第四章 第三节 全等三角形-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

②如图3，当∠ABC=90°，BA=BC 时，分别过点A,C作直线1的垂线， 垂足分别为M,N,∴.∠AMB= ∠BNC=90°.，l∥l1∥L2,直线l1与l2 之间的距离为2，且L与1间的距离等 于l与l2之间的距离，.CN=2, AM=1..'∠MAB+∠ABM=90°， ∠NBC+∠ABM=90°，.∠MAB= ∠NBC,.△AMB≌△BNC(AAS), .BM=CN=2.在Rt△ABM中，由勾 股定理得AB2=AM2+BM,'.AB= BC=5S=7AB·BC=号 ③如图4，当∠ACB=90°，CA=CB 时，同理可得SAc=号，综上所述， 5 △ABC的面积为1或 第三节全等三角形 知识网络 ①完全重合②相等 ③相等 ④相等 ⑤相等⑥相等( ⑦三边分别相等的两个 三角形全等⑧两边及其夹角分别相等的 两个三角形全等⑨两角分别相等且其中 一组等角的对边相等的两个三角形全等 ⑩斜边和一直角边分别相等的两个直角三 角形全等 当堂检测 1.C[解析]方法一：如题图2，延长 BD到点E,使ED=BD=2.连接AE, 则BE=2BD=4..BD是△ABC的中 线，AB=5,BC=3,∴.AD=CD,在△EAD (ED=BD, 和△BCD中，人∠ADE=∠CDB, AD=CD, ,.△EAD≌△BCD(SAS),.EA=BC= 3,S△ED=S△D,∴.EA2+BE2=32+42= 52=AB2,∴.△AEB是直角三角形，且 ∠AEB=90°，∴.S△ABC=SABAD十SABCD= Sw十SABD=SA=子EA· BE=合×3X4=6, 1 方法二：如题图3，延长CB到点F,使 FB=BC=3,连接AF..'BD是△ABC 的中线，AB=5,BD=2,.AD=DC, ∴.FA=2BD=4,.FB2十FA2=32+42= 52=AB2,.△ABF是直角三角形，且 ∠F=90,Sx=Saw=7FB·FA= 乞×3×4=6.综上所述，方法一、二都 1 可行. 2.(1,4)[解析].点D在第一象限（不 与点C重合)，且△ABD与△ABC全 等，.△BAD≌△ABC,.AD=BC, BD=AC,如图所示.由图可知D(1,4). 3.100°[解析].△ABC≌△CDE, ∴∠ACB=∠CED=45°.：∠D=35°， ∴.∠DCE=180°-∠CED-∠D=180°- 45°-35°=100°. 4.30手厅[解析折]：△ABE≌△BCF≌ △CAD(已知)，∴.AD=BE=CF,AE= BF=DC.AE ED =2,.AD= BE=4.,△DEF为等边三角形，.EF= DF=DE=2,∠EFD=∠EDF=60°， .BF=DF=DC=2,.∠FDB= 1 ∠FBD=2∠EFD=30°，∠ADB= ∠EDF十∠FDB=90°.如图，过点C作 CH⊥BG的延长线于点H. B≌ D C .∠CDH=30°，.CH=CD X sin30° 2X2-1,DH-CDXcos 30-2x3. 2 V3.∠ADG=∠CHG,∠AGD= ∠CGH,∴△ADGn△CHG,HG= ，DG. a0-兰c-DH-台s. 5.证明：'∠BAE=∠CAD,.∠BAE+∠CAE ∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD, (AB=AE, 在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EAD, AC=AD, ..△ABC≌△AED(SAS). 安徽十年精选 1.D[解析]如图所示，对于点A,连接 AC,AD.'AB=AE,∠ABC=∠AED, BC=DE,.△ABC≌△AED(SAS),. ·22· AC=AD.F是AD的中点，.AF⊥ CD,所以选项A不合题意，对于点B, 连接BF,EF,,AB=AE,∠BAF= ∠EAF,AF=AF,.△ABF≌△AEF (SAS),.∠AFB=∠AFE,BF=EF, .△BFC≌△EFD(SSS),,'.∠BFC= ∠EFD,.∠BFC+∠AFB=∠EFD+ ∠AFE,即∠AFC=∠AFD=90°，∴.AF⊥ CD,.选项B不合题意.对于点C,连接 BF,EF.点F为CD的中点，.CF= DF.又，∠BCF=∠EDF,BC=DE, .△CBF≌△DEF(SAS),∴.BF=EF, ∠CFB=∠DFE.又.AB=AE,AF= AF,∴.△ABF≌△AEF(SSS), ∴.∠AFB=∠AFE,∴.∠CFB+∠AFB= ∠DFE+∠AFE,即∠AFC=∠AFD= 90°，.AF⊥CD,故选项C不合题意.对 于点D,由∠ABD=∠AEC,不能推出 AF⊥CD,故选项D符合题意. 2.证明：AB是半圆O的直径，.∠ACB= ∠BDA=90°.在Rt△CBA与Rt△DAB 中，BC=AD,BA=AB,.Rt△CBA≌ Rt△DAB(HL). 3.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC,∴.∠ABC+ ∠BAD=180°..AF∥BE,.∠EBA+ ∠BAF=180°，.∠CBE=∠DAF,同 理得∠BCE=∠ADF.在△BCE和 ∠CBE=∠DAF, △ADF中，3BC=AD, ∠BCE=∠ADF, .△BCE≌△ADF(ASA). 【变式训练】 证明：∠B=50°，∠C=20°，.∠CAB= 180°-∠B-∠C=110°.，AE⊥BC, .∠AEC=90°，.∠DAF=∠AEC+ ∠C=110°，.∠DAF=∠CAB.又 AD=AC,AF=AB,.∴.△DAF≌ △CAB(SAS),.DF=CB. 全国真题汇编 1.D[解析].AB=AC,.∠B=∠C.在 AB=AC, △ABE和△ACD中，∠B=∠C, BE=CD, ,.△ABE≌△ACD(SAS),.AD= AE..AB=AB,∠B=∠B,AD=AE, ∠BAD≠∠BAE,.△ABD和△ABE 是一对“伪全等三角形”.同理可得， △ABD和△ACD是一对“伪全等三角 形”.△ACD和△ACE是一对“伪全等 三角形”.△ABE和△ACE是一对“伪 全等三角形”.所以题图中的“伪全等三 角形”共有4对 2.C[解析]如图，连接AD..∠BAC= 90°，AB=AC=6,D为边BC的中点， .AD=BD=CD,∠BAD=∠C=45°， S△ABC= 2X6×6=18.在△ADE和 (AD=CD, △CDF中，∠BAD=∠C,.△ADE≌ AE=CF, △CDF(SAS),.S△ADE=S△cDF,.四边 形AEDF的百积=SAc=号SMe=g. B 3.C[解析]Rt△DAH≌Rt△ABE, ..DH=AE=4,AH=BE=3,..EH= AE一AH=4一3=1..四边形形EF GH是正方形，.∠DHE=90°，∴.DE= √DH+EH=√4+1=√17. 4.A[解析]如图，过点F作DC延长线 的垂线，垂足为点H,由旋转得EF= EA,∠AEF=90°.，·四边形ABCD是 正方形，∴.∠D=90°，DC∥AB,DA= DC=BC,设DA=DC=BC=1..∠1十 ∠DEA=∠2+∠DEA,∴.∠1=∠2.又 ∠D=∠H,EF=EA,'.△ADE≌ △EHF,.DE=HF,EH=AD=1,设 DE=HF=x,则CE=DC-DE=1一 x,..CH=EH-CE=1-(1-x)=x, .HF=CH=x,又∠H=90°， ∠HCF=45,CP==2 .DC∥AB,.∠G=∠HCF=45°，同理 可求CG=√2BC=√2，.FG=CG-CF= E-Ex=厄(1-x),·照 CE 0--E. 1-x D B G 5.DE=EF或AD=CF(答案不唯一). [解析]，CF∥AB,.∠A=∠ECF, ∠ADE=∠CFE,∴.添加条件DE= EF,可以使得△ADE≌△CFE(AAS), 添加条件AD=CF,可以使得△ADE≌ △CFE(ASA)(答案不唯一). 6.(1)证明：在△ABC和△ADE中， (BC=DE, ∠B=∠D,.△ABC≌△ADE(SAS). AB-AD, (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE, .AC=AE,∠BAC=∠CAE=60°， ∴.∠AEC=∠ACE.:∠AEC+ ∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE= 120°，.∠ACE=60°，.∠ACE的度数 是60°. 7.证明：，点O是AB的中点，.AO= OB.四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,∴.∠E=∠BCO.又∠AOE= ∠BOC,∴.△AOE≌△BOC(AAS), .'.AE=BC. 8.证明：AB是∠CAD的平分线， .∠CAB=∠DAB.∴.在△ABC和 (AC=AD, △ABD 中， ∠CAB=∠DAB, AB=AB, ∴.△ABC≌△ABD(SAS),.∠C=∠D. 9.(1)证明：：AD=BE,AD+BD=BE +BD,即AB=DE.在△ABC和 (AB=DE, △DEF中， AC=DF,△ABC≌ BC=EF, △DEF(SSS). (2)解：∠A=55,∠E=45°，由(1)可 知，△ABC≌△DEF,∴.∠A=∠FDE= 55°，∴∠F=180°-（∠FDE+∠E)= 180°-(55°+45)=80° 10.证明：：△ABC为等边三角形， .∠ABD=∠C=60°，AB=BC.在 (AB=BC, △ABD和△BCE中，∠ABD=∠C, BD=CE, ∴.△ABD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE. 11.证明：(1)点D为BC的中点，BD= ·23· CD..BE∥AC,∴.∠EBD=∠C,∠E= ∠CAD.在△BDE和△CDA中， ∠EBD=∠C, ∠E=∠CAD,.△BDE≌△CDA BC=CD, (AAS). (2)点D为BC的中点，AD⊥BC, ∴.直线AD为线段BC的垂直平分线， ∴.BA=CA.由(1)可知，△BDE≌ △CDA,∴.BE=CA,.BA=BE. 12.解：如解图，过点C作CH⊥BA交BA 的延长线于点H.过点A作AG⊥CD 于点G,过点B作BK⊥CD于点K,且 AB//CD. 十东 ∴.四边形AHCG,ABKG都是矩形， ..GK=AB=100,CG=AH,CH= AG=BK,CH∥AG∥BK.由题意可得， ∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD= ∠CBK=21.34°，∴.∠ACH=∠CAG= 18.17°，∠BCH=∠CBK=21.34°. ,'∠AGC=∠BKD=90°，.△AGC≌ △BKD,.CG=DK,设AH=x, AH CH=y, 'CH =工=tan∠ACH= y HB tan18.17°≈0.33，即x=0.33y,CH x+100 y =tan∠BCH=tan21.34°≈ 0.39,即x+100=0.39y,∴.0.33y+ 5000. 100=0.39y,,.y= 3…x=0.33X 5000 500,.CG=DK=550, 3 .CD=550×2+100=1200(m),∴.长 江口的宽度CD约为1200m. 第四节 图形的相似 知识网络 ①ad=bc ②a±b=c±d b d 十c十十m=a ③ +d+…+nb ④比例中项 ⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似⑥平方 当堂检测 1.B第三节 全等三角形 知识网络 定义：能够① 的两个三角形叫全等三角形 全等三角形 「(1)全等三角形的对应角② 、对应边③ 、周长④ 的定义及性质性质 面积⑤ (2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线⑥ SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边)》 HL 全等三角形 的判定方法 两角和它们的夹边分别相 ⑦ ⑧ ⑨ 形 等的两个三角形全等 找夹角→SAS 已知两边找直角→HL 找另一边→SSS 边为角的对边→找任一角→AAS 证明三角形全等 已知一 找夹角的另一边→SAS 边为角 边和一角 找夹边的另一角→ASA 的邻边 找边的对角→AAS 找夹边ASA 已知两角 找任一边→AAS 基础考点讲练 名师讲解Q, 典例2 如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与 典例1 BE相交于O点，已知AB=AC,现添加以下的 如图，已知△OAD2△OBC, 哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( 且∠0=70°，∠C=25°，则 A.∠B=∠C ∠AEB的度数为 B.AD=AE 【解析】在△OBC中，∠O=D1 C.BD-CE 70°，∠C=25°，.∠DBE=∠0+∠C=70°+ D.BE-CD 25=95°..△OAD≌△OBC,∴.∠D=∠C 【解析】 ,AB=AC,∠A为公共角.如添加 25°，∴.∠AEB=∠D+∠DBE=95°+25°=120° ∠B=∠C,利用ASA可证明△ABE≌ 【答案】120° 76 第四章三角形 △ACD;如添加AD=AE,利用SAS可证明 2.(2024·甘肃)如图，在△ABC中，点A的坐 △ABE≌△ACD;如添加BD=CE,由等量关系 标为(0,1)，点B的坐标为(4,1)，点C的坐标 可得AD=AE,利用SAS可证明△ABE≌ 为(3,4)，点D在第一象限（不与点C重合）， △ACD;如添加BE=CD,因为是SSA,不一定 若△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 能证明△ABE≌△ACD. 【答案】D 典例3 如图，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E 求证：AC∥DF 第2题图 第3题图 3.(2024·成都)如图，△ABC≌△CDE,若∠D 35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为 4.(2024·湖北)如图，由三个全等的三角形 【解析】利用BF=EC,易得BC=EF,根据 (△ABE,△BCF,△CAD)与中间的小等边 SAS可得△ABC≌△DEF,进而可得∠ACB= 三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC. ∠DFE,即可得证. 连接BD并延长交AC于点G.若AE= 【答案】证明：BF=EC,.BF十FC=EC十 ED=2.则∠FDB的度数是 ,DG的 FC,即BC=EF.又AB=DE,∠B=∠E, 长是 .△ABC≌△DEF(SAS),∴.∠ACB= ∠DFE,.AC∥DF. 当堂检测 1.(2024·毫州三模)对于题目：如图1，在钝角 △ABC中，AB=5,BC=3,AC边上的中线 5.(2024·云南)如图，在△ABC和△AED中， BD=2,求△ABC的面积.李明想到了如图2 AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求 和图3所示的两种作辅助线的方法， 证：△ABC≌△AED. 方法一： 方法二： D E 图1 图2 图3 则下列说法正确的是 A.只有方法一可行 B.只有方法二可行 C.方法一、二都可行 D.方法一、二都不可行 第三节全等三角形 77 安徽十年精选 考点全等三角形的判定与性质 3.(2019·安徽节选)如图，点E在□ABCD内部， 1.(2024·安徽)在凸五边形ABCDE中，AB= AFBE,DF∥CE.求证：△BCE≌△ADF. AE,BC=DE,F是CD的中点.下列条件中， 不能推出AF与CD一定垂直的是( A.∠ABC=∠AEDB.∠BAF=∠EAF C.∠BCF=∠EDFD.∠ABD=∠AEC 2.(2020·安徽节选)如图，AB是半圆O的直径， C,D是半圆O上不同于A,B的两点，AD= BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所 在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.求 【变式训练】 证：△CBA≌△DAB, 如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°.过 点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点 D,使AD=AC,在边AC上截取AF=AB,连 接DF.求证：DF=CB. D 全国真题汇编 考点①全等三角形的判定与性质 2.(2024·广州)如图，在△ABC中，∠A=90°， 1.(2024·遂宁)如图1，△ABC与△A1B1C1满 AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分 足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,∠C≠ 别在边AB,AC上，AE=CF,则四边形 ∠C1,我们称这样的两个三角形为“伪全等三 AEDF的面积为 角形”.如图2，在△ABC中，AB=AC,点D, A.18 B.9√2 E在线段BC上，且BE=CD,则图中共有 C.9 D.6√2 “伪全等三角形” D 图1 图2 B A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 第2题图 第3题图 78 第四章 三角形 3.(2024·浙江)如图，正方形ABCD由四个全 7.(2024·吉林)如图，在□ABCD中，点O是 等的直角三角形（△ABE,△BCF,△CDG, AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长 △DAH)和中间一个小正方形EFGH组成， 线于点E.求证：AE=BC. 连接DE.若AE=4,BE=3,则DE=( D A.5 B.26 C.√17 D.4 4.(2024·重庆A卷)如图，在正方形ABCD的 边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E 逆时针旋转90°得到FE,连接CF并延长与 AB的延长线交于点G.则 侣的值为( ) A.√2 B.√5 C32 2 D33 8.(2024·乐山)如图，AB是∠CAD的平分线， AC=AD,求证：∠C=∠D. D B 第4题图 第5题图 5.(2024·牡丹江)如图，△ABC中，D是AB上 一点，CF∥AB,D,E,F三点共线，请添加一 个条件 ,使得AE=CE. (只添一种情况即可) 6.(2024·长沙)如图，点C在线段AD上，AB= AD,∠B=∠D,BC=DE (1)求证：△ABC≌△ADE; 9.(2024·内江)如图，点A,D,B,E在同一条 (2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数， 直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF. D (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数， 第三节全等三角形 79 10.(2024·宜宾)如图，点D,E分别是等边三 考点②全等三角形的应用 角形ABC边BC,AC上的点，且BD=CE, 12.(2024·宜宾)宜宾地标广场位于三江汇合 BE与AD交于点F.求证：AD=BE 口（如图①，左侧是岷江，右侧是金沙江，正 面是长江).某同学在数学实践中测量长江 口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点 C,D,在地标广场上选择两个观测点A,B (点A,B,C,D在同一水平面，且AB∥ CD).如图②所示，在点A处测得点C在北 偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东 21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西 21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方 向上，测得AB=100米.求长江口的宽度 CD的值（结果精确到1米）. (参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈ 0.95,tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36. cos21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39) 11.(2024·南充)如图，在△ABC中，点D为 D BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的 北 延长线于点E 东 (1)求证：△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE. 图① 图② 80 第四章 三角形