第四章 第五节 解直角三角形-【决胜中考】2025年中考数学全程复习练习册（安徽专版）

第五节 解直角三角形 【中考过关】 俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 1.(2024·池州模拟)- cos60的值等于( 1 m.(精确到1m,参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) A.-√3 B.-2 C② 5.(2024·宣城模拟)如图，已知在△ABC中， 2 D.-1 AD⊥BC于点D,AC的中点是E,且BC= 2.(2024·凤台模拟)如表是小亮填写的实践 4 活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度 AD=8,sinB=5求： DC=xm,根据以上条件，可以列出求树高 (1)线段BD的长； 的方程为 ( ) (2)∠EDC的正切值. 题目 测量树顶到地面的距离 测量 D 目标 示意图 人B B C B 相关 数据 AB=30m,∠a=28°，∠8=45 A.x=(x-30)tan28° B.x=(30+x)tan28° C.x+30=xtan28° D.x-30=xtan28° 3.(2024·眉山)如图，斜坡CD的坡度i=1:2, 【中考突破】 在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB, 6.(2024·绥化)如图，用热气球 当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在 的探测器测一栋楼的高度，从 斜坡上的影子BE长为10m,则大树AB的 热气球上的点A测得该楼顶 高为 m. 部点C的仰角为60°，测得底 部点B的俯角为45°，点A与 609 Q 楼BC的水平距离AD B P37 45 B 50m,则这栋楼的高度为 m(结果 D B E 保留根号). C.n 7.(2024·江西)将图1所示的七巧板，拼成图2 第3题图 第4题图 所示的四边形ABCD,连接AC,则 4.(2024·盐城)如图，小明用无人机测量教学 tan∠CAB= 楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m 的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为 37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的 图1 图2 ·35· 8.(2024·湖南)如图，图1为《天工开物》记载 10.(2024·江西)图1是世界第一“大碗” 的用于春(chong)捣谷物的工具 景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其 “碓(du)”的结构简图，图2为其平面示意 造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗， 图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线L 寓意“万瓷之母”.如图2，“大碗”的主视图 相交于点O,OE⊥l.若BC=4dm,OB= 由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC 12dm,∠BOE=60°，则点C到水平线l的 组成，已知AD∥EF,AM,DN是太阳光 距离CF为 dm(结果用含根号的式 线，AM⊥MN,DN⊥MN,点M,E,F,N 子表示) 在同一条直线上.经测量ME=FN=20.0m, D EF=40.0m,BE=2.4m,∠ABE=152°. BA E (结果精确到0.1m,参考数据：sin62°≈ 0.88,c0s62°≈0.47，tan62°≈1.88) (1)求“大碗”的口径AD的长； 图1 图2 (2)求“大碗”的高度AM的长. 9.(2024·通辽)在“综合与实践”活动课上，活 太阳光线 动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点 测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长 6m,在距离C点4m处的D点测得杨树顶 B 端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精 M 确到0.1m,AB,BC,CD在同一平面内，点 图1 图2 C,D在同一水平线上，参考数据：√3≈1.73) B D145o D645°30° ·36· 【核心素养】 12.(2024·兰州)单摆是一种能够产生往复摆 11.(2024·广元)小明从科普读物中了解到， 动的装置.某兴趣小组利用摆球和摆线进 光从真空射入介质发生折射时，入射角α 行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报 的正弦值与折射角B的正弦值的比值a 告如下. "sin B 实验 叫介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它 探究摆球运动过程中高度的变化 主题 表示光在介质中传播时，介质对光作用的 实验 一种特征】 摆球、摆线、支架、摄像机等 用具 (1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折 如图1，在支架的横杆点O处用摆 射角为，且cosa= 49=30°，求该介 线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松 手，摆球开始往复运动（摆线的长 质的折射率； 度变化忽略不计) (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体 实验 如图2，摆球静止时的位置为点 介质，如图1所示，点A,B,C,D分别 说明 A,拉紧摆线将摆球拉至点B处， 是长方体棱的中点，若光线经真空从矩 BD⊥OA.∠BOA=64°，BD= 形A1D1D2A2对角线交点O处射人， 20.5cm;当摆球运动至点C时， 其折射光线恰好从点C处射出，如图2， ∠COA=37°，CE⊥OA.(,点O, 已知a=60°，CD=10cm,求截面 A,B,C,D,E在同一平面内) ABCD的面积. 光线 0 光线 实验 图示 E C 图1 图2 图1 图2 解决问题：根据以上信息，求ED的长.（结 果精确到0.1cm,参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈ 0.90,cos64°≈0.44，tan64°≈2.05) ·37·∴a=5,.BE=7a=√2I B 22H 图1 E 图2 第五节 解直角三角形 1.B 2.B[解析]由题意得，DC⊥AC.在 Rt△DBC中，∠DBC=45°，DC=xm, DC ..BC= tan 45 6=xm.,AB=30m, .AC=AB+BC=(x+30)m.在 Rt△ACD中，∠DAC=28°，.CD=AC· tan28°，∴.x=(30+x)tan28°. 3.(4√15一2√5)[解析]如图，过点E 作水平地面的平行线，交AB的延长线 于点H,则∠BEH=∠DCF.在 Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠BCF= B日=2设BH=xm,EH=2x工 EH ∴.BE=√EH+BH=√5x=10,∴.x= 2/5,.BH=2√5m,EH=45m. ,∠EAH=180°-60°-90°=30°， ∴.AH=3EH=415(m),.AB= AH-BH=(4√/15-2√5)(m). A160 B F 4.17[解析]如图，令AB的延长线于PQ 的延长线交于点C.由题意知，AC=30m, PQ=26.6m,∠APC=37°，∠BQC= AC 45°.在Rt△APC中，PC= tan37° 30 0.75 =40(m),.QC=PC-PQ=40- 26.6=13.4(m).在Rt△BQC中，BC= QC=13.4 m,.'.AB=AC-BC=30- 13.4=16.6≈17(m). C P37 450 5.解：(1)AD⊥BC,.△ABD和△ACD 是直角三角形.在Rt△ABD中，sinB= 台AD=8,铝=台AB=10 .BD=√AB2-AD=6. (2).BC=8,BD=6,..CD=BC-BD= 2.在Rt△ACD中，E为斜边AC的中 点，ED-EC-号AC,∠C- ∠EDC,∴tan∠EDC=tanC=C0s 8 2=4,即∠EDC的正切值为4. 6.(50+50√3)[解析]由题意得AD⊥ BC,在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AD= 50m,.CD=AD·tan60°=505m. 在Rt△ABD中，∠BAD=45°，.BD= AD·tan45°=50m,∴.BC=BD+CD= (50+50√3)m,即这栋楼的高度为(50+ 50√3)m. 1 7.2 [解析]如图，令AC与BD的交点 为0. A ∠ABD=∠CDB=90°，∴.CD∥AB 又AB=CD,.四边形ABCD是平行 四边形，.AC与BD互相平分，.OB= 号BD.:AB=BD,OB=号AB.在 Rt△AOB中，tan∠CAB=AB=2· OB 1 8.(6-2√5) D E [解析]延长DC CA----- 交1于点H,连接游 OA OC.在Rt△OBH 中，∠BOH=90°-60°=30°，OB= 12dm,∴.BH=12×tan30°=4V3(dm), OH=83(dm).:S△osH=SAOCH十 Sas…goB·BH-oH·CF+ 0B·BC,2×12x4g=2× 1 83XCF十7X12×4,.CF3 (6-2√3)dm. 9.解：延长AB交DC于H,则∠AHD= 90°.，∠BCH=30°，BC=6m,∴.BH= Bc-3 m.CH BC35 m. ,∠ADC=45°，.AH=DH=CD+ CH=(4+33)m,..AB=AH-BH= 4+3√3一3=1+3√3≈6.2(m),即杨树 AB的高度约为6.2m. ·79· A B D∠4530l C H 0.解：(1).AM⊥MN,DN⊥MN, ∴.∠AMN=∠DNM=90°..AD∥ MN,∴.∠DAM=180°-∠AMN= 90°，，.四边形AMND是矩形，.AD= MN=ME+EF+FN=20.0+40.0+ 20.0=80.0(m),.“大碗”的口径AD 的长为80.0m. (2)如图，延长CB交AM于点G. 太阳光线 G￥ C MEF N 由题意得，BE=GM=2.4m,BG= ME=20.0m,BG⊥AM,∠EBG= 90°..∠ABE=152°，∴.∠ABG= ∠ABE-∠EBG=62°.在Rt△ABG 中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88= 37.6(m),,'.AM=AG+MG=37.6+ 2.4=40.0(m),∴.“大碗”的高度AM 的长约为40.0m. 1.解：(1)如图.“cosa= 设 b=, b=√7x,则c=4x.由勾股定理得，a= /4r)P-(7z=3x,sina=2- a 3x3 4x =4.又“B=30°，sin月=simn30°- 日斯射 sin a 4 3 sin B 1 2 2 a b (2)由题意可得a=60°，折射率为 2 。 sin a sin6d=2,“ing√ 3 sin B sinβ 31 ,·四边形ABCD是矩形，点O是AD 中点，.AD=2OD,∠D=90°.又 .'∠OCD=B,.sin∠OCD=sin3= O OC 3.在Rt△ODC中，设OD=3x, OC=3x,由勾股定理得，CD √/(3x)2-(W3x)2=√6x,.tanB= tam∠ocD=O CD =2,0D=10X 2 5√2，.AD=2OD=10√2， '.截面ABCD的面积为AD X CD= 10√2×10=100√2(cm2). 12.解：在Rt△OBD中，∠ODB=90°， ∠BOA=64°，BD=20.5cm, BD BD ∴.tan∠B0A=OD,sin∠BOA=OB 20.5 20.5 即2.05≈ OD ,0.90≈ OB ,OD≈ 10(cm),OB≈22.78(cm).在Rt△COE 中，OC=OB=22.78cm.∠COA= OE 37°，.cos∠COA= C,即cos37≈ 22.78,整理得0E≈22.78X0.80≈ OE 18.224(cm),则ED=OE-OD≈ 8.2(cm). 第五章 四边形 第一节多边形与平行四边形 1.C[解析]，任意多边形的外角和都是 360°，又，这个多边形的每个外角都相 等，且等于60°，∴该多边形的边数是 360°÷60°=6. 2.B[解析]如图，直线l,m相交于点A, 则∠A=60°.，正多边形的每个内角相 等，正多边形的每个外角也相等， ∠1=∠2=180°-60° =60°，n 360° =6. 2 60° A 3.B[解析]连接BD交AC于点O. B 四边形ABCD是平行四边形，'.OD= OB.EF=DE,.OE是△BFD的中 1 位线， OE OD .2 AC-1 1 ·BFBD 2 BF =1, 2AC-CE BF 2BF=3. 4.A[解析]平行四边形ABCD与平行 四边形EFGH全等，A,B,C,D分别对 应H,E,F,G,∴.AB=CD=HE=FG= 7,AD=HG=EF=5,∠DCB=∠GFE, ..EF=EC=5.FC=3,.CG=FG- FC=4.故四边形ECGH的周长=EC十 CG+HG+EH=5+4+5+7=21. 5.A[解析门]，四边形ABCD是矩形， ∠C=90.由题意得BF=号BC, EF∥AB,∴.∠ABQ=∠BQF.由折叠的 性质得∠BQP=∠C=90°，BQ=BC= 4,4∠AQB=90,BF=7BQ, ∠BQF=30°，∴∠ABQ=30°.在 Rt△ABQ中，AB=2AQ,.AQ2+BQ= AB2=4AQ2,..BQ2=3AQ,..AQ= 5BQ=4,∴AB=8. 3 6.C[解析]如图，过D作DH⊥BC,交 BC延长线于H..四边形ABCD是平 行四边形，.AB=DC,AD∥BC.,AE⊥ BC,DH⊥BC,.AE=DH, .Rt△DCH≌Rt△ABE(HL),,∴.CH= BE=x.'BC=y,..EC=BC-BE= y-x,BH=BC+CH=y+x..AE2= AC2-EC2,DH2=BD2-BH2,..22- (y-x)2=(23)2-(y十x)2,.xy=2 (定值). D E CH 7.C[解析]：四边形ABCD是平行四边 形，.AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故 ①③正确.对角线BD,S△ABD= Sam=号Sm,∠ODE=∠0BR 点O是BD的中点，.OD=OB.又 :∠DOE=∠BOF,.△ODE≌△OBF (ASA),.S△oDE=S△oBr,EO=FO≠ ED,故②不正确.：'S△ABD=S△cDB, S△oE=S△oir,'S△ABD-S△oDE=S△cDB SAOBF,即S四造形ABOE=S四效形cOF,故④正 确.综上所述，正确结论的个数为3个. 8.OB=OD(答案不唯一) 9.50°[解析]，六边形ABCDEF是正六 边形，'.∠AFE=∠BAF= (6-2)×180°=120°.：∠EFG=20°， 2 .∠AFG=120°-20°=100°..AH∥ FG,∴.∠AFG+∠FAH=180°， ,∠FAH=180°-100°=80°，∴.∠BAI= 120°-80°=40°..BI⊥AH,.∠ABI= 90°-40°=50°. 10.(1)证明：E是AB的中点，.AE= BE.又DF=BF,EF是△ABD的 中位线，.EF∥AD,即CF∥AD.又 ,AF∥CD,.四边形AFCD为平行四 边形. (2)解：由(1)知，EF是△ABD的中位 线，.AD=2EF=2.∠EFB=90°， ·80· tan∠FEB=3,∴.BF=3EF=3..DF= FB,.DF=BF=3.AD∥CE, .∠ADF=∠EFB=90°，∴.AF= √AD2+DF2=√13.四边形 AFCD为平行四边形，∴.CD=AF= √I3.文DF=BF,CE⊥BD,.BC= CD=13. 1.(1)证明：四边形ABCD是平行四边 形，.AD∥BC,∠BAD=∠BCD, ,∠AEB=∠DAE.AE,CF分别是 ∠BAD,∠BCD的平分线，∴.∠AEB= ∠DAE= ∠BAD,∠BCF 1 ∠BCD,∴.∠AEB=∠BCP,AE ∥CF.又，AF∥CE,.四边形AECF 是平行四边形. (2)解：如图，过点C作CH⊥AD于点 H,则∠CHD=90°. A H B E 四边形ABCD是平行四边形，，.AD BC,,.∠ADC+∠BCD=180°， .∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°= 120°.，CF是∠BCD的平分线， ∠DcF=合∠BcD=号×120= 1 60°，.∠ADC=∠DCF=60°， ,△CDF是等边三角形，，'.CD=DF= 1 2,DH=2DF=1.在R△CHD中， CH=√CD2-DH=√22-1=3， Soam=DF,CH=号X2Xg= √3.由(1)知，四边形AECF是平行四 边形，CE=AP=合DF=2×2= 1..AD∥BC,.△DGF△EGC, FG 子，G=号cR, DF 2 CG CE SAGDF-3 5aw子a 2.(1)证明：根据小明的作法知，CF= AE.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,即AE∥CF.又.CF= AE,,.四边形AFCE是平行四边形， ∴.AFCE. (2)解：以A为圆心，EC为半径画弧， 交BC于点F,此时可能会有两个交，点， 只有其中之一符合题意故小丽的作法 有问题 第二节矩形、菱形与正方形 .C[解析]，四边形ABCD为矩形，对