第二章 第二节 一元二次方程及其应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习练习册（安徽专版）

第二节一元二 【中考过关】 1.方程x2十4x十3=0的两个根为 () A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=一3 2.关于x的一元二次方程x2一6x+m=0有两 个不相等的实数根，则m的值可能是() A.8.5 B.9 C.10.5 D.11 3.若a是关于x的方程3x2一x一1=0的一个 根，则2024一6a2十2a的值是 () A.2026B.2025C.2023D.2022 4.已知关于x的方程x2一2x一b=0的一个解 是x=一1，则方程的另一个解为 () A.-2B.2 C.-3D.3 5.已知方程x2一4x=0的实数解是a,b,且 a<b,则a= 6,若分式生红的值为0，则x的值是 7.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉 提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之 云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译 文：“一个矩形田地的面积等于864平方步， 且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少 步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程 为 8.“杂交水稻之父”—袁隆平先生所率领的 科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩 产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩 产量1008公斤的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长 率相同，求亩产量的平均增长率； 次方程及其应用 (2)按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望 第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请 通过计算说明他们的目标能否实现. 【中考突破】 9.(2024·舒城县模拟)一元二次方程ax2+ bx+c=0满足b=2a,且方程有一个实数根 为1，则另一个根是 () A.1 B.-1C.0 D.-3 10.(2024·阜阳模拟)定义新运算：a☒b= ab-a,如2☒(-1)=2×(-1)-2=-4， 则方程x⑧(x十2)=6☒x的解是() A.x1=0,x2=4 B.x1=2,x2=3 C.x1=-2,x2=-3 D.x1=2+6,x2=2-√6 11.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚 教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全 国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用 黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分 为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割 点，即BE2=AE·AB.已知AB为2m,则 线段BE的长为 m. D B 12.(2024·安徽三模)已知关于x的一元二次 方程x2一kx十k2=3有解. (1)当k=0时，方程的解为 (2)若m是该一元二次方程的一个根，令 y=一m2十m十2，则y的最大值和最 小值的和为 13.若(x2+y2)(x2+y2一4)=5，则x2+y2的 值为 14.已知关于x的一元二次方程x2+(2m一 1)x+m2=0有两个实数根x1和x2. (1)求实数m的取值范围； (2)当x一x=0时，求m的值. 15.某超市销售某种冰箱，每台进货价为2500 元，提高进价的16%后的标价为定价.市场 调研表明： 当以定价为销售 当销售价在定价基础 价时，平均每天 上降低50元时，平均 人能销售8台。 每天能多售出4台。八 (1)若每台降价150元，则每天销售量为 台； (2)该超市要想使这种冰箱的销售利润平 均每天达到5000元，每台冰箱的售价 应为多少元？ 【核心素养】 16.[数学建模]如图是一块矩形菜地ABCD, AB=am,AD=bm,面积为Sm2.现将 边AB增加1m. B B 2 D A b米2→ 图1 图2 (1)如图1，若a=5,边AD减少1m,得到的 矩形面积不变，则b的值是 (2)如图2，若边AD增加2m,有且只有一 个a的值，使得到的矩形面积为 2Sm2,则S的值是 0.n=-18.又.2m=8+n,∴.2m= 8十（一18），解得m=-5,.∴.-5-1=a, 即a=一6. (3)解方程组得 x=3p一9'又：点B y=2q, m-1=√3p-q, 是“爱心点”，满足 n+2 2 =2q, m=5p-g+1,:2m=8+n, n=4q-2. ∴.2V3p-2q+2=8+4q-2,整理得 2W3p-6q=4.,p,q是有理数，.p=0, 2 -6q=4,p=09=-3 12.解：(1)9060 (2)① 56 ,4= 5 ②.01=4（千米/分钟 02 6 4.8(千米/分钟).4×90=360（千 米)，.A与B站之间的路程为360千 米.360÷4.8=75（分钟），.当t= 100时，G1002次列车经过B站.由题 意可知，当90≤t≤110时，D1001次列 车在B站停车，'.G1002次列车经过B 站时，D1001次列车正在B站停车，当 |d1一d2|=60时，分四种情况： (i)当25≤t<90时，d1>d2, .|d1-d2|=d1-d2,∴.4t-4.8(t- 25)=60,解得t=75; (i)当90≤t≤100时，d≥d2, .d1-d2|=d1-d2,.360-4.8(t 25)=60,解得t=87.5,不合题意， 舍去； (im)当100<t≤110时，d1<d2, .d1-d2|=d2-d1,.4.8(t-25) 360=60,解得t=112.5,不合题意， 舍去； (iV)当110<t150时，d1<d2, .|d1-d2|=d2-d1,.4.8(t-25)- [360+4(t-110)]=60,解得t=125. 综上所述，当t=75或125时， |d1-d2|=60. 第二节一元二次方程及其应用 1.D2.A 3.D[解析].a是关于x的方程3x2一x 1=0的-个根，.3a2-a=1,.2024- 6a2+2a=2024-2(3a2-a)=2024- 2×1=2022. 4.D5.06.27.x(x-12)=864 8.解：(1)设亩产量的平均增长率为x,依 题意得，700(1十x)2=1008,解得x1= 0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍 去).故亩产量的平均增长率为20%. (2)1008×(1+20%)=1209.6(公斤). .1209.6>1200,.他们的目标能 实现. 9.D[解析]设方程的另一根为t,根据根 与系数的关系得1+1=-么.：6=2a, a 1十1=-2=一2，解得4=-3，即方 a 程的另一个根为一3. 10.B[解析]根据题意可得，x⑧(x+2)= x(x+2)-x,6☒x=6x-6,∴.x(x+ 2)-x=6x-6,整理得x2-5x十6= 0,解得x1=2,x2=3. 11.一1十√5[解析]设BE=x,则AE= (2-x).BE2=AE·AB,∴.x2= 2(2-x),即x2+2x-4=0,解得x1= -1十√5，x2=-1-√5（舍去），∴.线段 BE的长为(-1+√5)m. 12.(1)x1=√5，x2=-√5(2)2 [解析](1)当=0时，则x2=3,解得 x1=√3，x2=一√3.(2)关于x的一 元二次方程x2一kx十k”=3有解， .k2一4(k2一3)≥0，解得k2≤4.若m 是该一元二次方程的一个根，则m2 km+k2=3,.-m2+km=k2-3, y=-m2+km十k2=2k2-3.k2 的最大值为4，当2取最大值时，y取 最大值，y的最大值为2×4-3=5. 易知y的最小值为一3，∴y的最大值 和最小值的和为2. 13.5[解析]设x2十y2=t,原方程等价于 t(t-4)=5,即t2-4t-5=0,解得t1= 5,t2=-1.x2+y2≥0，.x2+y2=5. 14.(1)由题意有△=(2m-1)2-4m2≥0， 解得m≤子，即实数m的取位范国是 1 m≤4 (2)由x1一x2=0得(x1+x2)(x1一 x2)=0,若x1十x2=0,即-(2m-1)= 1 1、1 1 0,解得m=2“2>4心m=2不 合题意，舍去.若x1一x2=0,即x1=x2, 六△=0，由（)知m=4故当x-x2= 1 0时，m=4· 15.解：(1)20 (2)若按定价销售，则每天销售利润为 [2500×(1+16%)-2500]×8= 3200(元)，3200<5000，∴.该超市要 想使这种冰箱的销售利润平均每天达 到5000元，必须降价销售.设每台冰 箱降价x元，则售价为[2500×(1十 ·70· 16%)一x]元，每天销售量为 (8+品×4)台.由题意，得[2500× 1+16%)-x-250](8+0×4）= 5000,整理得x2一300x+22500=0, 解得x1=x2=150,.2500×(1+ 16%)-x=2900-150=2750,故每 台冰箱的售价应为2750元. 16.(1)6(2)6+4√2 [解析](1)根据题意，起始长方形的面积 S为abm,变化后长方形的面积为 [(a+1)(b-1)]m2.:a=5,边AB增 加1m,边AD减少1m,得到的矩形面 积不变，.(5+1)(b一1)=5b,解得b= 6.(2)根据题意，变化后长方形的面积为 [(a+1)(b+2)]m,∴.2S=(a+1) 6+206=82s=a+(3+2, 整理得2a2+(2一S)a十S=0.,有且 只有一个a的值，.△=b2-4ac= (2-S)2-8S=0,解得S1=6+4√2， S2=6-4√2（舍去）. 第三节分式方程及其应用 1.C[解析]：关于x的方程2a-z 1 3 的解是x=1。 2a--3,解得a=一1， =1 经检验a=一1是方程的解. 2.D3.B 4.解：原方程两边同乘（x一1)，去分母得 3=5(x-1)-3x,去括号得3=5x-5一 3x,移项、合并同类项得一2x=一8，系数 化为1得x=4.检验：将x=4代入(x一1) 中，得4一1=3≠0，则原分式方程的解为 x=4. 5.解：设手电筒的单价是x元，则台灯的单 240 90 价是(x十50)元，由题意得 解得x=30,经检验，x=30是所列方程 的解，且符合题意.故手电筒的单价是 30元. 2 6.D [解桥]由2-2得22x+1)- mx,去括号，得4x十2=mx,移项、合并同 类项，得(4一m)x=一2.方程无解， 2 4m=0或x=二2习 .m=4或m=0. 7.D 1 2 [解析]根据题意，得，1十1 x+1'x 2红+1，化为整式方程得x十x十1= (2x+1+D,解得x=-合：检验：