第三章 第四节 二次函数-【决胜中考】2025年中考数学全程复习练习册（安徽专版）

第四节 【中考过关】 1.在二次函数y=一x2十2x一3的图象中，若 y随x的增大而减小，则x的取值范围是 () A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1 2.直线y=x十2m经过第一、三、四象限，则抛 物线y=x2+2x十1一m与x轴的交点个 数为 () A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 3.已知点A(x1,y1)在直线y=-x-6上，点 B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=一x2 4x一2上，若y1=y2=y3,x1<x2<x3,则 x1十x2十x3的取值范围是 () A.-8<x1+x2+x3<-4 B.-10<x1+x2+x3<-6 C.-4<x1+x2+x3<0 D.-12<x1十x2+x3<-8 4.如图，现要在抛物线y=x(4一x)上找点 p(a,b),针对b的不同取值，所找点力的个 数，甲、乙二人的说法如下： 甲：若b=5,则点P的个数为0； 乙：若b=4,则点P的个数为1. 则下列判断正确的是 y y=x(4-x) A.甲对，乙错 B.甲和乙都对 C.甲错，乙对 D.甲和乙都错 5.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点 (一2,1)，则ac的最大值等于 6.如图，在平面直角坐标系中，点A,E在抛物 线y=ax2上，过点A,E分别作y轴的垂 ·2 二次函数 线，交抛物线于点B,F,分别过点E,F作x 轴的垂线交线段AB于点C,D.当点 E的坐标为(2,4)，四边形CDFE为正方形 时，线段AB的长为 ↑y BD 7.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 y=一0.2x2十x十2.25运行，然后准确落入 篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m,则他距篮筐中心的水平距离OH是 m. H衣 8.如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水 管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动 时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱 落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发 现，喷头高2.5m,水柱落点距O点2.5m; 喷头高4m时，水柱落点距O点3m.那么 喷头高 m时，水柱落点距O点 4m. 4高度(m) 2.5- 落点(m) 02.534 9.某百货公司进了一批商品，进货价为20元/件， 经调研，月销量y(件)关于售价x(元/件)的 函数关系满足如图所示的图象， (1)写出月销量y(件)关于售价x(元/件)的 函数关系式，并求出自变量的取值范围； 3 (2)当售价x为多少时，百货公司销售该商 品的月利润为400元？ (3)当售价x为多少时，百货公司销售该商 品的月利润最大，最大月利润是多少？ ↑件 60 20 02040x/元 【中考突破】 10.如图，抛物线y=a1x2与抛物线y=a2x2十 bx相交于点P(一1，m),过点P作x轴的 平行线，与两条抛物线分别交于点M,N, 若点M是PN的中点，则2的值是() 《 A B.2 c D.3 ·2 11.已知点A(n,y1),B(n+3,y2)在函数y= a(x一m)(x-m-2)(a≠0，m为常数)的 图象上，则下列判断正确的是 () A.当a>0时，若y1<0,则y2<0 B.当a>0时，若y1>0,则y2>0 C.当a<0时，若y1<0,则y2<0 D.当a<0时，若y1>0,则y2<0 12.已知点A(2一t,k),B(t,k)是抛物线y= x2+bx+c上不同的两点，当0≤x≤m 时，y的取值范围是c一1≤y≤c,则的 取值范围是 () A.m>1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.1≤m≤3 13.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数 y=ax2-2ax的图象上，当|x1-1|> |x2一1时，y1>y2.若图象上点C(m, y3),D(m十3，y4)满足y3>y4,则m的取 值范围是 14.(2024·云南)已知抛物线y=x2十bx一1 的对称轴是直线x=设m是抛物线y= x2十bx一1与x轴交点的横坐标，记 M=m5-33 109 (1)求b的值； ②比较M与罗的式水 15.(2024·望江县三模)某数学兴趣小组设计 了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长 方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内 投乒乓球.建立如图所示的平面直角坐标 系（长方形ABCD为箱子截面图，x轴经过 箱子底面中心，并与其一组对边平行，AB= CD=1m,OB=BC=2m),王同学站在原 点，将乒乓球从1.5m的高度P处抛出，乒 乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同 学1m时，达到最大高度2m. (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子， 请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹 起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运 动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到 原最大高度的一半，请判断乒乓球是否 弹出箱子，并说明理由. 。2 【核心素养】 16.(2024·威海)已知抛物线y=x2十bx十c (b<0)与x轴交点的坐标分别为(x1,0), (x2,0),且x1<x2· (1)若抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与 x轴交点的坐标分别为(x3,0),(x4,0) 且x3<x4.试判断下列每组数据的大小 (填“>”“<”或“=”)： ①x1十x2 x3十x4； ②x1一x3 x2-x4; ③x2十x3 x1十x4. (2)若x1=1,2<x2<3,求b的取值范围. (3)当0≤x≤1时，y=x2+bx+c(b<0) 的最大值与最小值的差为，求6 的值. 5·12.-5[解析]过 点A作x轴和 y轴的垂线，垂 足分别为M和 B M O N.:点A在 直线y=一x上，则A(一a,a),∴.AM AN.又AM⊥x轴，AN⊥y轴， ∠MON=90°，故四边形AMON是正 方形.又∠BAC=90°，.∠BAM+ ∠MAC=90°.又∠MAC+∠NAC= 90°，.∠BAM=∠CAN.又AM= AN,∠AMB=∠ANC,.△ABM≌ △ACN(ASA),.S△ABM=S△ACN, SE方形AMON=S日地荐AB0C=5,一a· (-a)=5,得a=5.即A(-5,5). 将A点代入y=兰得，k=-5 13.解：(1)设一次函数解析式为y=kx+ b,将B(8,1)代入y=,可得m=8, x y-将Aa,0R入y受可得 8 a=2,A(2,4).将A(2,4)和B(8,1) 4=2k+b,解得 代入y=kx十b,得i=86+b 1 k=-8'y=-2x+5 b=5, 1 (2)当y=0时，0=2x+5,解得x= 10,.D(10,0).S△A0B=S△A0D-S△n= 号×10X4-7×10x1=15. (3)如图，过点A作AE1⊥x轴，则 AE1∥OC,.∠OAE1=∠AOC A(2,4),.E1（2,0).如图，作 ∠OAE2=∠AOC,AE2交y轴于点 F.过点A作AG⊥y轴，OG=4,AG 2..∠OAE2=∠AOC,.AF=OF,设 OF=a,则AF=a,.FG=4一a.由勾 股定理可得，AG2+FG2=AF2,22+ 4-a)P=a,解得a=号0F=名， 5 F(0,）设直线AF的解新式为 y=mr+,将F(o,）A2,4)代 入，可好得y=是十号当y=0时， =-9∴E(9o)棕上，点E 为2,0或(-号) D 4.解：(1)把x=1代入y=x+2,得y= 3,.A(1,3),.k=1X3=3,.反比例 画数的解折式为y=兰联立解折式得 y=x+2, 3解得 或任二3， y=z’ y=3y=-1, .B(-3,一1). 1 (2):S△sO=2SAOP是AB的 中点，P(-1,1),易得OB所在直线的 1 解析式为y=3.当PM取得最小值 时，PM⊥OB,,设此时PM所在直线的 解析式为y=一3x十b.代入P(一1,1)， 得3+b=1,解得b=一2，∴.PM所在直 线的解析式为y=一3x一2.联立解析式 3 y=-3x-2, z=- 5’ 得 1 解得 y=3x, 1 y=-5 M(-号，-吉)PM的最小位为 √(-1+)++=2， 5 5.解：(1)点E在这个反比例函数的图象 上.理由如下：y=kx十b(k>0)的图 象与y=8(x>0)的图象交于点A, 设点A的坐标为(，品）：C夹 于直线AD的对称点为点E,.AD⊥ CE,AD平分CE.如图，连接CE交 AD于H,.CH=EH.BC=CD, OCL BD,.OB-ODAD. AD⊥x轴于D,.CE∥x轴，E (2m,)2m×是=8点E在这 个反比例函数的图象上， y A E 、D PI (2)①，四边形ACDE为正方形， .AD=CE,AD垂直平分CE,∴.CH= 2AD.CH=m,AD三，n 号×0m=2(负值舍去)，A(2, 4),C(0,2).把A(2,4),C(0,2)代入 y+,到收2 ②如图，延长ED交y轴于P,连接 PB.'CB=CD,OC⊥BD,点B与点 D关于y轴对称，.|PE一PB|=|PE ·74· 一PD,则点P即为符合条件的点.由 ①知A(2,4),C(0,2),.D(2,0),E (4,2).设直线DE的表达式为y=ax 2a+n=0,,a=1, 十n,. 直线 4a十n=2,n=-2, DE的表达式为y=x一2，当x=0时， y=-2,P(0,-2).故当|PE-PB 最大时，点P的坐标为(0，一2). 第四节二次函数 1.B[解析]，二次函数y=-x2+2x一 3=一(x一1)2十4，.当x>1时，y随x 的增大而减小，当x<1时，y随x的增 大而增大. 2.A[解析]：直线y=x十2m经过第 一、三、四象限，.2m<0.又由抛物线 y=x2十2x十1一m的解析式可知，△= 22一4(1一m)=4m<0,∴.抛物线与x轴 无交点， 3.D[解析]令一x-6=-x2一4x一2，整 理得x2十3x一4=0，解得x1=1,x2= 一4，.直线y=一x一6与抛物线的交 点的横坐标为1，一4.y=一x2一4x一 2=一(x十2)2+2，.抛物线开口向上， 对称轴为直线x=一2，顶点为（一2,2）. 把y=2代入y=一x一6，解得x=一8. 若y1=y2=y3,x1<x2<x8,则-8< x1<-4,x2十x3=-4,.-12<x1十 x2十x3<-8. 4.B[解析]当b=5时，令x(4一x)=5, 整理得x2一4x+5=0,△=（一4）2一4× 5=一4<0，因此点P的个数为0，甲的 说法正确；当b=4时，令x(4一x)=4, 整理得x2一4x十4=0，△=(-4)2一4X 4=0,因此点P有1个，乙的说法正确. 5. 1 [解析]：二次函数y=ax2十c(a≠0) 的图象经过点（一2,1），.4a十c=1, ∴.c=1-4a,∴.ac=a(1-4a)=-4a2+a, .当a=一 1 -8 时，ac大= -1 1 4×(-4)16 6.4√2[解析]点E(2,4),且点E在抛 物线上，∴.a×22=4,得a=1,故抛物线 的解析式为y=x2.又EF⊥y轴，则根 据抛物线的对称轴可知，点F为（一2,4）. .EF=2一（一2）=4，即正方形CDFE 的边长为4.y=4十4=8，即yA=8. 将yA=8代入y=x2得，x=士2√2， xA=2√2，xB=-2√2.故AB=2V2- (-2√2)=4√2. 7.48.8 9.解：(1)设y=kx十b,则 120k十b=60'解 40k+b=20, k=一2， 得 故月销量y(件)关于售价 b=100, x(元/件)的函数关系式为y=一2x十 100,自变量的取值范围是20x40. (2)由题意得，(x-20)(一2x+100)= 400,解得x=30或x=40,即当售价x 为30元或40元时，百货公司销售该商 品的月利润为400元. (3)设百货公司销售该商品的月利润为 元，则w=(x一20)（一2x十100）= 一2(x一35)2十450，故当x=35时，y有 最大值为450元. 10.D[解析]抛物线y=a1x2的对称轴 为直线x=0,抛物线y=a2x2十bx的 对称轴为x=二20，”地物线y门 a1x2与抛物线y=a2x2十bx相交于点 P(一1，m),.由抛物线的对称性可知 M1,m),N(1-2m）,PM=2, MN=- b.:点M是PN的中点， 2=-2,甲6=-2a将P(-1,m) 代入y=a1x2,y=a2x2+bx可知， a=m,a2-b=m,a=az-b, a1=a2-(-2a2),a1=3a22=3. 11.D[解析]由题意.点A（n,y1), B(n十3，y2)在函数y=a(x-m)(x一 m一2)(a≠0，m为常数)的图象上， ∴.y1=a(n-m)(n-m-2),y2=a(n- m+3)(n一m+1).当a>0时，①若 y1<0,.a(n-m)(n-m-2)<0, .(n-m)(n-m-2)<0,.0<n- m<2,.(n-m十3)(n-m+1)>0, ·y2=a(n-m十3)(n-m+1)>0,故 A错误，不合题意；②若y1>0,a(n一 m)(n-m-2)>0,..(n-m)(n一m 2)>0,.n-m<0或n-m>2..(n m+3)(n-m十1)的符号不确定，故B错 误，不合题意；当a<0时，①若y1<0, ∴.a(n-m)(n-m-2)<0,∴.(n-m) (n-m-2)>0,∴.n-m<0或n-m> 2,.(n一m十3)(n一m十1)的符号不 确定.故C错误，不合题意；②若y1>0, .a(n-m)(n-m-2)>0,∴.(n-m) (n-m-2)<0,.0<n-m<2,.(n-m +3)(n-m+1)>0,.y2=a(n-m+ 3)(n一m十1)<0，故D正确，符合 题意。 12.C[解析]A(2-t,),B(t,k)是抛 物线y=x2十bx十c上不同的两点， -名=2-+1=1,6=-2，抛 2 2 物线y=x2-2x十c=(x-1)2+c-1. :抛物线开口向上，对称轴为直线x= 1,.函数在x=1时有最小值c一1.当 x=0或2时，y=c.当0x≤m时， 有c-1≤y≤c,.1≤m≤2. 13.m<-2 1 [解析]：y=ax2-2ax, “抛物线的对称轴为直线x=一2a -2a 1.A(x1y1),B(x2,y2)在二次函数 y=ax2-2ax的图象上，当|x1-1|> x2-1时，y1>y2,抛物线开口向 上.图象上的点C(m,ya),D(m+3, ya)满足y>y4,.m+3<1或1- m>m十3-1，解得m<-2或m< 1 -2m的取值范围是m<一2 14.解：（1)抛物线的对称轴是直线x= b3 2=26=-3. (2),m是抛物线y=x2一3x一1与x 轴交点的横坐标，∴.m2一3m一1=0， .m2=3m十1， M=m-33-m·(m2)2-3 109 109 =m(3m十1)2-33 109 =m(9m2+6m+1)-33 109 _m[9(3m+1)+6m-1]-33 109 =m(33m+10)-33 109 _33(3m+1)+10m-33=m. 109 “m2-3m-1=0,m=3+E或 2 m=3 .当m=3+1时，M> 2 2 ,当m=3-1 3 2 时，M<3 21 15.解：(1)由题意得P(0,1.5),抛物线的 顶，点坐标为(1,2)，设抛物线的解析式 为y=a(x-1)2+2(a≠0).抛物线 y=a(x-1)2+2经过点P(0,1.5), 1.5=a十2，∴.a=一0.5，∴.抛物线的 解析式为y=-0.5(x-1)2+2,即 y=-0.5x2+x+1.5. (2)能.理由如下：当x=2时，y=1.5> AB.当y=0时，-0.5x2+x+1.5=0, 解得x1=-1(舍去)，x2=3.乒乓球在 运行中，高于AB,并落在BC的中点 处，故王同学抛出的乒乓球能投入 箱子. (3)乒乓球不能弹出箱子.理由如下：依 题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式 ·75· 为y=一0.5(x一k)2十1.抛物线 y=-0.5(x一k)2+1的图象经过点 (3,0),.-0.5(3-k)2+1=0,解得 k1=3一√2（舍去），k2=3十√2，∴.弹出 后抛物线解析式为y=一0.5(x一3一 √2)2+1.当x=4时，y=-0.5×(4- 3一√2)2+1=√2-0.5<1，故乒乓球不 能弹出箱子. 6.解：(1)①= ②<③>[解析]由 题意得x2十bx十c=0的两根分别为 x1和x2,x2十bx十c十1=0的两根分 别为x3和x4.由根与系数的关系知 x1十x2=一b=x3十x4,x1x2=c,x3x4= c+1,.(x2-x1)2=(x1十x2)2- 4x1x2=b2-4c.同理（x4-x3)2=b2- 4c-4,.(x2-x1)2>(x4-xa)2.x2- x1>0,x4-x3>0,.x2-x1>x4- xg,x2十xg>x1十x4x1一xg<x2一x4 (2),抛物线y=x2十bx十c(b<0)经 过(1,0)，∴.1+b+c=0,.c=-b-1. 抛物线与x轴有两个不同的交点 .△>0..△=b2-4c=b2-4(-b- 1)=(b十2)2，.b≠-2.2<x2<3, .当x=2时，y<0.当x=3时，y>0. 4+2b+c<0,:c=-b一 1, 9+3b+c>0. 4+2b-b-1<0, 解得-4<b<-3. 9+3b-b-1>0, (36<0,-合>0.当x=-合时， 4c-b2 二6-6·分情况讨论：①当 4 名1时，b≤-2.当x=0时ya =c.当x=1时，y最小=1十b十c,.c -(1+b+c)= 解得6=点：6 9 ≤-26=一铝不特合题意，含去.@ 25 当≤-名<1时，-2<0≤-1.当z b =0时y太a=6,当工=一名时，y4 b3 4 c-c+ 4 16,解得61= 6,=2:-2<6≤-16 3 3 2时，-1<b< 0,当x=1时，y最大位=1十b十c,当x= b b2 2 时y*a=c-4心1+b十c-c+ 9 7 4 解得61=-6=-子 -1C6<06=-2综上所述，6= 3 2 2 第四章三角形 第一节角、相交线与平行线 1.D2.B3.B4.B5.356.B 7.B 8.A9.B 10.B[解析]由题意得，∠ABC=45°， ∠EDF=30°.DF∥AB,∴∠FDB= ∠ABC=45°，.∠EDB=∠FDB 一 ∠EDF=45°-30°=15° 11.B[解析]如图所示. A B N D ,AB∥CD,.∠1=∠AMN=∠2+ ∠3.∠1=80°，∠2=40°，.∠3=40° 12.(1)证明：，∠BNM=∠AND,∠AOE= ∠BNM,,.∠AOE=∠AND,.OE ∥DM. (2)解：AB与底座CD都平行于地面 EF,.AB∥CD,.∠BOD=∠ODC= 30°.，∠AOF+∠BOD=180°， ∴.∠AOF=150°.，OE平分∠AOF, ∠E0F=7∠AOF=75,∴∠BOE3 ∠BOD+∠EOF=105°..OE∥DM, ∠ANM=∠BOE=105. 13.解：(1)如图1所示，过点P作PQ∥ AB,∴.∠EPQ=∠BEP=30°.，AB∥ CD,所以CD∥PQ,∴.∠FPQ= ∠DFP=40°，∴.∠EPF=∠EPQ十 ∠FPQ=30°+40°=70°. E E A B B C C 图1 图2 E A B 图3 (2)∠PEA=∠PFC十∠EPE.理由： 如图2所示，过点P作PN∥AB, .∠PEA=∠NPE.,AB∥CD, .PN∥CD,.∠FPN=∠PFC. .∠NPE=∠FPN+∠EPF, ∴.∠PEA=∠PFC+∠EPE. (3)∠BGP=90+2a.理由：如用3所 示，过点P作PM∥AB,∴.∠BEP十 ∠EPM=180°..AB∥CD,∴.PM∥ CD,.∠FPM=∠CFP=a.同(1)可 知，∠EGP=∠BEG+∠GPM. 又：EG,PG分别是∠BEP和∠EPF 1 的平分线，六∠BEG=2∠BEP, ∠GPM=∠GPF+∠FPM=2∠EPF+ 1 ∠Bcp=2×180+a=90+a 第二节三角形及其性质 1.A2.C 3.D[解析]过A点作AE⊥x轴于E,过 B点作BF⊥x轴于F,如图所示. O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(5,0), ..OE=1,AE=2,BF=3,CF=2,EF= 2,.四边形OABC的面积=S△AOE十 5a=+Sm=号×1X2+号×8×2+ 1 (2+3)×2=9. 2 OE F 4.66 5.15°[解析]延长CD交AB于点F,如 图所示.AE平分∠BAC,DE平分 ∠BDC,∴.∠CAE= 2 ∠BAC,∠CDE= 2∠BDC.:∠BFC是 △ACF的一个外角， ∠BDC是△BDF的一个 外角，∴∠BFC=∠BAC B +∠C,∠BDC=∠B+ ∠BFC,∴∠BDC=∠B+∠BAC+ 1 ∠C=∠BAC+50,÷.∠CDE= ∠BAC+25°.∠AGC=180°-∠C- ∠CAE=140-号∠BAC,∠DGE- ∠AGC=140-号∠BAC:∠E= 180°-∠CDE-∠DGE,.∠E=180° 合∠BAC-2S-140+分∠BAC=15 6.解：(1)AD为边BC上的高，△ABC的 面积为24，号BC·AD=24,BC= 2X24=8,:AE为BC边上的中线， 6 .CE-7 BC-4. (2)∠C=66°，∠B=36°，∴∠BAC= 180°-∠C-∠B=180°-66°-36°= 78,.AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE=合∠aAC=9,:∠ADC ·76· 90°，∠C=66°，.∠CAD=90°-66°= 24°，.∠DAE=∠CAE-∠CAD=39°- 24°=15. 7.解：(1)5<x<11 (2)当x=3时，3十3<8，不构成三角形； 当x=8时，周长为3+8十8=19. 8.C9.A 10.100°[解析]AC=AE,BC=BD,可 设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC= ∠BCD=y°，.∠A=180°-2x°，∠B= 180°-2y°.：∠ACB+∠A+∠B= 180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE= 180°，.∠ACB+(180°-2x)+ (180°-2y°)=180°，180°-(x°+y)= ∠DCE,.∠ACB+360°-2(x°+y)= 180°，.∠ACB+2∠DCE=180°， ∠DCE=40°，，.∠ACB=100° 11.解：(1)如图所示. B (2)15[解析](1)分别作出AB边和 BC边的垂直平分线，与AB和BC边 分别交于点N和点M,连接AM和 CN,点G即为所求作的点.(2)点G 是△ABC的重心，.AG=2MG. ,△ABG的面积等于5cm2, .△BMG的面积等于2.5cm2, .△ABM的面积等于7.5cm2. 又AM是△ABC的中线，∴.△ABC 的面积等于15cm2. 12. 3 [解析]由题意可知，∠E1AD= 台<CAB,∠E,BD-日∠GBD.段 ∠E1AD=a,∠E1BD=B,则∠CAB= 3a,∠CBD=3β.由三角形的外角的性 质得，B=a十∠E1,33=3a十∠C,∠E1= 日∠C月理可求∠B=号∠E,∠B= (3)∠C,…,∠E。=(3）)∠c,即 ∠E.=() 13.解：(1)△DAF的周长为6，.DA+ FA+DF=6.DE,FG分别为AB, AC的垂直平分线，.DA=DB,FA=