第四章 第三节 全等三角形-【决胜中考】2025年中考数学全程复习练习册（安徽专版）

第三节 【中考过关】 1.(2024·青海)如图，OC平分∠AOB,点P 在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA 的距离是 A.4 B.3 C.2 D.1 D B 第1题图 第2题图 2.如图所示，OA=OB,OC=OD,∠O=50°， ∠D=35°，则∠AEC等于 () A.60° B.509 C.45° D.30° 3.(2024·芜湖一模)在△ABC和△DEF中， ∠A=50°，∠B=70°，AB=4,∠D=50°，∠F 60°，DE=4,则△ABC,△DEF () A.一定全等 B.不一定全等 C.一定不全等 D.以上都不对 4.(2024·黄山模拟)如图，AC⊥BC,BD1 AD,垂足分别为C,D,要根据“HL”证明 Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添 加一个条件是 A.∠CAB=∠DBAB.AC=BD C.AB=BD D.∠ABC=∠BAD D 第4题图 第5题图 5.(2024·宜宾)如图，在△ABC中，AB= 3√2，AC=2,以BC为边作Rt△BCD,BC= BD,点D与点A在BC的两侧，则AD的 最大值为 () A.2+3√2 B.6+22 C.5 D.8 全等三角形 6.(2024·内蒙古)如图，在平行四边形ABCD 中，点F在边AD上，AB=AF,连接BF, 点O为BF的中点，AO的延长线交边BC 于点E,连接EF, (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE= 1,∠BAD=120°，求AE的长， 7.【问题背景】某校八年级数学社团在研究等 腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC,BD= CD,则有∠B=∠C; ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确， 那么进一步推得AB=AC,即知AB+ BD=AC十CD.若把①中的BD=CD替 换为AB+BD=AC+CD,还能推出 ∠B=∠C吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研 究，发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供 了不同的证明方法。 小军 小民 证明：AD⊥BC, 证明：分别延长DB, ∴.△ADB与△ADC DC至E,F两点，使 均为直角三角形 得… 根据勾股定理，得… 30 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整， D 备用图 【中考突破】 8.如图，在正方形ABCD的边CD上有一点 E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°， 得到FE,连接CF并延长与AB的延长线 交于点G.则 的值为 () A.√2 B.√3 号 33 0.2 ·3 B 第8题图 第9题图 9.(2024·浙江)如图，在菱形ABCD中，对角 线AC,BD相安于点O,S-线段AB 与A'B'关于过点O的直线l对称，点B的 对应点B'在线段OC上，A'B'交CD于点 E,则△BCE与四边形OB'ED的面积比为 10.(2024·遂宁)在等边△ABC三边上分别取 点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得 到△DEF,易得△ADF≌△BED≌△CFE, 设S△ABc=1,则S△DEF=1一3S△ADF·. 如图1，当8=专时，Sae=1-3×号 1 如圈2当铝-古时，Sm=1-8×号 3: 如周8，当8-时5a吧=1-3×号 7 169 直接写，当时.S一 B4 E 图1 图2 图3 11.(2024·宁夏)【综合与实践】 如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平 分线，BD的延长线交外角∠CAM的平分 线于点E. 【发现结论】 结论1：∠AEB= ∠ACB; 结论2：当图1中∠ACB=90°时，如图2所 示，延长BC交AE于点F,过点E作AF 的垂线交BF于点G,交AC的延长线于点 H.则AE与EG的数量关系是 【应用结论】 (1)求证：AH=GF; (2)在图2中连接FH,AG,延长AG交 FH于点N,补全图形，求证：FN= NH+√2AE. MA DY B 图1 。3 【核心素养】 12.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC= 30°，D为边BC上一动点，点E在边AC 上，CE=CD.点D关于点B的对称点为 点F,连接AD,P为AD的中点，连接 PE,PF,EF. (1)如图1，当点D与点B重合时，直接写 出线段PE与PF之间的位置关系与 数量关系； (2)如图2，当点D与点B,C不重合时，请 问(1)中所得的结论是否仍然成立？若 成立，请给出证明；若不成立，请说明 理由. E B(D,F) B D 图1 图2 2·FC,..BC=DB+DF+FC=DA+ DF+FA=6. (2)'.DA=DB,FA=FC,../DAB= ∠B,.∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠DAF=20°.，∠DAB+∠FAC+ ∠B+∠C=180°-20°=160°， ∴∠DAB+∠FAC=7X160°=80， .∠BAC=∠DAB+∠FAC+∠DAF 80°+20°=100° 第三节全等三角形 1.C 2.A[解析]：在△AOD中，∠0=50°， ∠D=35°，.∠0AD=180°-∠D- ∠0=180°-35°-50°=95°.，在 (OA=OB, △AOD和△BOC中，∠0=∠O, OD=OC, .△AOD≌△BOC(SAS),.∠OBC= ∠OAD=95°.在四边形OBEA中， ∠AEB=360°-∠OBE-∠OAE ∠0=360°-95°-95°-50°=120°.又 ∠AEB+∠AEC=180°，∴.∠AEC= 180°-∠AEB=180°-120°=60°. 3.A[解析]，在△ABC中，∠A=50°， ∠B=70°，.∠C=180°-∠A-∠B= 180°-50°-70°=60°，在△ABC和 1∠C=∠F=60°， △DEF中，∠A=∠D=50°，∴.△ABC≌ AB=DE=4, △DEF(AAS). 4.B[解析]在Rt△ABC与Rt△BAD AB=BA 中，AC-BD,Rt△ABC≌Rt△BAD (HL),.可添加AC=BD. 5.D[解析]如图，将BA绕点B顺时针 旋转90°，得到BE,连接AE,DE,.BE AB=32,∠ABE= B A 90°，∴AE=√2AB= 6.∠DBC=90°=DE C ∠EBA,∴∠DBE=∠CBA.又BD= BC,AB=BE,∴·△DBE≌△CBA(SAS), .DE=AC=2.在△ADE中，AD<AE+ DE,.当A,D,E三点共线时，AD有最 大值，∴.AD的最大值为6十2=8. 6.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 形，.AD∥BC,.∠AFO=∠EBO. O是BF的中点，.OB=OF.在 I∠AFO=∠EBO, △AOF和△EOB中，{∠AOF=∠EOB, OF=OB, ∴.△AOF≌△EOB(AAS),.OA= OE.OB=OF,∴.四边形ABEF是平 行四边形.AB=AF,.四边形ABEF 是菱形 (2)解：.AD∥BC,.∠BAD+∠ABC= 180°.∠BAD=120°，.∠ABE=60° ,AB=BE,'.△ABE是等边三角形， .AE=AB.AD=BC,AF =BE, .EC=DF=1.DF∥EC,∴.四边形 EFDC是平行四边形，.CD=EF. .AB+BC+CD+AD=22,..AB+ BE+1+CD+AF+1=22,.4AB= 20,∴.AB=AE=5. 7.证明：(1)AD⊥BC,∠ADB= ∠ADC=90°.在△ADB和△ADC中， (AD=AD, ∠ADB=∠ADC,∴.△ADB≌△ADC BD-CD, (SAS),.∠B=∠C. (2)小军的证明过程：分别延长DB,DC 至E,F两点，使得BE=BA,CF=CA, 连接AE,AF,如图所示 E B D C .'AB+BD=AC+CD,.BE+BD= CF十CD,∴DE=DF.AD⊥BC, .∠ADE=∠ADF=90°.在△ADE和 (AD=AD, △ADF中，{∠ADE=∠ADF, DE=DF, .△ADE≌△ADF(SAS),.∠E= ∠F.BE=BA,CF=CA,.∠E= ∠BAE=∠F=∠CAF.N∠ABC= ∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF, .∠ABC=∠ACB. 小民的证明过程：：AD⊥BC, ∴.△ADB与△ADC均为直角三角形， 根据勾股定理，得AD=√AB一BD √AB+BD)CAB-BD)=√AC-CD= (AC+CD)(AC-CD)..AB+BD- AC+CD,.AB-BD =AC-CD, AB=AC,∠B=∠C. 8.A[解析]过点F作FH⊥DC交DC 延长线于点H,∠H=90°. 四边形ABDE CD是正方形， ∠D=90°， AD DC. B ,AE绕点E G 逆时针旋转90°，得到FE,AE=FE, ∠AEF=90.:∠DAE+∠AED=90°， ∠HEF+∠AED=9O°，∴∠DAE= ∠HEF,在△ADE和△EHF中， ·77 ∠D=∠H, ∠DAE=∠HEF,∴.△ADE≌△EHF AE=EF, (AAS),∴.AD=EH,DE=HF,∴.EH= DC,.DE=CH=HF,.∠HCF= 45°，.∠G=45°.设CH=HF=DE= x,正方形边长为y,则CE=y一x,CF= W2x,CG=√2y,∴.FG=CG-CF=√2y- . CE 9. 1 [解析]四边形ABCD是菱形，且 3 AC 5 BD =3,·设AC=10k,则BD=6k, .OA=OC=5k,OB=OD=3k.如图， 连接A'D,OE,记直线l分别交BC,AD 于点F,G.线段AB与A'B'与过点O 的直线L对称，点B的对称点B'在线段 OC上..∠BOF= =45°，OA'=OA= 5k,OB′=OB=3k, B ∴.∠AOG=∠DOG=45°，.A',D,O 三点共线，.A'D=B'C=2k.AB∥ CD,∴.∠CDO=∠ABO,由对称性可得 ∠A'B′O=∠ABO,.∠A'B'O= ∠CDO,.∠A'DE=∠CB'E.又∠A ED=∠CEB',.△A'ED≌△CEB' (AAS),∴.CE=A'E..AB=A'B′= CD..'DE=B'E.OE=OE,OD= OB',.△DOE2△B'OE(SSS), ∴.SADOE=S△B'oE·· S△B'cE B'C 2 S△BoE B'O 3 S△B'CE 2 1 ·S四盘形0B'ED 6 3 73 AD 1 10. 100 [解析]当 AB 时，S△DE= 2 22 AB 号时，Sam=1-3×号=1-3× 3-2 AD 1 32 3:当 AB 时，SADEF=1一 4 3X = 16 1-3×= …则当 AD 1 AB n 时，Sar=1-3X”是.故当 AD AB 1 时，SADEF=1-3X 10-1 102 73 100 1.[发现结论]结论1：司 结论2：AE=EG [解析][发现结论]结论1：，BD是 ∠ABC的平分线，.∠ABC= 2∠ABE.AE是∠CAM的平分线， .∠CAM=2∠EAM..∠CAM= ∠ACB +∠ABC,.2∠EAM ∠ACB+2∠ABE..∠EAM ∠AEB+∠ABE,.2(∠AEB+ ∠ABE)=∠ACB+2∠ABE, ∠AEB=合ACB,结论2：由结论1 知，∠AEB=3∠ACB.:∠ACB = 0,∴∠AED三2∠ACB=45.E旺 AF,.∠AEH=90°，.∠AEB ∠BEG=45°.又，∠ABE=∠GBE, BE=BE,,∴.△ABE≌△GBE(ASA), .'.AE=EG. [应用结论](1)证明：在Rt△AFC中， ∠EFG+∠EAH=90°.在Rt△AEH中， ∠AHE+∠EAH=90°，∴.∠EFG= ∠EHA.在△EFG和△EHA中， ∠EFG=∠EHA, ∠FEG=∠HEA,..△EFG 2 EG=AE, △EHA(AAS),..FG=HA. (2)证明：补全图形如图所示. 在Rt△AEG M A 中..∠EAG= E ∠EGA=45°，F .AG=√2AE, N .Rt△EFG≌Rt△EHA,.∴.EF=EH. .'∠FEH=90°，.∠EFH=∠EHF= 45°，∴.∠AFN=∠FAN =45°， ∠NGH=∠AGE=45°，∴.FN=AN, ∠NGH=∠NHG=45°，.GN=HN. 又.AN=AG+GN,.FN=√2AE+HN. 12.(1)解：PE⊥PF,PF=√5PE (2)证明：如图，连接DE,延长CF至点 H,使得FH=DC,连接AH,延长EP 交AH于点Q,连接QF.由已知条件和 作图易证△AHC和△EDC为等边三 角形，.∠H=∠C=∠EDC=60°， .DE∥AQ,.∠AQP=∠DEP, ∠QAP=∠EDP.P为AD的中，点， .AP=PD,.△AQP≌△DEP, ..QP=EP,AQ=DE=EC=FH, ..AH-AQ=CH-HF,..QH=FC. 又：∠H=∠C,.△QHF≌△FCE. .FQ=FE,∠HQF=∠CFE. ∴.∠QFE=180°-∠QFH-∠CFE= 180°-∠QFH-∠HQF=∠H=60°， .△QFE为等边三角形.又QP= EP,.FP⊥PE,∠EFP=30°，.PF= √3PE. H F B D C 第四节【 图形的相似 1.D2.D 3.2 [解析]：AC∥BD..△AOC △BOD, OA+OC+AC OB+OD+BD AC BD' .OA+OC+AC。1.AC1 OB+OD+BD=2’“BD=2· 4.B[解析]，四边形ABCD是平行四边 形，0C=2AC.“点E为0C的中 点，∴CE= 1 2OC=AC.EF∥AB, △cEFn△CAB,霜黑罕 4 4EF=1. 1 5. ,[解析]AD∥BC,.点B到AD的 距离等于D点到BC的距离，S@- SBCD BC 气3：AD∥BC,△AO oB,3=- )-()广- 6.25+2[解析]连接BE交AC于O, 如图所示 C :五边形ABCDE是正五边形， .∠CBA=∠BAE=(5-2)X180°÷5= 108°，BC=AB=AE,∴.∠BCA= ∠BAC=∠ABE=∠AEB=(180° 108)÷2=36°，.∠CBO=∠ABC ∠ABE=108°-36°=72°，∴.∠B0C= 180°-∠CB0-∠BCA=180°-72°- 36°=72°，∴.∠CB0=∠BOC=72°， .CO=BC=4.,∠BAO=∠CAB, ∠ABO=36°=∠BCA,.△ABOD △ACB小8-船即 4=AC-4 4 解得AC=2√5+2（负数舍去）. 7.解：(1)11.3(2)如图所示. D EC B ·78 由反射定律可知，∠DCE=∠ACB,义 ∠DEC=90°=∠ABC,.△DEC △ABC,AB-BC mAB 1 ·DE EC 即1.5 2,解得 AB=12,.旗杆高度为12m. (3).∠CDG=∠ADB,∠CGD=90°= ∠ABD,△DCG∽△DAB, CG AB DG 1.8 DB ,设AB=xm,BD=ym,则= 1.5 C'G'D'G' y三6x,同理可得 y AB D'B' .1.2 2 1.2 24+y 24+3 ,解得 2 x=28.8.经检验，x=28.8是原方程的 解，故AB≈29m,.雕塑高度AB约为 29m. 8.(1)证明：在题图2中.，∠A=∠A, ∠ACD=∠B,,'.△ACDC∽△ABC, AD AC AC=ABAC2=AD·AB (2)解：在题图3中，设AD=m.,点D 为AB中点，∴.AD=BD=m,AB=2m. 由I)得ACD△ABC,CP=AD BC AC A6,.AC2=AD·AB=mX2m=目 2m2,∴.AC=√2m或AC=-√2m(舍 去)，…=S=Em-巨。 ·BC AB 2m =2.BC= 4,∴.CD=2√2. (3)解：如图1，延长DB到，点H,使得 BH=DB,连接CH,过，点C作CY⊥AB 于点Y.点E为CD的中点，，CE= DE.设CE=DE=a.'∠CDB= ∠CBD=30°..CB=CD=2a.∠DCB= 120,在RtABCY中，CY=2CB=a, .由勾股定理可得BY=√3a..BD= 2√3a.过点B作BF⊥EC于点F,如图 2.则∠FCB=180°-120°=60°， i∠CBF=30,CF=2CB,Cr 2 a,∴.BF=√3a,.EF=2a,∴.BE= √JEF2十BF2=√7a.,点E为CD的中 点，点B为DH的中点，.CH∥BE, CH=2BE=27a,DH=2BD=43a, .∠EBD=∠H.又，∠ACD= ∠EBD,..∠ACD=∠H..△ACD △AHC,AD AC CD 2a AC AH HC 2√7a 又AC=27,∴AD=2,AH=4 ..DH=AH-AD=12,43a=12,