第四章 第二节 三角形及其性质-【决胜中考】2025年中考数学全程复习练习册（安徽专版）

第二节 三角形及其性质 【中考过关】 5.如图所示，AE平分∠BAC,DE平分 1.(2024·青海)如图，在Rt△ABC中，D是 ∠BDC,已知∠B=10°，∠C=40°，则∠E= AC的中点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的 长是 ( D 6.(2024·合肥38中模拟)如图，在△ABC 中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的 A.3 B.6 C.3 D.3√3 一点，连接AE. 2.(2024·长沙)如图，在△ABC中，∠BAC=60°， (1)当AE为边BC上的中线时，若AD=6, ∠B=50°，ADBC,则∠1的度数为() △ABC的面积为24，求CE的长； (2)当AE为∠BAC的平分线时，若∠C= 66°，∠B=36°，求∠DAE的度数. A.50° B.60° C.70° D.80° 3.(2024·包头)如图，在平面直角坐标系中， E 四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0, 0),A(1,2),B(3,3),C(5,0),则四边形 OABC的面积为 () y A.14 B.11 C.10 D.9 4.(2024·绥化)如图，AB∥CD,∠C=33°， OC=OE.则∠A= 7.已知三角形的三条边长分别为3,8和x D (1)x的取值范围为 (2)当该三角形为等腰三角形时，求它的 周长。 ·28· 【中考突破】 【核心素养】 8.(2024·宿州市模拟)如图所示，小手盖住了 12.(2024·达州)如图，在△ABC中，AE1, 一个三角形的一部分，则这个三角形是 BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三 等分线，即∠E,AD=∠CAB,∠E,BD= 3∠CBD,在△ABE1中，AE2,BE:分别 A,直角三角形 B.锐角三角形 是内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分 C钝角三角形 D.等边三角形 9.(2024·淮南市模拟)学习了三角形的“中 线，即∠E,AD=}∠EAB,∠E,BD 线、高线、角平分线”后，老师给同学们布置 含∠E,BD…以此规律作下去，若∠C= 了一项作业：作△ABC的AC边上的高.下 m°，则∠En= 面是四位同学的作业，其中正确的是( B 0 13.如图所示，在△ABC中，DE,FG分别为 AB,AC的垂直平分线，E,G分别为垂足. (1)若△DAF的周长为6，求BC的长； (2)若∠DAF=20°，求∠BAC的度数. 10.(2024·内江)如图，在△ABC中，∠DCE= 40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数 为 AD E 11.(2024·绥化)已知：△ABC. (1)尺规作图：画出△ABC的重心G(保留 作图痕迹，不要求写作法和证明)； (2)在(1)的条件下，连接AG,BG.已知 △ABG的面积等于5cm2,则△ABC 的面积是 cm2. A B ·29·3 2 2 第四章三角形 第一节角、相交线与平行线 1.D2.B3.B4.B5.356.B 7.B 8.A9.B 10.B[解析]由题意得，∠ABC=45°， ∠EDF=30°.DF∥AB,∴∠FDB= ∠ABC=45°，.∠EDB=∠FDB 一 ∠EDF=45°-30°=15° 11.B[解析]如图所示. A B N D ,AB∥CD,.∠1=∠AMN=∠2+ ∠3.∠1=80°，∠2=40°，.∠3=40° 12.(1)证明：，∠BNM=∠AND,∠AOE= ∠BNM,,.∠AOE=∠AND,.OE ∥DM. (2)解：AB与底座CD都平行于地面 EF,.AB∥CD,.∠BOD=∠ODC= 30°.，∠AOF+∠BOD=180°， ∴.∠AOF=150°.，OE平分∠AOF, ∠E0F=7∠AOF=75,∴∠BOE3 ∠BOD+∠EOF=105°..OE∥DM, ∠ANM=∠BOE=105. 13.解：(1)如图1所示，过点P作PQ∥ AB,∴.∠EPQ=∠BEP=30°.，AB∥ CD,所以CD∥PQ,∴.∠FPQ= ∠DFP=40°，∴.∠EPF=∠EPQ十 ∠FPQ=30°+40°=70°. E E A B B C C 图1 图2 E A B 图3 (2)∠PEA=∠PFC十∠EPE.理由： 如图2所示，过点P作PN∥AB, .∠PEA=∠NPE.,AB∥CD, .PN∥CD,.∠FPN=∠PFC. .∠NPE=∠FPN+∠EPF, ∴.∠PEA=∠PFC+∠EPE. (3)∠BGP=90+2a.理由：如用3所 示，过点P作PM∥AB,∴.∠BEP十 ∠EPM=180°..AB∥CD,∴.PM∥ CD,.∠FPM=∠CFP=a.同(1)可 知，∠EGP=∠BEG+∠GPM. 又：EG,PG分别是∠BEP和∠EPF 1 的平分线，六∠BEG=2∠BEP, ∠GPM=∠GPF+∠FPM=2∠EPF+ 1 ∠Bcp=2×180+a=90+a 第二节三角形及其性质 1.A2.C 3.D[解析]过A点作AE⊥x轴于E,过 B点作BF⊥x轴于F,如图所示. O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(5,0), ..OE=1,AE=2,BF=3,CF=2,EF= 2,.四边形OABC的面积=S△AOE十 5a=+Sm=号×1X2+号×8×2+ 1 (2+3)×2=9. 2 OE F 4.66 5.15°[解析]延长CD交AB于点F,如 图所示.AE平分∠BAC,DE平分 ∠BDC,∴.∠CAE= 2 ∠BAC,∠CDE= 2∠BDC.:∠BFC是 △ACF的一个外角， ∠BDC是△BDF的一个 外角，∴∠BFC=∠BAC B +∠C,∠BDC=∠B+ ∠BFC,∴∠BDC=∠B+∠BAC+ 1 ∠C=∠BAC+50,÷.∠CDE= ∠BAC+25°.∠AGC=180°-∠C- ∠CAE=140-号∠BAC,∠DGE- ∠AGC=140-号∠BAC:∠E= 180°-∠CDE-∠DGE,.∠E=180° 合∠BAC-2S-140+分∠BAC=15 6.解：(1)AD为边BC上的高，△ABC的 面积为24，号BC·AD=24,BC= 2X24=8,:AE为BC边上的中线， 6 .CE-7 BC-4. (2)∠C=66°，∠B=36°，∴∠BAC= 180°-∠C-∠B=180°-66°-36°= 78,.AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE=合∠aAC=9,:∠ADC ·76· 90°，∠C=66°，.∠CAD=90°-66°= 24°，.∠DAE=∠CAE-∠CAD=39°- 24°=15. 7.解：(1)5<x<11 (2)当x=3时，3十3<8，不构成三角形； 当x=8时，周长为3+8十8=19. 8.C9.A 10.100°[解析]AC=AE,BC=BD,可 设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC= ∠BCD=y°，.∠A=180°-2x°，∠B= 180°-2y°.：∠ACB+∠A+∠B= 180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE= 180°，.∠ACB+(180°-2x)+ (180°-2y°)=180°，180°-(x°+y)= ∠DCE,.∠ACB+360°-2(x°+y)= 180°，.∠ACB+2∠DCE=180°， ∠DCE=40°，，.∠ACB=100° 11.解：(1)如图所示. B (2)15[解析](1)分别作出AB边和 BC边的垂直平分线，与AB和BC边 分别交于点N和点M,连接AM和 CN,点G即为所求作的点.(2)点G 是△ABC的重心，.AG=2MG. ,△ABG的面积等于5cm2, .△BMG的面积等于2.5cm2, .△ABM的面积等于7.5cm2. 又AM是△ABC的中线，∴.△ABC 的面积等于15cm2. 12. 3 [解析]由题意可知，∠E1AD= 台<CAB,∠E,BD-日∠GBD.段 ∠E1AD=a,∠E1BD=B,则∠CAB= 3a,∠CBD=3β.由三角形的外角的性 质得，B=a十∠E1,33=3a十∠C,∠E1= 日∠C月理可求∠B=号∠E,∠B= (3)∠C,…,∠E。=(3）)∠c,即 ∠E.=() 13.解：(1)△DAF的周长为6，.DA+ FA+DF=6.DE,FG分别为AB, AC的垂直平分线，.DA=DB,FA= FC,..BC=DB+DF+FC=DA+ DF+FA=6. (2)'.DA=DB,FA=FC,../DAB= ∠B,.∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠DAF=20°.，∠DAB+∠FAC+ ∠B+∠C=180°-20°=160°， ∴∠DAB+∠FAC=7X160°=80， .∠BAC=∠DAB+∠FAC+∠DAF 80°+20°=100° 第三节全等三角形 1.C 2.A[解析]：在△AOD中，∠0=50°， ∠D=35°，.∠0AD=180°-∠D- ∠0=180°-35°-50°=95°.，在 (OA=OB, △AOD和△BOC中，∠0=∠O, OD=OC, .△AOD≌△BOC(SAS),.∠OBC= ∠OAD=95°.在四边形OBEA中， ∠AEB=360°-∠OBE-∠OAE ∠0=360°-95°-95°-50°=120°.又 ∠AEB+∠AEC=180°，∴.∠AEC= 180°-∠AEB=180°-120°=60°. 3.A[解析]，在△ABC中，∠A=50°， ∠B=70°，.∠C=180°-∠A-∠B= 180°-50°-70°=60°，在△ABC和 1∠C=∠F=60°， △DEF中，∠A=∠D=50°，∴.△ABC≌ AB=DE=4, △DEF(AAS). 4.B[解析]在Rt△ABC与Rt△BAD AB=BA 中，AC-BD,Rt△ABC≌Rt△BAD (HL),.可添加AC=BD. 5.D[解析]如图，将BA绕点B顺时针 旋转90°，得到BE,连接AE,DE,.BE AB=32,∠ABE= B A 90°，∴AE=√2AB= 6.∠DBC=90°=DE C ∠EBA,∴∠DBE=∠CBA.又BD= BC,AB=BE,∴·△DBE≌△CBA(SAS), .DE=AC=2.在△ADE中，AD<AE+ DE,.当A,D,E三点共线时，AD有最 大值，∴.AD的最大值为6十2=8. 6.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 形，.AD∥BC,.∠AFO=∠EBO. O是BF的中点，.OB=OF.在 I∠AFO=∠EBO, △AOF和△EOB中，{∠AOF=∠EOB, OF=OB, ∴.△AOF≌△EOB(AAS),.OA= OE.OB=OF,∴.四边形ABEF是平 行四边形.AB=AF,.四边形ABEF 是菱形 (2)解：.AD∥BC,.∠BAD+∠ABC= 180°.∠BAD=120°，.∠ABE=60° ,AB=BE,'.△ABE是等边三角形， .AE=AB.AD=BC,AF =BE, .EC=DF=1.DF∥EC,∴.四边形 EFDC是平行四边形，.CD=EF. .AB+BC+CD+AD=22,..AB+ BE+1+CD+AF+1=22,.4AB= 20,∴.AB=AE=5. 7.证明：(1)AD⊥BC,∠ADB= ∠ADC=90°.在△ADB和△ADC中， (AD=AD, ∠ADB=∠ADC,∴.△ADB≌△ADC BD-CD, (SAS),.∠B=∠C. (2)小军的证明过程：分别延长DB,DC 至E,F两点，使得BE=BA,CF=CA, 连接AE,AF,如图所示 E B D C .'AB+BD=AC+CD,.BE+BD= CF十CD,∴DE=DF.AD⊥BC, .∠ADE=∠ADF=90°.在△ADE和 (AD=AD, △ADF中，{∠ADE=∠ADF, DE=DF, .△ADE≌△ADF(SAS),.∠E= ∠F.BE=BA,CF=CA,.∠E= ∠BAE=∠F=∠CAF.N∠ABC= ∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF, .∠ABC=∠ACB. 小民的证明过程：：AD⊥BC, ∴.△ADB与△ADC均为直角三角形， 根据勾股定理，得AD=√AB一BD √AB+BD)CAB-BD)=√AC-CD= (AC+CD)(AC-CD)..AB+BD- AC+CD,.AB-BD =AC-CD, AB=AC,∠B=∠C. 8.A[解析]过点F作FH⊥DC交DC 延长线于点H,∠H=90°. 四边形ABDE CD是正方形， ∠D=90°， AD DC. B ,AE绕点E G 逆时针旋转90°，得到FE,AE=FE, ∠AEF=90.:∠DAE+∠AED=90°， ∠HEF+∠AED=9O°，∴∠DAE= ∠HEF,在△ADE和△EHF中， ·77 ∠D=∠H, ∠DAE=∠HEF,∴.△ADE≌△EHF AE=EF, (AAS),∴.AD=EH,DE=HF,∴.EH= DC,.DE=CH=HF,.∠HCF= 45°，.∠G=45°.设CH=HF=DE= x,正方形边长为y,则CE=y一x,CF= W2x,CG=√2y,∴.FG=CG-CF=√2y- . CE 9. 1 [解析]四边形ABCD是菱形，且 3 AC 5 BD =3,·设AC=10k,则BD=6k, .OA=OC=5k,OB=OD=3k.如图， 连接A'D,OE,记直线l分别交BC,AD 于点F,G.线段AB与A'B'与过点O 的直线L对称，点B的对称点B'在线段 OC上..∠BOF= =45°，OA'=OA= 5k,OB′=OB=3k, B ∴.∠AOG=∠DOG=45°，.A',D,O 三点共线，.A'D=B'C=2k.AB∥ CD,∴.∠CDO=∠ABO,由对称性可得 ∠A'B′O=∠ABO,.∠A'B'O= ∠CDO,.∠A'DE=∠CB'E.又∠A ED=∠CEB',.△A'ED≌△CEB' (AAS),∴.CE=A'E..AB=A'B′= CD..'DE=B'E.OE=OE,OD= OB',.△DOE2△B'OE(SSS), ∴.SADOE=S△B'oE·· S△B'cE B'C 2 S△BoE B'O 3 S△B'CE 2 1 ·S四盘形0B'ED 6 3 73 AD 1 10. 100 [解析]当 AB 时，S△DE= 2 22 AB 号时，Sam=1-3×号=1-3× 3-2 AD 1 32 3:当 AB 时，SADEF=1一 4 3X = 16 1-3×= …则当 AD 1 AB n 时，Sar=1-3X”是.故当 AD AB 1 时，SADEF=1-3X 10-1 102 73 100 1.[发现结论]结论1：司 结论2：AE=EG [解析][发现结论]结论1：，BD是