第三章 第四节 二次函数-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

第四节 二次函数 知识网络一 1.一般地，形如y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，且① )的函数叫二次函数 2.二次函数y=ax2十bx十c用配方法可化成y=a(x十h)2+k的形式，其中h=② k=③ 二次函数3.用待定系数法确定二次函数解析式时，已知三点的坐标，通常设y=ax2+bx十c,特别地， 的解析式 当抛物线经过原点时，可直接设y=ax2十bx;已知顶点坐标，或者已知条件中有对称轴， 或者抛物线有最高点（或最低，点）时，可设顶点式y=α(x十h)2十k;已知抛物线与x轴的两 交点坐标或已知抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴，可通过设交点式y=a(x一x1) (x一x2)来求解，其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标 图象 开口 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左侧，y随 当x=h时， x的增大而⑥ a>0 向上④ ⑤ 二次函数的 y有最小值 在对称轴右侧，y随 图象与性质 x的增大而⑦ y=a(x-h)2+k 在对称轴左侧，y随 当x=h时， x的增大而⑩ a<0 向下⑧ ⑨ y有最大值 在对称轴右侧，y随 次 x的增大而① y=ax2+k 上个 能物线的平移：ya红十)产年-0有ya(红-A户，其中质0A≥0) 右 下 y=ax2-k (1)当b2一4ac>0时台抛物线与x轴有② 个交点；方程ax2十 bx十c=0(a≠0)有两个不相等的实根 (2)当b2一4ac=0时台→抛物线与x轴有且只有⑧ 个交点；方程a.x2+ 二次函数与一元二次方程 bx十c=0(a≠0)有两个相等的实根 (3)当b2一4ac<0时台抛物线与x轴④ 交点；方程ax2十bx十 c=0(a≠0)没有实根 「一找：找出问题中的变量和常量 二列：列出函数解析式表示它们之间的关系 二次函数实际应用 三解：应用二次函数的图象和性质解题 四检：检验结果是否符合实际意义 54 第三章函数与图象 基础考点讲练 名师讲解Q (-）-=（红+x)-x= 典例1(2024·广元) x2)2-4x1x2]= x)>x4=1, 如图，已知抛物线y=ax2十bx十c过点C(0, 一2)与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且一1 .b-4a>1,b2-4ac>4n2,故⑤将合题意. 4a2 <x1<0,2≤x2<3.则下列结论：①a一b十+c< 综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有3个. 0;②方程ax2十bx十c十2=0有两个不相等的 【答案】C 实数根：@a+b>0,④a>号56-4ac>4a 典例2 点(4,2)在抛物线y=ax2+bx十2(a<0)上. 其中正确的结论有 (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),且t≤ x1<t+2,4-t<x2≤6-t. ①当t=1时，直接写出y1,y2的大小关系； ②若对于x1,x2,都有y1卡y2,直接写出t的 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 取值范围. 【解析】①，抛物线开口向上，且一1<x1<0, 【解析】(1)由抛物线解析式可得抛物线与y 2<x2<3,.当x=-1时，y=a-b+c>0,故 轴交点坐标，再由抛物线经过(4,2)可得抛物线 ①不符合题意.②抛物线y=ax2十bx十c过 对称轴.(2)①由t=1可得x1与x2的取值范 点C(0,-2),.函数的最小值y<-2,∴.ax2+ 围，从而可得点P,Q到对称轴的距离的大小关 bx十c=一2有两个不相等的实数根，∴.方程 系，进而求解；②设点P(x1,y1)关于直线x=2 ax2十bx十c+2=0有两个不相等的实数根，故 的对称点为P'(xo,y1),由y1≠y2可得x。≠ ②符合题意.③，-1<x1<0,2<x2<3,抛物线 x2,x1卡x2,通过解不等式求解. 的对形为直战=品且<一<，则 【答案】解：(1)将x=0代入y=ax2+bx+2 得y=2,∴.抛物线与y轴交点坐标为(0,2)，又 1<、6」 <3,而a>0,.-3a<b<-a,.a+ 抛物线经过(4,2)，∴.抛物线对称轴为直 线x=2. b<0,故③不符合题意.④，抛物线y=ax2十 (2)①.a<0,∴.抛物线开口向下.当t=1时， bx十c过点C(0,-2),c=-2..x=-1时， 1≤x1<3,3<x2≤5..|x1-2|<1,1< y=a-b+c>0,即3a-3b+3c>0.当x=3 |x2一2≤3，.点P到对称轴距离小于点Q到 时，y=9a+3b+c>0,.12a+4c>0,.12a> 对称轴距离，y1<y2 8a> 2,故④符合题意.⑤：-1<x1<0, ②设点P(x1,y1)关于直线x=2的对称点为 2<x2<3,x2-x1>2,由根与系数的关系可 P'(x0y1),则xo=4-x1..t≤x1<t十2，.2-t< .b2-4ac=1× x≤4-t;,'4-t<x2<6-t,∴.xo≠x2;当t十2≤ 得：x1十x2= 0x1x2=。,.0 4a2 4 4一t或6-t≤t时，x1≠x2,解得t≤1或t≥3. 第四节二次函数 55 方法总结 一1得，y=2,∴.点C的坐标为(3,2) 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上 (2)当BC与x轴平行时，则点B,C的纵坐标相 点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的 性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系 同，两点关于对称轴直线x=1对称，n十3m 2 典例3(2024·铜陵模拟) 1,∴.m= 2B点的纵坐标为y 2 -2× 如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y= x2-2x-1交y轴于点A,点B,C在此抛物线 2 4,点B与点C的纵坐标的和为 上，其横坐标分别为m,3m(m>0),连接 AB,AC (1)当点B与抛物线的顶点重合，求点C的 (8若0K3m<1,则0m<号，与m 2矛盾， 坐标； 不合题意.最高点的纵坐标为m2一2m一1，最低 (2)当BC与x轴平行时，求点B与点C的纵坐 点的纵坐标为(3m)2-2X(3m)一1=9m2一6m 标的和； (3)设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点 1.当号<m<1时，最高点的纵坐标为(3m)°- B,C)的最高点与最低点的纵坐标之差为 2×(3m)-1=9m2-6m-1,最低点纵坐标为 5mm> 一2.最高点与最低点的纵坐标之差为 ,求m的值， 5mm>》9m2-6m-1+2=5m,解得 11±√85 m= 73心.2m≤，.不合题意，当 m>1时，最高点的纵坐标为(3m)2一2×(3m) 备用图 -1=9m2-6m-1,最低点纵坐标为m2-2m 【解析】(1)化成顶点式，求得顶点坐标，即可 1,则9m2-6m-1-(m2-2m-1)=5m,解得 求得m=1,则C的横坐标为3m=3,把x=3代 9 入解析式即可求得C的纵坐标， m= 8戟m=0(含去.综上所述m的值为号 (2)利用抛物线的对称性求得m= 2,代入解析 当堂检测、 式求得点B的纵坐标，进而即可求得点B与点 1.关于二次函数y=一(x十1)(x一3)，以下说 C的纵坐标的和为2× 法错误的是 A.对称轴是直线x=1 (3)分三种情况：0<3m<1,则0<m< 3,不合 B.顶点坐标是(1,4) C.当x>1时，y随x的增大而减小 题意：当2<m≤1时，当m>1时，分别根据题 D.当-1<x<3时，y<0 意建立方程求解即可得出答案。 2.已知二次函数y=x2一2mx+5m-1(m为常 【答案】解：(1)y=x2-2x-1=(x-1)2 数)的图象经过点A(m-1,y1),B(m+1, 2,.顶点为(1，一2).，点B与抛物线的顶点重 y2),则y1y2的大小关系是 合，.m=1,.3m=3,把x=3代人y=x2-2x A.y1>y2 B.y<y2 56 第三章函数与图象 C.y1=y2 D.与m的值有关 4.(2024·萧县一模)已知关于x的二次函数 3.(2024·阜阳模拟)将抛物线y=2(x一1)2-1 y=x2-(m一1)x十m,其中m为实数 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单 (1)若点A(-2,n),B(6,n)均在该二次函数 位长度得到抛物线y=ax2十bx十c,则a+ 的图象上，则m的值为 b十c= (2)设该二次函数图象的顶点坐标为(p,q), 则q关于p的函数表达式为 安徽十年精选 考点①二次函数的图象与性质 【变式训练】 1.(2024·安徽)已知抛物线y=一x2+bx(b为 抛物线y=a.x2一a(a≠0)与直线y=x交于 常数)的顶点横坐标比抛物线y=一x2十2x A(x1y1),B(x2y2)两点，若x1十x2<0,则 的顶点横坐标大1. 直线y=ax十k一定经过 (1)求b的值； A.第一、二象限 B.第二、三象限 (2)点A(x1,y1)在抛物线y=一x2十2x上， C第三、四象限 D.第一、四象限 点B(x1十t,y1十h)在抛物线y=一x2+ 考点③二次函数的实际应用与最值 bx上 3.(2022·安徽)如图1，隧道截面由抛物线的一 (i)若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值； 部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边 （ii)若x1=t-1,求h的最大值. BC为12m,另一边AB为2m.以BC所在 的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系xOy,规定一个单 位长度代表1m.E(0,8)是抛物线的顶点. y 考点②判断函数图象 0 BP. (M)PC 图1 图2 2.(2023·安徽)已知反比例 y个 y个 函数y=飞（≠0）在第 E D P 象限内的图象与一次函数 y=一x十b的图象如图所 01 y=-x+b B PO P C 示，则函数y=x2一bx+k一1的图象可能为 图3（方案一） 图3（方案二） (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“冂”型或 “日”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示， 点P1,P4在x轴上，MN与矩形 P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长 第四节二次函数 57 L为图中粗线段P1P2,P2P3,P3P4,MN 长度之和，请解决以下问题， 面积为？若存在，请求出点B的横坐标 (1)修建一个“门”型栅栏，如图2，点 t的值；若不存在，请说明理由. P2,P3在抛物线AED上.设点P1的横 坐标为m(0<m≤6)，求栅栏总长1与m 之间的函数表达式和1的最大值； (iⅱ)现修建一个总长为18的栅栏，有如 图3所示的“”型和“日”型两种设计方 案，请你从中选择一种，求出该方案下矩 形P,P2P3P4面积的最大值，及取最大值 时点P1的横坐标的取值范围(P:在P4 右侧). 【变式训练】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y一十 bx十c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C, 其中B(3,0),C(0,-3). (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过 点P作PD⊥AC于点D,求PD的最大 值及此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5 个单位，点E为点P的对应点，平移后的 考点④ 二次函数表达式的确定与几何图形的 抛物线与y轴交于点F,Q为平移后的抛 综合 物线的对称轴上任意一点.写出所有使得 4.(2023·安徽)在平面直角坐标系中，点O是 以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点 坐标原点，抛物线y=ax2十bx(a≠0)经过点 Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的 A(3,3),对称轴为直线x=2. 过程写出来 (1)求a,b的值； (2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标 为t,点C的横坐标为t+1.过点B作 x轴的垂线交直线OA于点D,过点C作 C 备用图 x轴的垂线交直线OA于点E, (i)当0<t<2时，求△OBD与△ACE 的面积之和； (ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点 B,使得以B,C,D,E为顶点的四边形的 58 第三章函数与图象 全国真题汇编 考点①二次函数的图象和性质 5.(2024·上海)对于一个二次函数y=a(x 1.(2024·乐山)已知二次函数y=x2一2x m)2十(a≠0)中存在一点P(x',y),使得 (-1≤x≤t-1),当x=一1时，函数取得最 x'一m=y'一k≠0，则称2x'一m|的值为该抛 大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取 物线的“开口大小”，那么抛物线y=一 值范围是 ( A.0<t≤2 B.0<t≤4 3x十3的“开口大小”为 C.2≤t≤4 D.t≥2 考点②确定二次函数的表达式 2.(2024·泸州)已知二次函数y=ax2+(2a 6.(2024·牡丹江)将抛物线y=ax2十bx十3向 3)x十a一1(x是自变量)的图象经过第一、 下平移5个单位长度后，经过点（一2,4），则 二、四象限，则实数a的取值范围为( 6a-3b-7= A.Iiag B.0<a<今 7.(2024·浙江)已知二次函数y=x2+bx+c C.0<a<8 D.Iia? (b,c为常数)的图象经过点A（一2,5)，对称 3.(2024·甘孜州)二次函数y=ax2+bx+c(a 锁为直线=一子 >0)的图象如图所示，给出下列结论：①c< (1)求二次函数的表达式； (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左 0;②- 8>0,③当-1<x<3时，y<0.其中 平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在 所有正确结论的序号是 ( ) y=x2十bx十c的图象上，求m的值； A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ (3)当-2≤x≤n时，二次函数y=x2十bx十 (-1.4) 2 (的最大值与最小值的差为？，求刀的取 值范围. 第3题图 第4题图 4.(2024·贵州)如图，二次函数y=ax2+bx+ c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 一3，顶点坐标为（一1,4），则下列说法正确 的是 A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐 考点③二次函数与一元二次方程 标是2 8.(2024·济宁)将抛物线y=x2-6x十12向下 C.当x<一1时，y随x的增大而减小 平移飞个单位长度.若平移后得到的抛物线与 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 x轴有公共点，则的取值范围是 第四节二次函数 59 9.(2024·武汉)抛物线y=ax2+bx十c(a,b,c 考点⑤抛物线与几何图形 是常数，a<0)经过(-1,1)，(m,1)两点，且 11.(2024·赤峰)如图，正方形ABCD的顶点 0<m<1.下列四个结论： A,C在抛物线y=一x2+4上，点D在y轴 ①b>0； 上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m> ②若0<x<1,则a(x-1)2+b(x-1)十c>1; n>0),下列结论正确的是 ③若a=一1，则关于x的一元二次方程 A.m+n=1 ax2十bx十c=2无实数解； B.m-n=1 ④点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上，若 C.mn=1 x1十x2> 2x>x2,总有y1<y2,则0< D.=1 n m≤？其中正确的是 (填写序号)， 12.(2024·通辽)如图，在平面直角坐标系中， 考点④二次函数的实际应用 直线y=一 2x十3与x轴，y轴分别交于点 10.(2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮 C,D,抛物线y=一 y （x-2)2十(k为常 观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈 抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥 数)经过点D且交x轴于A,B两点 面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为 3 y=- x+3 x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面 直角坐标系， 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛 物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之 y=-4(c-2)+k 间的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆 (1)求抛物线的函数解析式； 索L1的最低点P到FF'的距离PD=2m (2)若点P为抛物线的顶点，连接AD,DP, (桥塔的粗细忽略不计)、 CP.求四边形ACPD的面积. ↑ylm E F 0 Fx/m 桥面 (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF',且EF= 2.6m,FO<OD,求FO的长. 60 第三章函数与图象11.A[解析]如图，连接AO.,四边形 DEOF和四边形ACOB都是正方形， ∴.∠FEO=∠AOB=45°，.EF∥AO, Sa-S6am=号X4=2. 12.A 13.C[解析]如图，作AH⊥OC于点H. V H EC 设OH=m..'sin∠AOB 1 2 ∴.∠AOB=30°.，四边形OABC是菱 形，∴.∠AOC=2∠AOB=60°，.OA= 2m,AH=√3m,∴.A(m,√3m).反 比例函数y=2(x>0)的图象经过 x 点A,3m2=23,∴m=√2或m= 一√2（舍去），OA=2√2.四边形 OABC是菱形，∴.∠DOE=∠AOB= 30°.设DE=n,则OE=√3n,∴.D(√3n, n),3n2=25,n=√2或n=-√2 (含去)，.OE=6,.EC=OC-OE= 2√2-√6. 14.3[解析]如图，作PE⊥OC于点E, EP的延长线交AB于点F. ∴S=20CPE+7·ABPF= 分·0C·EF=2Sem=3. 第四节二次函数 知识网络 ①a≠0② ③ ac-b2 ④直线x=h Aa ⑤(h,k) ⑥减小 ⑦增大 ⑧直线x=h ⑨(h,k) ⑩增大①减小@两 无 当堂检测 1.D[解析]对于抛物线y=一(x十1)(x一 3)=-(x-1)2十4，抛物线开口向下，对 称轴是直线x=1,故A选项正确，不符 合题意；顶点坐标是(1,4)，故B选项正 确，不符合题意；当x>1时，y随x的增 大而减小，故D选项正确，不符合题意； 当-1<x<3时，y>0,故该选项不正 确，符合题意. 2.C[解析]图象的对称轴为直线x= 二=m.:m-1+m=m, 2 2 ∴.A,B两点关于抛物线的对称轴对称， 所以y1=y2· 3.-1[解析]将抛物线y=2(x-1)2-1 先向左平移1个单位长度，再向下平移 2个单位长度得到抛物线为y=2(x一 1十1)2-1-2，即y=2x2-3,∴.a=2, b=0,c=-3,∴.a+b+c=2+0-3=-1. 4.(1)5(2)q=-p2+2p+1 [解析](1)，点A(一2，n),B(6,n)均在 该二次函数的图象上，点A,B关于抛 物线对称轴对称，.抛物线的对称轴为直 线x=二2，+6=2，即-二(0-D=2, 2 2 解得m=5.(2).y=x2-(m-1)x 2）+m+6m-1 +m=(x-m)+ 4 .抛物线的顶点坐标为 (@2,m+-）,释p=m1, 4 2， g=二m+6m-1,m=2p十1，代入 4 -m2+6m-1 0三 得g 4 -2p+1+6(2p+1)-1--p+2p+1. 4 安徽十年精选 1.解：(1)抛物线y=一x2十bx的顶点 横坐标为多，y=一x2+2x的顶点横坐 -1=1.b=4 标为1,2 (2):点A(x1,y1)在抛物线y=一x2十 2x上，y1=-x号+2x1.B(x1+t, y1十h)在抛物线y=一x2十4x上，.y1十 h=-(x1十t)2十4(x1十t),于是有-x1十 2x1十h=-(x1十t)2十4(x1十t), h=-t2-2x1t+2x1+4t. ·13· (1).h=3t,.3t=-t2-2x1t+2x1十 4t,…t(t+2x1）=t+2x1.x1≥0， t>0,.t+2x1>0,∴.t=1,.h=3. (i)将x1=t-1代入h=-t2-2x1t十 2x1十4t,.h=一3t2十8t一2，配方得， A=-3(-音)‘+：-3<0当 =专即=专时，A取最大位号 2.A[解析]由题图可设直线和反比例函 数图象的交点坐标分别为(1，及)和(k, 1),将(1，k)代入y=-x+b,得=-1十 6,即b=k十1.：y=的图象在点(1， 1)上方，.>1，∴.b>2,.抛物线的对 春鞋x=合>1，且秋物线不经计原点， 故B,C错误；在y=x一bx十k一1中， 令x=1,得y=1-b+k-1=-1,故A 正确，D错误 【变式训练】 D[解析]，抛物线y=ax2一a(a≠0) 与直线y=kx交于A(x1,y1),B(x2, y2)两点，.kx=ax2-a,∴ax2-kx a=0i十=径∴2<0.当a 0,k<0时，直线y=ax十k经过第一、 三、四象限；当a<0,k>0时，直线y= ax十经过第一、二、四象限.综上，直线 y=ax十k一定经过第一、四象限. 3.解：(1)由题意可得A(一6,2)，D(6,2). 又E(0,8)是抛物线的顶点，设抛物线 对应的函数表达式为y=ax2十8，将 A(一6,2)代入，得（一6）2a+8=2,解得 a=- 6,一抛物线对应的函数表达式 1 为y=-6+8 1 (2)(1),点P,的横坐标为m(0<m 6),且四边形P1P2P3P4为矩形，点 P2,P3在抛物线AED上，P2的坐标 为(m,-日m2+8,P,P,=P,P,= MN=-合m2+8,P,B,=2m,l= 3(←-日m2+8）+2m=-2m+2m+ 24-7m-2)+26.-号<0,0< m≤6，.当m=2时，L有最大值为26， 即栅栏总长l与m之间的函数表达式为 1=-子m+2m+24,1的最大值为26 (i)方案一：设P2P1=n,则P2P3=18 3n,∴.矩形P1P2P3P4面积为(18一3m)n= -3n2+18n=-3(n-3)2+27..-3< 0,.抛物线开口向下，.当n=3时，矩 形面积有最大值为27，此时P2P1=3, PP,=9,令-日2+8=3，解得x= 士√30，∴.此时P,的横坐标的取值范 围为一√30十9≤P,的横坐标≤30. 方案二：设P2Pg=n,则PP4=P2P1 =182n=9-n,矩形PP2P,P.面 2 积为ng)=一元+9n=-(a-号）‘十 10,抛物线开 9 81 ·当n=?时，矩形面积有最大值为4， 北时RR,=P,P=号，RR=号令 日+8=》，解得x=士，∴此 时P:的横坐标的取值范围为 -VI+<P,的横丝标≤v团， 19a十3b=3, 4.解：①)依题意，得b a=-1, 解得 =2, 2a b=4. (2)由(1)得y=-x2+4x,.当x=t 时，y=-t2十4t.当x=t十1时，y= -(t+1)2+4(t+1),即y=-t2+2t+ 3,.B(t,-t2+4t),C(t+1,-t2+ 2t十3).设OA的解析式为y=kx(k≠ 0),将(3,3)代入，得3=3k,.k=1, .OA的解析式为y=x,.D(t,t), E(t+1,t+1). (i)当0<t<2时，如图1，设BD与x 轴交于点M,过点A作AN⊥CE交CE 于点N,.M(t,0),N(t+1,3), 1 SAo+SANCE=2·BD·OM+2, 1 AN·CE=2(-t+4t-)·t+2· (3-t-1)·(-t2+2t+3-t-1)= 1 日(2+3c)+2(公32+40 -++-+8=2 A(3,3) 图1 (il)①当2<t<3时，如图2，过点D作 DH⊥CE交CE于点H,易知H(t十1， t),BD=-t2+4t-t=-t2+3t,CE= t+1-(-t2+2t+3)=t2-t-2,DH= 1 I+1-t=1,S0w0B=2(BD十 CE·DH,即2合(-++ 5 t-2)×1,解得t=2: ②当t>3时，如图3，过点D作DG⊥ CE交CE于点G,易知BD=t-(-t2十 4t)=t-3t,CE=t2-t-2,DG=1, ∴S6s=}(BD+CE)·DG,即 号=23+-1-2)×1，解得 ,=+1(含)，4=- 2 +1（含）. 2 5 综上所述，6的值为2· 【变式训练】 解：(1)将点B(3,0),C(0,一3)代入抛物线 y=x+bx+c,得 1 ×32+36十c=0, 4 c=-3, 1 b= 解得 4’“抛物线的表达式为y= c=-3, + 4x-3. (2:抛满线y=号女2+日-3与： 轴交于点A,点B(3,0),令y=0,则x= 3或x=一4，.点A的坐标为(-4,0). 设直线AC的解析式为y=x十m(k≠ 0),将点A(-4,0),C(0,-3)代入y= -4k+m=0, x十m(k≠0)中，得{ 解得 m=-3, ·14· 3 4’ 直线 m=-3, AC的解析式为y= -3.如周，过点 3 P作PE⊥x轴于点E,交AC于点Q,设 P(,+-3)则Q(,-3, 0=-3-(+7-3)= E-t.:∠AQE=∠PQD,∠ABQ- ∠QDP=90°，.∠OAC=∠QPD..OA= 4,OC=3,.AC=5,..cos/QPD= 号0-(--)=-日u+2r+ -4<0,-号<0，当=-2 时，PD有最大值，最大值为号，点P 的空标为(-2，-） ⑧-+-3=号(+2)' 将该抛物线向右平移5个单位，得到y= 6 (红-号）”-铝，对称轴为直线x 49 号点P向右平移5个单位得到 E(3,-）“平移后的抛物线y (x-)”-铝与y轴交于点R,令 x=0,则y=2,.F(0,2),∴.EF2=32十 (2+)》”-1识：点Q为率移后的抛 物线的对称轴上任意一，点，则点Q的横 坐标为号设Q(号m)Qr=( -3）°+(m+）',Qr-(2）'+(m 一2)2，当△QEF是以QF为腰的等腰三 角形时，分情况讨论：①当QF=EF时， QF=EF,(号）广+(m-2=,解 得m=一1或m=5,.点Q的坐标为 (号，-1)或（号，5）.@当QE=QF时， Qe=Qs,(2-3)+(m+)}‘ (号）+(m-2),解得m=子点Q 的坐标为(2，)综上所迷，点Q的 坐标为（号，-1）或（号，5）或（号 ) 全国真题汇编 1.C[解析]因为y=x2-2x=(x-1)2- 1,所以对称轴为直线x=1,且顶点为 (1,-1).因为1-(-1)=3-1，所以 x=一1和x=3时的函数值相等.因为 一1≤x≤t一1，当x=一1时，函数取得 最大值，所以t一1≤3，又因为当x=1 时，函数取得最小值，所以t一1≥1，所以 1≤t-13,解得2≤t≤4. 2.A 3.D[解析]由题意.，函数图象与y轴 交于负半轴，.当x=0时，y=c<0,故 ①正确.又根据函数的图象可得，a一b十 c=0,且9a+3b+c=0,.8a+4b=0. :6=-2a,对称轴是直线x=一2 b 2a=1>0,故②正确.由题意.·x= 一1或x=3时，y=0,且抛物线y= ax2十bx+c开口向上，.当一1<x<3 时，y<0,故③正确. 4.D[解析].二次函数y=ax2十bx十c 图象的顶点坐标为（一1,4），.二次函数 图象的对称轴是直线x=一1，故A错 误；设二次函数y=ax2十bx十c的图象 与x轴的另一个交点的横坐标是m,则 -3十m=一1，m=1,故B错误；观察 2 函数图象可知当x<一1时，y随x的增 大而增大，故C错误；设二次函数的解析 式为y=a(x+1)2+4,把（一3,0）代入， 得0=a(-3十1)2十4，解得a=-1, y=-(x十1)2+4，当x=0时，y= 一(0+1)2+4=3，.二次函数图象与 y轴的交点的纵坐标是3. 5.4[解析]：装物线y=一合x+ 3x+ 3=-(-3》+x- -2物线y=-+x+3“开 1 日大小"为2女号=2×1-2=4 6.2[解析]抛物线y=ax2+bx+3向下 平移5个单位长度后得到y=ax2十 bx+3-5=ax2+bx-2,把点(-2,4) 代入得到，4=a×（一2)2一2b一2，得到 2a-b=3,∴.6a-3b-7=3(2a-b)-7= 3X3-7=2. 7.解：(1)由题意.：二次函数为y=x2十 bx十c,.抛物线的对称轴为直线x -名=一号6=1二次离数的表 1 达式为y=x2十x十c.又图象经过点 A(-2,5),.4-2十c=5,.c=3,.拋 物线表达式为y=x2十x十3. (2)由题意.点B(1,7)向上平移2个单 位长度，向左平移m个单位长度(m>0), .平移后的点为(1一m,9).又(1-m,9) 在y=x2+x+3上，.9=(1-m)2+ (1一m)十3，.m=4或m=-1(舍去). .m=4. 8y=2+z+3=(+》”+是， 直工=一号时，取得最小值，最小位 为程①若n<-名，则当-2≤x≤n 时，y随x的增大而减小，当x=一2 时，y取得最大值，最大值为4一2十3= 5.当x=n时，y取得最小值，最小值为 n十n十3.又，最大值与最小值的差为 号55-(m+n+3)=?,解得a= 9 -分，不特合题意，@若n≥-日，则当 一2≤x≤n时，最小值在二次函数顶点 处取得，即当工=一号时，y取最小值 若当x=一2时，y取最大值，则最 11 大值为4一2十3=5，∴.最大值与最小值 的送为5一号号符合题高，成时风的 取值范围为二2≤n<1,若当x三n时， y取最大值，则最大值为n2十n十3. “最大值与最小值的差为，刀2+ 119 n十3-4=4，解得n=一2（舍去）或 n1.综上，n的取值范固为2≤n≤1. ·15· 8.k≥3[解析]将抛物线y=x2-6x+12 向下平移k个单位长度得y=x2一6x十 12一.，·平移后得到的抛物线与x轴 有公共点，∴.△=b2-4ac≥0，∴.(-6)2一 4×1×(12-k)≥0，解得k≥3. 9.②③④[解析]由题意，得抛物线的对称 轴为直线x= 名=tm“0<m3 2a 2 1合<m<0-< 2 2a <0.又.a<0,.b<0,故①中结论错 误..0<m<1,∴.m-(-1)>1,即( 1,1),(m,1)两点之间的距离大于1.又a <0,.x=m-1时，y>1,.若0<x< 1,则a(x-1)2+b(x-1)+c>1,故② 中结论正瑰，：-号<-云<0a=- 1-<<0,-1<6<0.抛 物线y=ax2十bx十c经过点(-1,1)，a =-1,.一1-b十c=1,.c=b十2.对 于-元二次方程ax2十bx十c=2,△=b -4a(c-2)=b2十4b=(b十2)2-4<0， ∴.方程无实数解，故③中结论正确.，a< 0,抛物线开口向下.点A(x1,y1), B(x2,y2)在抛物线上，当x1>x2时，总 有y1<y2,∴.点A离抛物线的对称轴较 2 0<m≤？，故④中结论正确。 10.解：(1)由题意.A0=17m,A(0, 17).又OC=100m,缆索L1的最低点 P到FF'的距离PD=2m,.抛物线 的顶，点P为(50,2).故可设抛物线为 y=a(x-50)2+2(a≠0).将A(0,17) 代入抛物线可得2500a+2=17,解得 a一 500…缆索L1所在抛物线为y白 3 x-50)2+2. 500 (2)由题意.缆索L1所在抛物线与缆 索L2所在抛物线关于y轴对称，∴缆 素L,所在抛物线为y红十50)+ 2.,EF=2.6,把y=2.6代入得 2.6=36(+50)+2,x,=-40或 500 x2=-60.又，F0<OD=50m,.x= -40,.F0的长为40m. 11.B 12.解：1在y=-多+3中，令z=0得 y=3,.D(0,3).:抛物线y= -（x-2)+表经过点D(0,3 3=-号×(0-2)+，解得长=4 1 1 y=-4(x-2)2+4=-4x十 x十3.即抛物线的函数解析式为y= -+z+8 (2)连接OP,如图 y=- 3 x+3 y=-4(x-2)2+k 3 在y=-2x十3中，令y=0得x=2, C(2,0),0C=2,在y=-1 x+3中，令y=0得0=-1 Γx2+z+ 3,解得x=6或x=-2,∴.A（一2,0)， 0A=2.由y=1(x-22+4可得 抛物线顶点P坐标为(2,4)， .Sm边形ACPD=S△AOn十S△POD十S△P0x= ×2×3+7×3×2+7×2×4= 1 3十3十3=10，.四边形ACPD的面积 为10. 微专题（三）分析判断函数图象 1.D2.A 3.B[解析]点P到A→B的过程中，y= 0(0≤x≤2)，故选项A,C错误；点P到 1 C→D的过程中，y=2×2×4=4(6< x≤8)，故选项D错误；由以上各段函数 解析式可知，选项B正确. 4.D[解析]当P在AB上运动时，连接 AR.M,N是AP,PR的中点，∴.MN 是△ARP的中位线，MN=号AR. ,四边形ABCD是菱形，且R是边CD 的中点，AR是定值，MN是定值. P 当P在BC上运动时，连接AR.同理可 得MN=号AR,AR是定值，MN色是 定值.综上所述，随着x的变化，MN的 长y始终不变.综上所述，选项D的图 象符合题意. 5.C[解析]：∠C=90°，AC=15,BC= 20,.AB=W√AC2+BC=√15+20= 25.①当0≤x≤3时，点P在AC边上， 如图，此时AP=5x B D ,PD⊥AB,.∠PDA=90°=∠C. ∠CAB=∠DAP,∴.△CAB∽ △DAP,AC-C-铝AD AC·AP=15X5x=3x,PD-= AB 25 BC·AP_20X5z=4x,y=2AD· 1 AB 25 PD=号X3zX4x=6a ②当3<x≤7时，点P在BC边上，如 图，此时BP=35-5x. C P A D B :PD⊥AB,∠PDB=90°=∠C ∠PBD=∠ABC,∴△PBDO △ABC,器--器PD= PB·AC=35-5z)×15=21-3x, AB 25 BD=PB:BC-(35-5)X20=28- AB 25 4x,.AD=AB-BD=25-(28-4x)= 4-3y=号AD:PD=x-3)· 1 a1-a)=-6r+罗-受上所装， 当0≤x≤3时，图象为向上开口的抛物 线的右半边；当3<x≤7时，图象为开口 向下的抛物线的右半边，选项C符合 题意. 6.D[解析]由题图可知，A,B两城相距 300km,乙车先出发，甲车先到达B城， ·16· 故①符合题意，③不符合题意；甲车的平 均速度是300÷3=100(km/h),乙车的 平均速度是300÷5=60(km/h),故②不 符合题意；设甲车出发后xh追上乙车， 100x=60(x十1)，解得x=1.5,.甲车 出发1.5h追上乙车.，甲车8：00出 发，.甲车在9：30追上乙车，故④符合 题意.综上所述，正确的有①④ 7.D[解析]由题图可知，加入絮凝剂的 体积在0.5mL达到最大净水率，在 0.5~0.6mL呈下降趋势，故A错误； 由题图知，未加入絮凝剂时，净水率为 12.48%,故B错误；絮凝剂的体积每增 加0.1mL,净水率的增加量不相等，C 错误. 8.4[解析]过点A作AD⊥BC,D为垂 足，如图. P D C 由点P的运动速度为1cm/s,结合题图 2可得AB=BC=4cm.,∠B=30°， ∠ADB=90,AD=2AB=2×4= 2,S=2BC·AD=2X4X2= 4(cm2). 9. [解析]当点P运动到点C处时， x=a,y=a,即BC=a,S△ABc=a. ,AB为直径，∠C=90°，.S△ABc= 2BC·AC=a,∴AC=2.△ABC的 周长为6，.AB=4-a.在Rt△ABC 中，BC2+AC2=AB2,即a2+22=(4 3 a)2,∴.a= 10.8:40[解析]因为甲60min走完全程 4km,所以甲的速度是4km/h.由题图 可以看出两人在走了2km时相遇，那 么甲此时用了0.5h,则乙用了 (0.5-3)小时，所以乙的速度为2÷ 6=12,所以乙走完全程需要时间为 4÷12=专（)=20min,此时的时肉应 加上乙先前迟出发的20分钟，现在的 时间为8：40.