第四章 第四节 图形的相似-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

第四节 图形的相似 知识网络 基本性质：如果8=S b d ,则根据等式的基本性质，两边同时乘bd得① 例 合比性质：如果= b d ,则根据等式的基本性质，两边同时加上1或一1得② 性 质 等比性质：如果号 ==(6十d十…十n≠0)，则③ ,运用这个性质时， n 比例线段 定要注意条件 及其性质 黄金分割：把线段AB分成两条线段AP,PB(AP>PB),如果AP是线段PB和AB的 ④ ,则线段AP把线段AB黄金分割，点P叫线段AB的黄金分割点 平行线分线段成比例定理及其推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延 长线)，所得的对应线段成比例 的相 ra.两角对应相等的两个三角形相似 b.⑤ 相似三角形 c.三边对应成比例的两个三角形相似 的判定方法 d.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边 相似三角形的 和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 判定和性质 相似三角形对应边成比例，对应角相等 相似三角相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 形的性质相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的⑥ 基础考点讲练 名师讲解Q, 【答案】D 典例2 典例1 如图，点E是□ABCD的 如图，直线11亿2亿3，直线AC和DF被l1,l2,l3所 截，AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为 ( 边AD上的一点，且DE AE A.2 A 2,连接BE并延长交CD B.3 B E C.4 的延长线于点F.若DE=3,DF=4,则□ABCD n号 的周长为 A.21 B.28 C.34 D.42 【解析】 根据平行线分线段成比例定理得出比例 【解析】根据平行四边形的性质得，AB∥CD, 式，代入求解即可.直线，，B DE EF 再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求 AB-5.BC-6,EF-45-DE “6=4DE= 10 得AB,AE,进而根据平行四边形的周长公式求 第四节图形的相似 81 得结果.四边形ABCD是平行四边形，.AB∥ 当堂检测 CF,AB=CD,△ABE△DFE,EE DE DF 1.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似，且 DE=3,DF=4,AE=6,AB=8,AD= 1 相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长 之比是 ) AE+DE=6+3=9,∴.平行四边形ABCD的 A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 周长为(8+9)×2=34. 2.(2024·南充)如图，已知线段AB,按以下步 【答案】C 骤作图：①过点B作BC⊥AB,使BC= 典例3 已知：如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边 2AB,连接AC,②以点C为圆心，以BC长 AB,AD上，BE=DF,CE的延长线交DA的延长 为半径画弧，交AC于点D;③以点A为圆 线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H. 心，以AD长为半径画弧，交AB于点E.若 (1)求证：△BEC∽△BCH; AE=mAB,则m的值为 (2)如果BE2=AB·AE, A.5-1B.5-2 C.5-1 D.√5-2 求证：AG=DF 2 2 【解析】(I)证明∠BCE=∠H即可解决问题. (2)利用平行线分线段成比例定理，结合已知条 件即可解决问题。 【答案】证明：(1)·四边形ABCD是菱形， ∴.CD=CB,∠D=∠B,CD∥AB.,DF=BE 第2题图 第3题图 ∴△CDF≌△CBE(SAS),.∠DCF=∠BCE. 3.(2024·淅江)如图，在平面直角坐标系中， .CD∥BH,∴.∠H=∠DCF,.∠BCE=∠H, △ABC与△A'BC'是位似图形，位似中心为 .∠B=∠B,∴.△BEC∽△BCH. 点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2), 则点B(一2,4)的对应点B'的坐标为( (2)BE =AB :AE,AB-EB:AG//BC, A.(-4,8) B.(8,-4) .AE AG.BE-BGDF-BE.BC C.(-8,4) D.(4,-8) BE BC,.. AB 4.(2024·辽宁)如图，AB∥CD,AD与BC相交 AB,.'.BE=AG=DF,AG=DF. 于点O,且△AOB与△DOC的面积比是1：4， …方法急结 若AB=6,则CD的长为 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形 中已有的公共角、对顶角等隐含条件，以充 分发挥基本图形的作用.寻找相似三角形的 一般方法是通过作平行线构造相似三角形； 或依据基本图形对图形进行分解、组合；或 作辅助线构造相似三角形. 第4题图 第5题图 82 第四章 三角形 5.(2024·河北)如图，△ABC的面积为2，AD 的四等分点，点A是线段BB1的中点， 为BC边上的中线，点A,C1,C2,C3是线段 (1)△AC1D1的面积为 CC4的五等分点，点A,D1,D2是线段DD3 (2)△B1C4D3的面积为 安徽十年精选 考点相似三角形的判定与性质 3.(2020·安徽)如图1，已知四边形ABCD是矩 1.(2023·安徽)如图，点E在正方形ABCD的 形，点E在BA的延长线上，AE=AD.EC与 对角线AC上，EF⊥AB于点F,连接DE并 BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB. 延长，交边BC于点M,交边AB的延长线于 (1)求证：BD⊥EC; 点G.若AF=2,FB=1,则MG= (2)若AB=1,求AE的长； D (3)如图2，连接AG,求证：EG-DG=√2AG. B A.23 B36 C.5+1 2 D.√10 图 图2 2.(2021·安徽节选)如图1，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD,点E在边BC上，且 AE∥CD,DE∥AB,作CF∥AD交线段AE 于点F,连接BF. (1)求证：△ABF≌△EAD; (2)如图2，若AB=9,CD=5,∠ECF= 4.(2019·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ∠AED,求BE的长； 90°，AC=BC.P为△ABC内部一点，且 (3)如图3，若BF的延长线经过AD的中点 ∠APB=∠BPC=135°. M,求瓷的值。 (1)求证：△PAB∽△PBC; (2)求证：PA=2PC; 金 (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距 离分别为h1,h2,hg.求证：h2=h2·hg 第四节 图形的相似 83 全国真题汇编 考点① 比例的性质 4.(2024·青海)如图，AC和BD相交于点O, 1.(2024·泸州)宽与长的比是5-1 请你添加一个条件 ,使得△AOB∽ 的矩形叫 2 △COD. 做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的 5.(2024·广州)如图，点E,F分别在正方形 美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6,CF= 翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点E, 2.求证：△ABE∽△ECF. 则sin∠DAE的值为 ( 1 B.2 C. 3 5 D. 25 5 B 第1题图 第2题图 2.(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的 考点③相似三角形的判定与性质 规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字 6.(2024·威海)如图，在□ABCD中，对角线 “晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的 AC,BD交于点O,点E在BC上，点F在 端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且 CD上，连接AE,AF,EF,EF交AC于点G. ABNP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄 下列结论错误的是 () 金分制点C处且S-5若NP-2em A器-铝则E球aD 则BC的长为 cm.(结果保留根号) B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则 考点②平行线分线段成比例 EF∥BD 3.(2024·湖南)如图，在△ABC中，点D,E分 C.若EF∥BD,CE=CF,则∠EAC=∠FAC 别为边AB,AC的中点.下列结论中，错误 D.若AB=AD,AE=AF,则EF∥BD 的是 ( ) B A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC 1 C.BC=2DE D.S△ADE= D G 第6题图 第7题图 7.(2024·深圳)如图所示，四边形ABCD, DEFG,GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD= 10,S正方形GH=1,则正方形DEFG的边长可 第3题图 第4题图 以是 .(写出一个答案即可) 84 第四章 三角形 8.(2024·上海)如图所示，在矩形ABCD中，E 10.(2024·湖北)在矩形ABCD中，点E,F分 为边CD上一点，且AE⊥BD. 别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿EF折 (1)求证：AD2=DE·DC; 叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B (2)F为线段AE延长线上一点，连接CF,若 的对应点为点G,PG交BC于点H. EF=CF-BD,求证：CE=AD. (1)如图①，求证：△DEP∽△CPH; (2)如图②，当P为CD的中点，AB=2, AD=3时，求GH的长； (3)如图③，连接BG,当P,H分别为CD, BC的中点时，探究BG与AB的数量关 系，并说明理由。 E D 图① 图② 9.(2024·甘孜州)如图，在四边形ABCD中， ∠A=90°，连接BD,过点C作CE⊥AB,垂 H G 足为E,CE交BD于点F,∠1=∠ABC. 图③ (1)求证：∠2=∠3； (2)若∠4=45°. ①请判断线段BC,BD的数量关系，并证 明你的结论； ②若BC=13,AD=5,求EF的长， 7 2 D B 第四节图形的相似 85 11.(2024·武汉)问题背景：如图1，在矩形AB 12.(2024·成都)数学活动课上，同学们将两个 CD中，点E,F分别是AB,BC的中点，连 全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个 接BD,EF,求证：△BCD∽△FBE; 顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转 问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AD∥ 来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片 BC,∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F ABC和ADE中，AB=AD=3,BC=DE= 在边BC上，AD=2CF,EF与BD交于点 4,∠ABC=∠ADE=90°. G,求证：BG=FG； 【初步感知】 问题拓展：如图3，在“问题探究”的条件下， (1)如图①，连接BD,CE,在纸片ADE绕点 EG BD 连接AG,AD=CD,AG=FG,直接写出 GF A旋转过程中，试探究CE的值： 的值 【深入探究】 (2)如图②，在纸片ADE绕点A旋转过程 中，当点D恰好落在△ABC的中线BM 的延长线上时，延长ED交AC于点F, 图1 图2 图3 求CF的长； 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究 C,D,E三点能否构成直角三角形.若 能，直接写出所有直角三角形CDE的面 积；若不能，请说明理由， E 图① 图② 备用图 86 第四章 三角形,.△ABE≌△ACD(SAS),.AD= AE..AB=AB,∠B=∠B,AD=AE, ∠BAD≠∠BAE,.△ABD和△ABE 是一对“伪全等三角形”.同理可得， △ABD和△ACD是一对“伪全等三角 形”.△ACD和△ACE是一对“伪全等 三角形”.△ABE和△ACE是一对“伪 全等三角形”.所以题图中的“伪全等三 角形”共有4对 2.C[解析]如图，连接AD..∠BAC= 90°，AB=AC=6,D为边BC的中点， .AD=BD=CD,∠BAD=∠C=45°， S△ABC= 2X6×6=18.在△ADE和 (AD=CD, △CDF中，∠BAD=∠C,.△ADE≌ AE=CF, △CDF(SAS),.S△ADE=S△cDF,.四边 形AEDF的百积=SAc=号SMe=g. B 3.C[解析]Rt△DAH≌Rt△ABE, ..DH=AE=4,AH=BE=3,..EH= AE一AH=4一3=1..四边形形EF GH是正方形，.∠DHE=90°，∴.DE= √DH+EH=√4+1=√17. 4.A[解析]如图，过点F作DC延长线 的垂线，垂足为点H,由旋转得EF= EA,∠AEF=90°.，·四边形ABCD是 正方形，∴.∠D=90°，DC∥AB,DA= DC=BC,设DA=DC=BC=1..∠1十 ∠DEA=∠2+∠DEA,∴.∠1=∠2.又 ∠D=∠H,EF=EA,'.△ADE≌ △EHF,.DE=HF,EH=AD=1,设 DE=HF=x,则CE=DC-DE=1一 x,..CH=EH-CE=1-(1-x)=x, .HF=CH=x,又∠H=90°， ∠HCF=45,CP==2 .DC∥AB,.∠G=∠HCF=45°，同理 可求CG=√2BC=√2，.FG=CG-CF= E-Ex=厄(1-x),·照 CE 0--E. 1-x D B G 5.DE=EF或AD=CF(答案不唯一). [解析]，CF∥AB,.∠A=∠ECF, ∠ADE=∠CFE,∴.添加条件DE= EF,可以使得△ADE≌△CFE(AAS), 添加条件AD=CF,可以使得△ADE≌ △CFE(ASA)(答案不唯一). 6.(1)证明：在△ABC和△ADE中， (BC=DE, ∠B=∠D,.△ABC≌△ADE(SAS). AB-AD, (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE, .AC=AE,∠BAC=∠CAE=60°， ∴.∠AEC=∠ACE.:∠AEC+ ∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE= 120°，.∠ACE=60°，.∠ACE的度数 是60°. 7.证明：，点O是AB的中点，.AO= OB.四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,∴.∠E=∠BCO.又∠AOE= ∠BOC,∴.△AOE≌△BOC(AAS), .'.AE=BC. 8.证明：AB是∠CAD的平分线， .∠CAB=∠DAB.∴.在△ABC和 (AC=AD, △ABD 中， ∠CAB=∠DAB, AB=AB, ∴.△ABC≌△ABD(SAS),.∠C=∠D. 9.(1)证明：：AD=BE,AD+BD=BE +BD,即AB=DE.在△ABC和 (AB=DE, △DEF中， AC=DF,△ABC≌ BC=EF, △DEF(SSS). (2)解：∠A=55,∠E=45°，由(1)可 知，△ABC≌△DEF,∴.∠A=∠FDE= 55°，∴∠F=180°-（∠FDE+∠E)= 180°-(55°+45)=80° 10.证明：：△ABC为等边三角形， .∠ABD=∠C=60°，AB=BC.在 (AB=BC, △ABD和△BCE中，∠ABD=∠C, BD=CE, ∴.△ABD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE. 11.证明：(1)点D为BC的中点，BD= ·23· CD..BE∥AC,∴.∠EBD=∠C,∠E= ∠CAD.在△BDE和△CDA中， ∠EBD=∠C, ∠E=∠CAD,.△BDE≌△CDA BC=CD, (AAS). (2)点D为BC的中点，AD⊥BC, ∴.直线AD为线段BC的垂直平分线， ∴.BA=CA.由(1)可知，△BDE≌ △CDA,∴.BE=CA,.BA=BE. 12.解：如解图，过点C作CH⊥BA交BA 的延长线于点H.过点A作AG⊥CD 于点G,过点B作BK⊥CD于点K,且 AB//CD. 十东 ∴.四边形AHCG,ABKG都是矩形， ..GK=AB=100,CG=AH,CH= AG=BK,CH∥AG∥BK.由题意可得， ∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD= ∠CBK=21.34°，∴.∠ACH=∠CAG= 18.17°，∠BCH=∠CBK=21.34°. ,'∠AGC=∠BKD=90°，.△AGC≌ △BKD,.CG=DK,设AH=x, AH CH=y, 'CH =工=tan∠ACH= y HB tan18.17°≈0.33，即x=0.33y,CH x+100 y =tan∠BCH=tan21.34°≈ 0.39,即x+100=0.39y,∴.0.33y+ 5000. 100=0.39y,,.y= 3…x=0.33X 5000 500,.CG=DK=550, 3 .CD=550×2+100=1200(m),∴.长 江口的宽度CD约为1200m. 第四节 图形的相似 知识网络 ①ad=bc ②a±b=c±d b d 十c十十m=a ③ +d+…+nb ④比例中项 ⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似⑥平方 当堂检测 1.B 2.A[解析]令AB的长为2a,则BC= 号AB=a,在R:△ABC中，AC = √(2a)2+a=√5a.CD=CB,AE= AE 5-1 AD,AE=(5-1)a,则AB 2 √5-1 ·m的值为2 3.A[解析]△ABC与△A'B'C是位 似图形，位似中心为点O,点A(一3,1) 的对应点为A'(一6,2)，.△ABC与 △A'BC的相似比为1：2.，点B的坐 标为（一2,4），.点B的对应点B′的坐 标为(-2×2,4X2),即(-4,8). 4.12[解析]AB∥CD,.△AOBc∽ ADOCS 是AB=6,∴品=2DC=12. 1 5.(1)1(2)7 [解析](1)如图，连接B1D1,B1D2, BC2,B1Ca,C:D3.△ABC的面积为 2,AD为BC边上的中线，，S△AD= 5w=号=×2=1.：点A, C1,C2,Cg是线段CC4的五等分点， ..AC=AC=CC2=C2C3=CaC4= 号C.:点AD,D,是段段DD,的四 等分点，.AD=AD1=D1D2=D:D3= DD:点A是线段BB的中点， AB=AB:=号BB.在△MC,D布 AC=AC, △ACD 中，∠CAD1=∠CAD, AD=AD, ∴.△AC1D1≌△ACD(SAS),.S△C,D,= SAACD-1. B (2)在△AB1D1和△ABD中， AB=AB, ∠B1AD1=∠BAD,∴.△AB1D1≌ AD,=AD, △ABD(SAS),.S△A,D,=SAABD=1, ∠B1D,A=∠BDA.,∠BDA十 ∠CDA=180°，∴.∠BD1A+∠C1D1A= 180°，.C1,D1,B1三点共线， SAAB C =SAAB,D +SAACD=1+1= 2.AC1=CC2 CaCs C:C., …S△，C,=4S△8，G,=4X2=8.AD1= D:D:=D:Ds:SAAB D =1,SAABD= 3S△A,巴1=3×1=3.在△ACD,和 AD: △ACD中，C三3=AD∠C,AD,= ∠CAD,∴.△C3AD,n△CAD, .Sc,9= C)°=3=9，sasa 9SACAD=9X1=9.AC1 C:Cz= 4 C:C3=C:CSAACD=3SAC4D= 号×9=12，SamA=S64十 SaA,D3-S△，C4=12+3-8=7, .△B1C4D3的面积为7. 安徽十年精选 1.B[解析]在正方形ABCD中，DC= AB=AF+FB=2+1=3,ABC= ∠CBG=90°.：EF⊥AB,∴EF∥BC, 铝-铝-兰由C∥aG可得 AnRO△GAE,:器-器= DC=AB=3,.GA=6,.BG=3, .BG=DC.又∠DCM=∠GBM=90°， ∠DMC=∠BMG,∴.△DCM≌△GBM (AAS).CM=BM=.在R△BGM 中，由勾殷定理，得MG=3,5 2· 2.(1)证明：.AE∥CD,AD∥CF,.四边 形AFCD是平行四边形，，AF=CD. ,AE∥CD,DE∥AB,∠ABC= ∠BCD,.∠DEC=∠ABC=∠BCD= ∠AEB,∠BAF=∠AED,.AB=AE, DE=CD=AF,∴.△ABF≌△EAD. (2)解：由(1)知△ABF≌△EAD,,∴.BF= AD.四边形AFCD为平行四边形， ..FC=AD,.FC=FB,../FBE= ∠ECF=∠AED=∠BAE.又∠AEB= ∠BER,△MABE∽△BFE,÷ BEBE=AE·EF.AE=AB= E 9,.'.EF=AE-AF=AE-CD=4, .BE=6. ·24· (3)易证△ABED△DEC,BE AB ·ECCD1 解法一：如图1，作MN∥DE,交AE于 点N,则AN=ZAE,MN=合DE= 2CD.:AB/∥DE,/MN,:△ABF≌ △NMF,且 AF AB 2AB AF FN MN CD ,即AN-AF 2AB…①.设AF=a,EF=b,则AE=AB C =a十b,CD=ED=AF=a,∴.AN= 合AE=士，①式可化 a十b -a 2 2(a+b ,整理得b2=2a2,即b=√2a, a BE AB ·EC CD -a+b-2+1. a 解法二：如图2，延长BM,交ED的延长 线于点N,则∠ABM=∠N.又 '∠AMB=∠DMN,AM=DM, .△ABM≌△DNM,,'.AB=DN, AB/NE,·△ABFO△ENF,Ag NE AF AB CD FE,即AB+CDAB-CD D…②，不妨 设AB=m,CD=1,则@式可化为n十 一整理得m一2m一1=0，解得m 1 =√2+1（负值舍去），即 AB EC CD =2+1. E 图1 图2 3.(1)证明：四边形ABCD是矩形，点E 在BA的延长线上，∴.∠EAF=∠DAB= 90°.又AE=AD,AF=AB,∴.△AEF≌ △ADB(SAS),.∠AEF=∠ADB, ∴.∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD= 90°，即∠EGB=90°，故BD⊥EC. (2)解：，四边形ABCD是矩形，.AE∥ CD,∴.∠AEF=∠DCF,∠EAF= ∠CDF,.△AEF ADCF,·0E DF,即AE·DF=AF·DC.设AE= A AD=a(a>0),则有a(a一1)=1，化简 得a2-a-1=0,解得a=1+5 2 1-√5 2 (舍去)，AE=1+5 2 (3)证明：如图，在线 段EG上取点P,使 得EP=DG.在 △AEP与△ADGE A B 中，AE=AD,∠AEP=∠ADG,EP= DG,.△AEP≌△ADG(SAS),∴.AP= AG,∠EAP=∠DAG,.∠PAG= ∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP= ∠DAE=90°，.△PAG为等腰直角三角 形，，∴.EG一DG=EG一EP=PG= 2AG. 4.证明：(1)在△ABP中，∠APB=135°， .∠ABP+∠BAP=45°.又.△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=45°，即 ∠ABP+∠CBP=45°，∴.∠BAP= ∠CBP.又.∠APB=∠BPC=135°， .△PABc∽△PBC. (2)方法一：由(1)知△PAB刀△PBC, 腮0-，于路 PA PB PB P PC=2,即PA-2PC. 方法二：，∠APB=∠BPC=135°， .∠APC=90°..∠CAP<45°， ,∠ACP>45°，故AP>CP.如图1，在 线段AP上取点D,使AD=CP. .∠CAD+∠PAB=45°，且∠PBA+ ∠PAB=45°，∴.∠CAD=∠PBA.又 ,∠CBP+∠BCP=∠CBP+∠PBA= 45°，∠PBA=∠BCP,..∠CAD= ∠BCP.,AC=CB,∴.△ADC≌ △CPB(SAS),∴.∠ADC=∠CPB= 135°，.∠CDP=45°，.△PDC为等腰 直角三角形，，CP=PD.又，AD= CP,.'.PA=2PC. (3)如图2，过点P作边AB,BC,CA的 垂线，垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1, PR=h,PS=h.在R△CPR中，CR PR tan∠PCR=tan∠CAP= 1 AP =2,即h,=2h,又△PAB0 △PC,且怨-原会E,即，= .AB √2h2,于是h=h2·hg 图1 图2 全国真题汇编 1.A[解析]由题知，令AD=BC=(5 1)a,AB=CD=2a,由翻折可知， ∠EAC=∠BAC.,四边形ABCD是矩 形，.AB∥CD,∴.∠DCA=∠BAC, .∠DCA=∠EAC,.AE=EC.令DE= x,则AE=EC=2a-x.在Rt△ADE 中，[(5-1)a]+x2=(2a-x)2,解得 52D服=5AB=2a 62。-55。 2a.在Rt△DAE中， 5-1 sin∠DAE=DE_ 25 AE5-5 51 2.(5-1)[解析]，四边形MNPQ是 正方形，.∠N=∠P=90°.又AB∥ NP,.∠BAN+∠N=180°，∴.∠BAN= 90°，.四边形ABPN是矩形，AB= NP=2m又%-6，c- AB (√5-1)cm. 3.D[解析]，点D,E分别为边AB,AC 的中点，.DE是△ABC的中位线， .DE∥BC,BC=2DE,故A,C选项不 符合题意.·DE∥BC,.△ADEC∽ △ABC,故B选项不符合题意. G△ADEO△ABC,SAAE=DE BC 子周S6a=号5收D老须释合 1 题意 4.∠A=∠C(答案不唯一，如∠B=∠D 或AB∥CD) 5.证明：BE=3,EC=6,CF=2,∴.BC= 3十6=9.，四边形ABCD是正方形， AB 六AB=BC=9∠B=∠C=90.“CE= 号---， .△ABE△ECF. 6.D[解析]四边形ABCD是平行四边 ·25· 形，.AD=BC,AB=CD.若 CE AD CF AB” 即 - CE C·又∠ECF=∠BCD ∴.△CEF∽△CBD,.∠CEF= ∠CBD,.EF∥BD,故A选项正确.若 AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,'.CA是 ∠BCD的角平分线，∴.∠ACB ∠ACD.,AD∥BC,∴.∠DAC= ∠ACB,·∠DAC=∠DCA,,.AD= DC,.四边形ABCD是菱形，∴.AC BD.在Rt△ACE和Rt△ACF中， AE=AF, ∴.Rt△ACE≌Rt△ACF AC=AC, (HL),.CE=CF.又AE=AF, ∴AC⊥EF,.EF∥BD,故B选项正 确..CE=CF,∴.∠CFE=∠CEF. .EF∥BD,∴.∠CBD=∠CEF,∠CDB= ∠CFE,.∠CBD=∠CDB,.CB= CD,.四边形ABCD是菱形，.AC BD.又EF∥BD,∴.AC⊥EF.CE= CF,∴.AC垂直平分EF,∴.AE=AF, ,.∠EAC=∠FAC,故C选项正确.若 AB=AD,则四边形ABCD是菱形，当 AE=AF,且BE=DF时，可得AC垂 直平分EF.AC⊥BD,∴.EF∥BD,故 D选项不正确. 7.2(答案不唯一)[解析]：S正才卷ABcD= 10,S正#GHw=1,.AD=√/10，GJ=1, '.1<DG<√10，.正方形DEFG的边 长可以是2（答案不唯一）. 8.证明：(1)，四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠ADE=90°，AB=DC, .∠ABD+∠ADB=90°.AE⊥BD, .∠DAE+∠ADB=90°，∴.∠ABD= ∠DAE..∠BAD=∠ADE=90°， △ADE∽△BAD,:AP = DE BA AD' .'.AD=DE.BA..'AB=DC,.'.AD= DE·DC. (2)如图，连接AC,交BD于，点O.四 1 边形ABCD是矩形，OA=OD=2BD, .∴.∠ADE=90°，.∠DAE+∠AED= 90°.，AE⊥BD,.∠DAE+∠ADB= 90°，∴.∠ADB=∠AED.∠FEC= ∠AED,∴.∠ADO=∠FEC.,EF=CF 3BD,∴OA=OD=EF=CP, '.∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE ,∠ADO=∠FEC,∴∠ADO=∠OAD ∠FEC=∠FCE.在△ODA和△FEC ∠ODA=∠FEC, 中，∠OAD=∠FCE,.△ODA≌ OD=FE, △FEC(AAS),.CE=AD 9.(1)证明：CE⊥AB,∠CEB=90°= ∠A,∴.∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC= 90°..∠1=∠ABC,∴.∠2=∠3. (2)解：①BC=BD.理由如下：设∠2= ∠3=x,∴.∠BFE=90°-x=∠DFC. .∠4=45°，.∴.∠CDB=180°-45° (90°-x)=45°+x.:∠BCD=∠4+ ∠2=45°+x,.∠BCD=∠CDB, .BC=BD. ②，BD=BC=13,AD=5,.AB= √BD2-AD=√169-25=12.BC= BD,∠A=∠CEB,∠2=∠3， ∴.△ADB≌△EBC(AAS),∴.BE= AD=5..∠A=∠CEB,∠3=∠3， :.△EFB∽△ADB,AD-BA5 EF BE EF E-器 5. 10.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=∠C=90°，.∠DPE+ ∠DEP=90°.∠EPH=∠A=90°， ∴.∠DPE+∠CPG=90°，∴.∠DEP= ∠CPG,.△DEPp△CPH. (2)解：四边形ABCD是矩形，∴.CD= AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D ∠C=90°.P为CD中，点，.DP CP=2X2=1.设EP=AE=x, .ED=AD一AE=3一x.在Rt△EDP 中，EP2=ED2+DP2,即x2=(3-x)2+ 1,解得x=号EP=AE=号， BD=3-=8-号=子南1)知 4 △DEPACPH8S-3P 3 解得PH=是：PG=AB=2, 3 :GH-PG-PH- (3)解：AB=√6BG.理由如下：如解图， 延长AB,PG交于，点M,连接AP. H C ,点E,F分别在边AD,BC上，将矩 形ABCD沿EF折叠，使，点A的对应 点P落在边CD上，点B的对应点为 G,∴.AP⊥EF,BG⊥直线EF,∴.BG∥ AP..AE=EP,.∠EAP=∠EPA, .∠BAP=∠GPA,∴.△MAP是等腰 三角形，.MA=MP.,P为CD中 点，∴.设DP=CP=y,∴.AB=PG= CD=2y.H为BC中点，.BH= CH..∠BHM=∠CHP,∠CBM= ∠C=90°，∴.△MBH≌△PCH (ASA),..BM=CP=y,HM=HP, .'MP=MA=MB+AB=3y,..HP- 合MP=号.在R△PCH中，CH= 3 VPH-PC=5、 F2y,…BC=2CH= √5y,.AD=BC=5y.在Rt△APD 中，AP=WAD2+PD2=√6y..BG∥ AP,△BMGn△AMP,AP-AM BG BM …提是6 BG=6 1 .AB=√6BG 1.问题背景证明：E,F分别是AB和 BC中点，需院名回边 、BE 形ABCD是矩形，AB=CD,CD 8C-是：∠EBF-∠C=90, BF .△BCD∽△FBE 问题探究证明：方法一：如图延长FE 交DA延长线于点M,作FH⊥AD于 ,点H,则四边形CDHF是矩形」 M.ss-----4 HD B E是AB中点，.AE=BE.AM∥ ·26· BC,.∠AME=∠BFE,∠MAE= ∠FBE,.△AME≌△BFE(AAS), ..AM=BF..'AD=2CF,CF=DH, ..AH=DH=CF,..AM+AH=BF+ CF,即MH=BC..FH=CD, ∠MHF=∠BCD=90°，.△MFH≌ △BDC(SAS),.∠AMF=∠CBD.又 .∠AMF=∠BFG,.∠CBD= ∠BFG,.BG=FG. 方法二：如图，取BD中点H,连接 EH,CH. D B E是AB中点，H是BD中，点，EH= ZAD,EH∥AD.“AD=2CF,EH= CF.,AD∥BC,.EH∥CF,∴.四边形 EHCF是平行四边形，'.EF∥CH, ∴.∠HCB=∠GFB.∠BCD=90°， 1 H是BD中点，.CH=2BD=BH, ∴.∠HCB=∠HBC,∴.∠GFB ∠HBC,..BG=FG. EG 5 问题拓展 GF 5 [解析]如图，过F M 作FM⊥AD于点 M,取BD中点 H,连接AF,则四 B 边形CDMF是矩形，.CF=DM. AD=2CF,∴.AM=DM=CF.设CF= a,AM=DM=CF=a,AD=CD= 2a=MF,∴.AF=√JAM+MF2=√5a. .AG=FG,BG=FG,..AG=BG. ,E是AB中点，.FE垂直平分AB, ∴.BF=AF=√5a.,H是BD中点， ∴.EH是△ABD中位线，∴.EH= 2AD-a,EH/AD/BC,∴△BGHO △FGB,: EH =a_5 GFBF5a 51 2.解：(1)由旋转的性质可得，△ABC2 △ADE,.∠BAC=∠DAE,AC= AE,.∠BAC-∠CAD=∠DAE- ∠CAD,.∠BAD=∠CAE.'AB= AD,AC=AE,∴.∠ABD=∠ADB= ∠ACE=∠AEC,.△ABDC∽△ACE, ..AR-AD_BD AC=AE-CE.在R△ABC中，由 勾股定理得，AE=AC=√AB2十BC= +-8器光- (2),BM是Rt△ABC斜边AC上的 中线，.AM=BM=CM=2AC= 1 ,∠ABM=∠BAM.'AB=AD, ∴.∠ABM=∠ADB,.∠BAM= ∠ADB.∠ABM=∠DBA, AB BM △ABMO△DBA,BD=AB,即 6 32 BD-,..BD-,.DM-BD BM-1 ,:∠EAD= ∠CAB=∠ABD=∠ADB,.DM∥ AE,△FDM∽△FEA,.AE 11 FM ,10 =_FM 5,解得FM= 55 A,即5 FM+ 781 c-cw-w-号8-8 (3)C,D,E三点能构成直角三角形，直 角三角形CDE的面积为4或16或12 或8 [解析]①当AD在AC上时， DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形， 如架图①，Sam:=2CD·DE=2× (5-3)X4=4.②当AD在CA的延长 线上时，DE⊥AC,此时△CDE是直角 三角形，知解图②，SAm=号CD· DE=2×(5+3)×4=16.③当DE1 EC时，△CDE是直角三角形，如解图 ③，过点A作AQ⊥EC于点Q.:AQ⊥ EC,DE⊥EC,DE⊥AD,.四边形 ADEQ是矩形，∴.EQ=AD=3,AQ= DE=4..AE=AC=5,..EQ=CQ= 2CE,CE=6SE=号DE· CE=号×4X6=12.④当DC1EC 时，△CDE是直角三角形，如解图④， 过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于 点N,连接BD.,DC⊥EC,AQ⊥EC, ∴.AQ∥DC..AC=AE,AQ⊥EC, .EQ=CQ,.NQ是△CDE的中位 线，ND=NE=号DE=2,CD 2NQ.:∠AND=∠ENQ,∠ADN= ∠EQN=90°，.∠DAN=∠QEN, im∠DAN=am∠QEN,8 没号N0=号B0,:Q+ EQ=NE,(号E0)'+EQ=2, 年程B0=5沿，cE=2B0 120=号m=4Scm 13 13 2NQ=8/13 3,SAcE=2CD·CZ 合×8×2-得袋上所 13 13 直角三角形CDE的面积为4或16或 12 B 图① 图② 图③ 图④ 微专题（六）遇角平分线问题 如何添加辅助线 1.2+2 2.解：(1)DC=2 (2)证明：如图，延长CE,BA相交于点F. ∠EBF+∠F=9O,∠ACF+∠F= 90°，∴.∠EBF=∠ACF.在△ABD和 ∠ABD=∠ACF, △ACF中，AB=AC, ∠BAD=∠CAF, .△ABD≌△ACF(ASA),.BD= CF.,BD平分∠ABC..∠EBC= ∠EBF,在△BCE和△BFE ∠EBC=∠EBF, 中，BE=BE, ∠CEB=∠FEB, ,.△BCE≌△BFE(ASA),.CE=FE, ·27· .CF=2CE.'.BD=CF,.'BD=2CE. E B 3.2 4.解：DE是△ABC的中位线，.DE∥ 1 BC,DE-2 BC-6,BD-AD-2AB- 4,∠DFB=∠FBC.·BF平分∠ABC, .∠DBF=∠FBC,.∠DFB= ∠DBF,.DF=BD=4,.EF=DE一 DF=6一4=2. 5.证明：如图，在BC上截取CF=CD,过 点E作EG∥AB交BC于点G,连接 EF.,AC平分∠BCD,∴.∠FCE= ∠DCE.'CE=CE,CF=CD, ,△FCE≌△DCE(SAS),.∠CDB= ∠CFE=120°，∴.∠EFB=60°.点E 是AC的中点，BG/AB,EG=号AB, .∠EGF=∠ABC=60°，.△EFG是 等边三角形，.EG=FG.CG一CF= GR,∴2BC-CD=AB,dBC 2CD=AB. E B GF 6.C[解析]如图，连接AE. B ∠C=90°，∠B=30°，∴.∠BAC=60°. ,DE垂直平分AB,.AE=EB, .∠DAE=∠B=30°，.∠DAE= ∠CAE=30°，.AE平分∠BAC,.E℃= ED=2. 7.解：(1)DE⊥DP.理由如下：由题意知， PD=PA,.∠A=∠PDA.EF是 BD的垂直平分线，.DE=BE,∠EDB =∠B.,∠A+∠B=180°-∠C=90°， .∠PDA+∠EDB=90°，∴.∠PDE= 180°-（∠PDA+∠EDB)=90°， .DE⊥DP (2)如图，连接PE.