轴于 N,过A作AM⊥x轴于M. 点C的坐标为(3,4)，∴.ON=3, CN=4,∴.OC=/ON2+CN=5..四 边形ABOC是菱形，.AC=OC=5.又 .AC∥BO,.点A的坐标为（一2,4）. 3.C 4.A[解析]如图，过G作GH⊥BC 于H. B .四边形ABCD是矩形，.AB=CD= 4,AD//BC..BC=6,BE=EF=FC, ..BE=EF=CF=2,.'.BF=CE=4, .AB=BF=CE=DC=4,∴.△ABF和 △DCE是等腰直角三角形，∴.∠AFE= ∠DEC=45°，∴.△EGF是等腰直角三 1 角形，∴GH=EH=之EF=1心BH= 3,∴.BG=√BH+HG=√10， 10 ∴.sin∠GBF= HG 1 BG √10 10 5.B[解析]设A(a,b),AB=m,AD=n. ,四边形ABCD是矩形，，AD=BC= n,AB =CD=m,.D(a,b+n), B(a+m,6),C(a+m,b+n).b a+m <<6n,而，<，“该矩形 a+m a+m 四个顶点中“特征值”最小的是点B. 6.C[解析]过点D作DH⊥BC交BC的 延长线于点H. B E H C 在菱形ABCD中，AB=6,AB∥CD,AB =CD=AD=6,AD∥BC.,∠B=30°， .∠DCH=∠B=30°.又，易知 R△DCH,DH=2CD=3.:AFL DE,.∠AFD=∠EHD=90°.又.AD∥ BH,∴.∠ADF=∠DEH,.△ADF AD AF 3 △DEH,D=DH'= y 18 .y= x 7.2√2-2[解析]如图，延长CD到点G, 使DG=BM. D G 9 B 四边形ABCD为正方形，∴.AD=BC, ∠MAD=∠ADM=90°，∴.∠ADG= ∠ADN=90°=∠ABM.又.BM= DG,AD=BC,,∴.△ABM≌△ADG (SAS),∴.∠BAM=∠DAG,AM=AG. :∠MAN=45°，∴.∠BAM+∠DAN= 45°，.∠DAG+∠DAN=45°，即 ∠GAN=45°.在△GAN和△MAN中， AG=AM, ∠GAN=∠MAN,.△GAN≌ AN-AN, △MAN(SAS),∴.GN=MN.设BM= ,MN=y,GN=y,DG=..'BC= CD=1,..CM=1-x,CN=x-y+1. 在Rt△CMN中，MN2=CM+CN2,即 y2=(1-x)2+(x-y十1)2，整理得y= 女+1(x+1)-2x+1)+2=x+1+ x+1 x十1 中-2.“x+1+ 2 2 x+1≥ 2+0·名=2，y≥2 2,此时x=√2一1.故MN的最小值为 2V2-2. 8.10[解析]如图，连接BD A D :E是AB的中点，.SaAm=2SAAID 「S#AcD=6,连接BC,同理可得SAc与 SAAED 6.SABEF -4,SABEF 1 3Saac,FC=3BC,六SAmc= 1 3S△BCD=6S黄形ABcD=4,小S两第= S黄希ABCD-S△ABD-S△BEr-S△DFC=24 6-4-4=10. 1 9.2[解析]：四边形ABCD是正方形， .∠BAC=∠DAC=45°，AD=BC. :∠FEO=45°，∴.∠FE0=∠DAC, ·81· ∴.EF∥AD.点E是OA的中点，点F 是OD的中点，.EF是△AOD的中位 线，∴EF=AD,EP=号BC,即无 EF 1 2 0.(1)解：.AB=AC,D是BC中，点， ,∴.AD是△ABC的中垂线，∴.BD= CD.:BC=6,BD=号BC=3.在 2 Rt△ABD中，AB=5,..AD= /AB2-BD2=4. [解析]如图，过点D作DE⊥ AC于点E,作AF⊥BC于点F. E B C .BC=6,BD=4,.CD=2.由(1)知 AF=4:Sm=2AC·DE=2CD: AF,DE=S,点D到AC的距离 是8 (3)解：当PN⊥AC时，如图所示. B ∠DAC=45°.设AP=x,则CD= 4 6-x,DE=AE=5(6-x),CE= 号(6-x)∴(6-z)+号(6-x)= 5,解得x= 17 即正方形边长为党 1.(1)证明：①四边形ABCD是菱形， .AB=AD,∠DAN=∠BAN.又， AN=AN,.△ABN≌△ADN. ②如图1所示，连接DB.'AC垂直平 分BD..NB=ND.∠ABC=60°， ∴.∠ABD=∠ADB=30°.∠ADM= 20°，.∠BDN=∠DBN=10°， .∠BNM=∠MBN=20°，∴.MN=MB. (2)解：存在x,使得△AND为等腰三 角形.求解如下：∠ABC=90°，.菱 形ABCD是正方形，，.∠CAD=45°. 下面分三种情形： (I)若ND=NA,则∠ADN= ∠NAD=45°.此时，，点M恰好与点B 重合，得x=6. (Ⅱ)若DN=DA,则∠DNA=∠DAN= 45°.此时，点M恰好与点C重合，得 x=12. (Ⅲ)如图2所示，若AN=AD=6,则 ∠1=∠2.AD∥BC,.∠1=∠4.又 ∠2=∠3，∴.∠3=∠4，∴.CM=CN. .AC=6√2，∴.CM=CN=AC AN=6√2-6.故x=12-CM=12 (6√2-6)=18-6√2.综上所述，当 x=6或12或18-6√2时，△AND是 等腰三角形 图1 图2 第六章圆 第一节圆的基本性质 1.D2.A3.C 4.60[解析]，四边形ABCD内接于 ⊙O,.∠B十∠D=180°.四边形 OABC是菱形，∴.∠B=∠AOC, ∠AOC十∠D=180°.由圆周角定理 可知，∠D=2∠A0C,∠D=60 5.(1)解：∠ADC=2∠B,∠ADC+ ∠B=180°，∴.∠B=60° (2)证明：如图，连接OD A :点D为AC的中点，AD=CD, ∴.∠AOD=∠COD.,∠B=60°， ∠AOC=2∠B,.∠AOC=120° ∴.∠AOD=∠COD=60°..AO=DO= CO,.△AOD和△COD均为等边三角 形，∴.AO=CO=AD=CD,∴.四边形 AOCD为菱形. 6.B[解析]如图，连接AD. D B :AC=BC,∠ADC=∠BDC= 3∠A0c=号×96=18 7.A[解析]AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°.∠CDB=60°，∠A= ∠CDB=60°，∴.∠ABC=90°-∠A=30°. 8.90°[解析]：∠A是BC所对的圆周 角，·∠A=2∠0.：0B=0C, 1 ∴∠OBC=∠OCB.又，∠O+∠OBC+ ∠0CB=180°，∴∠0+2∠0BC=180°， 日∠0+∠0BC=90,甲∠A+ ∠OBC=90°. 9.(1)证明：AB=BC,AB=BC :∠ABD=∠BCE,AED=BAE,即 AE+DE=AB+AE,·AB-DE :AB=BC,∴BC+CD=DE+CD,即 BD=CE,∴BD=CE. (2)解：①：CD的度数B=60°，.AB= BC=DE,其所对圆心角的度数均为 180°-60=40，AB所对国心角为 3 40°，即∠AOB=40°.：点A,B,C,E在 ⊙0上，∴.∠BCE+∠A=180°， ∠E=1m-(2）=1w-0 110°，即a=110°. ②6a十B=720°，理由如下：CD的度数 为B,.AB=BC=DE,其度数都等于 180g∠608-180g2.女周，t 3 接AE. 易知四边形ABCE是⊙O的内接四边 形，∴.∠BCE+∠A=180°，.∠BCE= 180°-∠A=180°-(180-∠A0B)= 2 90+2∠A0B=90+宁×1ng,即 3 a=0+7×18026a+g=72m 10.解：(1)，大圆的半径为80公分，小圆 的半径为20公分，EF=大圆的半 径一小圆的半径=80一20=60（公分）. G为ER中点，GF=号EP 30公分. (2)CD>AB.理由 EOK 如下：由题意知，C可D AB=大圆的直径=HF 80×2=160(公分).如图，延长CH, EF交于点O,延长DK,FE交于点O, 则OC=OE=OD=O'F=80公分. .EG=GF=30公分，∴.OG=O'G= 50公分.∠0=∠0=90°，∴CG= √0C+0G=V√80+50=10v√/89= ·82· DG,.CD=CG+DG=2089公分. .√/89>8，∴.20√89>160，即CD>AB. 第二节与圆有关的位置关系 1.C[解析]如图，连接AD. E B ,·四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°..∠BAE+ ∠BCD=236°，.∠EAD+∠BAD+ ∠BCD=∠EAD+180°=236°， .∠EAD=56°.，EA,ED是⊙O的切 线，.EA=ED,.∠EDA=∠EAD= 56°，∴.∠E=180°-∠EDA-∠EAD= 180°-56°-56°=68°. 2.105°[解析]如图，连接OC. 点C为切点，.OC⊥PC,.∠OCP= 90°.∠BCP=35°，∴.∠OCB=90°- ∠BCP=55°.，OC=OB,∴.∠OBC= ∠OCB=55°，.∠BOC=180°-∠OCB- ∠OBC=70°.∠AOB=140°，.∠AOC= 360°-∠AOB-∠BOC=150°，.∠ABC =2∠A0C=75,∠ADC=180°- 1 ∠ABC=105°. 3.50 4.8[解析门如图，延长AC,BD交于E点. E A B AB是⊙O的直径，∴.BD⊥AD, .∠ADB=∠ADE=90°.，AD平分 ∠BAC,∴.∠BAD=∠DAE.又，AD= AD,.△BAD≌△EAD(ASA),,∴.BD= DE=25,∴.BE=BD+DE=4√5. ,AB=10,BD=25,∴.AD= √/102-(25)2=4√5..∠DAC= ∠CBD,且∠ACB=∠ADB=90°，即 ∠ADB=∠BCE=90°，.△ABD △BEC, BE BC .、45= BC ·AB=AD·10 45 .BC=8.