第四章 第四节 图形的相似-【决胜中考】2025年中考数学全程复习练习册（安徽专版）

∠ABC的平分线，.∠ABC= 2∠ABE.AE是∠CAM的平分线， .∠CAM=2∠EAM..∠CAM= ∠ACB +∠ABC,.2∠EAM ∠ACB+2∠ABE..∠EAM ∠AEB+∠ABE,.2(∠AEB+ ∠ABE)=∠ACB+2∠ABE, ∠AEB=合ACB,结论2：由结论1 知，∠AEB=3∠ACB.:∠ACB = 0,∴∠AED三2∠ACB=45.E旺 AF,.∠AEH=90°，.∠AEB ∠BEG=45°.又，∠ABE=∠GBE, BE=BE,,∴.△ABE≌△GBE(ASA), .'.AE=EG. [应用结论](1)证明：在Rt△AFC中， ∠EFG+∠EAH=90°.在Rt△AEH中， ∠AHE+∠EAH=90°，∴.∠EFG= ∠EHA.在△EFG和△EHA中， ∠EFG=∠EHA, ∠FEG=∠HEA,..△EFG 2 EG=AE, △EHA(AAS),..FG=HA. (2)证明：补全图形如图所示. 在Rt△AEG M A 中..∠EAG= E ∠EGA=45°，F .AG=√2AE, N .Rt△EFG≌Rt△EHA,.∴.EF=EH. .'∠FEH=90°，.∠EFH=∠EHF= 45°，∴.∠AFN=∠FAN =45°， ∠NGH=∠AGE=45°，∴.FN=AN, ∠NGH=∠NHG=45°，.GN=HN. 又.AN=AG+GN,.FN=√2AE+HN. 12.(1)解：PE⊥PF,PF=√5PE (2)证明：如图，连接DE,延长CF至点 H,使得FH=DC,连接AH,延长EP 交AH于点Q,连接QF.由已知条件和 作图易证△AHC和△EDC为等边三 角形，.∠H=∠C=∠EDC=60°， .DE∥AQ,.∠AQP=∠DEP, ∠QAP=∠EDP.P为AD的中，点， .AP=PD,.△AQP≌△DEP, ..QP=EP,AQ=DE=EC=FH, ..AH-AQ=CH-HF,..QH=FC. 又：∠H=∠C,.△QHF≌△FCE. .FQ=FE,∠HQF=∠CFE. ∴.∠QFE=180°-∠QFH-∠CFE= 180°-∠QFH-∠HQF=∠H=60°， .△QFE为等边三角形.又QP= EP,.FP⊥PE,∠EFP=30°，.PF= √3PE. H F B D C 第四节【 图形的相似 1.D2.D 3.2 [解析]：AC∥BD..△AOC △BOD, OA+OC+AC OB+OD+BD AC BD' .OA+OC+AC。1.AC1 OB+OD+BD=2’“BD=2· 4.B[解析]，四边形ABCD是平行四边 形，0C=2AC.“点E为0C的中 点，∴CE= 1 2OC=AC.EF∥AB, △cEFn△CAB,霜黑罕 4 4EF=1. 1 5. ,[解析]AD∥BC,.点B到AD的 距离等于D点到BC的距离，S@- SBCD BC 气3：AD∥BC,△AO oB,3=- )-()广- 6.25+2[解析]连接BE交AC于O, 如图所示 C :五边形ABCDE是正五边形， .∠CBA=∠BAE=(5-2)X180°÷5= 108°，BC=AB=AE,∴.∠BCA= ∠BAC=∠ABE=∠AEB=(180° 108)÷2=36°，.∠CBO=∠ABC ∠ABE=108°-36°=72°，∴.∠B0C= 180°-∠CB0-∠BCA=180°-72°- 36°=72°，∴.∠CB0=∠BOC=72°， .CO=BC=4.,∠BAO=∠CAB, ∠ABO=36°=∠BCA,.△ABOD △ACB小8-船即 4=AC-4 4 解得AC=2√5+2（负数舍去）. 7.解：(1)11.3(2)如图所示. D EC B ·78 由反射定律可知，∠DCE=∠ACB,义 ∠DEC=90°=∠ABC,.△DEC △ABC,AB-BC mAB 1 ·DE EC 即1.5 2,解得 AB=12,.旗杆高度为12m. (3).∠CDG=∠ADB,∠CGD=90°= ∠ABD,△DCG∽△DAB, CG AB DG 1.8 DB ,设AB=xm,BD=ym,则= 1.5 C'G'D'G' y三6x,同理可得 y AB D'B' .1.2 2 1.2 24+y 24+3 ,解得 2 x=28.8.经检验，x=28.8是原方程的 解，故AB≈29m,.雕塑高度AB约为 29m. 8.(1)证明：在题图2中.，∠A=∠A, ∠ACD=∠B,,'.△ACDC∽△ABC, AD AC AC=ABAC2=AD·AB (2)解：在题图3中，设AD=m.,点D 为AB中点，∴.AD=BD=m,AB=2m. 由I)得ACD△ABC,CP=AD BC AC A6,.AC2=AD·AB=mX2m=目 2m2,∴.AC=√2m或AC=-√2m(舍 去)，…=S=Em-巨。 ·BC AB 2m =2.BC= 4,∴.CD=2√2. (3)解：如图1，延长DB到，点H,使得 BH=DB,连接CH,过，点C作CY⊥AB 于点Y.点E为CD的中点，，CE= DE.设CE=DE=a.'∠CDB= ∠CBD=30°..CB=CD=2a.∠DCB= 120,在RtABCY中，CY=2CB=a, .由勾股定理可得BY=√3a..BD= 2√3a.过点B作BF⊥EC于点F,如图 2.则∠FCB=180°-120°=60°， i∠CBF=30,CF=2CB,Cr 2 a,∴.BF=√3a,.EF=2a,∴.BE= √JEF2十BF2=√7a.,点E为CD的中 点，点B为DH的中点，.CH∥BE, CH=2BE=27a,DH=2BD=43a, .∠EBD=∠H.又，∠ACD= ∠EBD,..∠ACD=∠H..△ACD △AHC,AD AC CD 2a AC AH HC 2√7a 又AC=27,∴AD=2,AH=4 ..DH=AH-AD=12,43a=12, ∴a=5,.BE=7a=√2I B 22H 图1 E 图2 第五节 解直角三角形 1.B 2.B[解析]由题意得，DC⊥AC.在 Rt△DBC中，∠DBC=45°，DC=xm, DC ..BC= tan 45 6=xm.,AB=30m, .AC=AB+BC=(x+30)m.在 Rt△ACD中，∠DAC=28°，.CD=AC· tan28°，∴.x=(30+x)tan28°. 3.(4√15一2√5)[解析]如图，过点E 作水平地面的平行线，交AB的延长线 于点H,则∠BEH=∠DCF.在 Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠BCF= B日=2设BH=xm,EH=2x工 EH ∴.BE=√EH+BH=√5x=10,∴.x= 2/5,.BH=2√5m,EH=45m. ,∠EAH=180°-60°-90°=30°， ∴.AH=3EH=415(m),.AB= AH-BH=(4√/15-2√5)(m). A160 B F 4.17[解析]如图，令AB的延长线于PQ 的延长线交于点C.由题意知，AC=30m, PQ=26.6m,∠APC=37°，∠BQC= AC 45°.在Rt△APC中，PC= tan37° 30 0.75 =40(m),.QC=PC-PQ=40- 26.6=13.4(m).在Rt△BQC中，BC= QC=13.4 m,.'.AB=AC-BC=30- 13.4=16.6≈17(m). C P37 450 5.解：(1)AD⊥BC,.△ABD和△ACD 是直角三角形.在Rt△ABD中，sinB= 台AD=8,铝=台AB=10 .BD=√AB2-AD=6. (2).BC=8,BD=6,..CD=BC-BD= 2.在Rt△ACD中，E为斜边AC的中 点，ED-EC-号AC,∠C- ∠EDC,∴tan∠EDC=tanC=C0s 8 2=4,即∠EDC的正切值为4. 6.(50+50√3)[解析]由题意得AD⊥ BC,在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AD= 50m,.CD=AD·tan60°=505m. 在Rt△ABD中，∠BAD=45°，.BD= AD·tan45°=50m,∴.BC=BD+CD= (50+50√3)m,即这栋楼的高度为(50+ 50√3)m. 1 7.2 [解析]如图，令AC与BD的交点 为0. A ∠ABD=∠CDB=90°，∴.CD∥AB 又AB=CD,.四边形ABCD是平行 四边形，.AC与BD互相平分，.OB= 号BD.:AB=BD,OB=号AB.在 Rt△AOB中，tan∠CAB=AB=2· OB 1 8.(6-2√5) D E [解析]延长DC CA----- 交1于点H,连接游 OA OC.在Rt△OBH 中，∠BOH=90°-60°=30°，OB= 12dm,∴.BH=12×tan30°=4V3(dm), OH=83(dm).:S△osH=SAOCH十 Sas…goB·BH-oH·CF+ 0B·BC,2×12x4g=2× 1 83XCF十7X12×4,.CF3 (6-2√3)dm. 9.解：延长AB交DC于H,则∠AHD= 90°.，∠BCH=30°，BC=6m,∴.BH= Bc-3 m.CH BC35 m. ,∠ADC=45°，.AH=DH=CD+ CH=(4+33)m,..AB=AH-BH= 4+3√3一3=1+3√3≈6.2(m),即杨树 AB的高度约为6.2m. ·79· A B D∠4530l C H 0.解：(1).AM⊥MN,DN⊥MN, ∴.∠AMN=∠DNM=90°..AD∥ MN,∴.∠DAM=180°-∠AMN= 90°，，.四边形AMND是矩形，.AD= MN=ME+EF+FN=20.0+40.0+ 20.0=80.0(m),.“大碗”的口径AD 的长为80.0m. (2)如图，延长CB交AM于点G. 太阳光线 G￥ C MEF N 由题意得，BE=GM=2.4m,BG= ME=20.0m,BG⊥AM,∠EBG= 90°..∠ABE=152°，∴.∠ABG= ∠ABE-∠EBG=62°.在Rt△ABG 中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88= 37.6(m),,'.AM=AG+MG=37.6+ 2.4=40.0(m),∴.“大碗”的高度AM 的长约为40.0m. 1.解：(1)如图.“cosa= 设 b=, b=√7x,则c=4x.由勾股定理得，a= /4r)P-(7z=3x,sina=2- a 3x3 4x =4.又“B=30°，sin月=simn30°- 日斯射 sin a 4 3 sin B 1 2 2 a b (2)由题意可得a=60°，折射率为 2 。 sin a sin6d=2,“ing√ 3 sin B sinβ 31 ,·四边形ABCD是矩形，点O是AD 中点，.AD=2OD,∠D=90°.又 .'∠OCD=B,.sin∠OCD=sin3= O OC 3.在Rt△ODC中，设OD=3x, OC=3x,由勾股定理得，CD √/(3x)2-(W3x)2=√6x,.tanB=第四节 【中考过关】 1.(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比 为1：4，则这两个三角形面积的比是() A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 2.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形 的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、 乙、丙、丁，其中是相似形的为 ( ) 甲 丙 入 A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 3.(2024·云南)如图，AB与CD交于点O,且 AC∥BD.若OA+OC+AC 2,则AC 1 OB+OD+BD BD 第3题图 第4题图 【中考突破】 4.(2024·河南)如图，在☐ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,点E为OC的中点， EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的 长为 () A B.1 c D.2 5.(2024·乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC,对角线AC和BD交于点O,若3 3,则40 1 S△BOC 。3 图形的相似 B B D 第5题图 第6题图 6.(2024·宜宾)如图，正五边形ABCDE的边 长为4，则这个正五边形的对角线AC的长 是 7.(2024·自贡)为测量水平操场上旗杆的高 度，九(2)班各学习小组运用了多种测量 方法 D FE B 图1（利用影子） 图2（利用镜子）图3（利用标杆） P DG D E B 图4（找水平线）图5（找定标高线) 图6（测雕塑高） (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上 的影长EF恰好等于自己的身高DE.此 时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为 11.3m,据此可得旗杆高度为 m; (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水 平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆 顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地 面高度DE=1.5m,小李到镜面距离 EC=2m,镜面到旗杆的距离CB= 16m.求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结 果误差较大.在更新测量工具，优化测量 方法后，测量精度明显提高，研学旅行 时，他们利用自制工具，成功测量了江姐 3 故里广场雕塑的高度.方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的 水，利用连通器原理，保持管内水面M, N两点始终处于同一水平线上。 如图5，在支架上端P处，用细线系小重 物Q,标高线PQ始终垂直于水平地面. 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学 们用注水管确定与雕塑底部B处于同一 水平线的D,G两点，并标记观测视线DA 与标高线交点C,测得标高CG=1.8m, DG=1.5m.将观测点D后移24m到 D处.采用同样方法，测得CG=1.2m, D'G=2m.求雕塑高度（结果精确到1m). ·3 【核心素养】 8.(2024·广元)数学实验，能增加学习数学的 乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是 培养动手能力、创新能力的一种手段.小强 在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上 作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问 题，请同学们帮他解决. 在△ABC中，点D为边AB上一点，连 接CD (1)【初步探究】如图2，若∠ACD=∠B,求 证：AC2=AD·AB; (2)【尝试应用】如图3，在(1)的条件下，若点 D为AB中点，BC=4,求CD的长； (3)【创新提升】如图4，点E为CD中点，连接 BE,若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD= ∠EBD,AC=2W7,求BE的长. 图1 图2 B A D 图3 4·