第四章 第二节 三角形及其性质-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

.点M(x1,y1)离对称轴距离更近，又 ,x1<1<x2,.M(x1,y1)与N(x2, y2)的横坐标之间的中点在对称轴的右 侧古>，即 9.解：(1)将点B(3,一3)代入y=x十b, .3+b=-3,.b=-6.将B(3,一3)代 入y=-x2+m.x-m中，.-9+3m- m=-3,.m=3. (2)由(1)可知直线解析式为y=x一6， 抛物线解析式为y=一x2十3x一3.联立 y=x一6， x=-1, 方程组 或 y=-x2+3x-3,y=-7 x=3,A(-1,-7).y=-x+ y=-3, 3x-3=-(-8）》-…当x 3 时，y取最大值为二.又~C在点A 和点B之间，-1<n≤-至 第四章三角形 第一节角、相交线与平行线 知识网络 ①射线 ②90°<a<180°③射线 ④相等 ⑤射线 ⑥相等⑦相等 ⑧90° ⑨180°0∠4 ①∠8 ②相等 ®180°④∠6 ⑤∠86∠5 ⑦线段垂直平分线上的点到这条线段两端 ,点的距离相等⑧相等©在同一平面内 四平行@同位角相等②内错角相等 ②⑧同旁内角互补@同位角相等 西内错角相等四同旁内角互补 ⑦(5) ⑧(4) 四(5)⑦结论①题设 ®结论 ⑧假④三个角对应相等的三角形全等 团假 当堂检测 1.C[解析]如图所示. .∠1+∠3=180°，∠1=125°，.∠3= 55°.AB∥CD,.∠2=∠3=55°. 2.B[解析]，·AB∥CD,∴.∠BAD= ∠1=30°..AD平分∠BAC,'.∠2= ∠BAD=30°. 3.B[解析]由题意得：BC∥DF,∠ACB= 45°，∠EDF=30°，∴.∠BCD=∠EDF= 30°.，∠BCD+∠ACB+∠ACE= 180°，.30°+45°+∠ACE=180°， ∴.∠ACE=105°，∴.∠1=105° D 4.C[解析]如图 u 4 3 .∠1=∠2=40°，∴.∠4=180°-∠1- ∠2=100°.：两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平 行，∠3=∠4=100°. 安徽十年精选 1.C[解析]如题图，在△ABC和△DEF 中，∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°， ∠C=30°，∴.∠B=90°-∠C=60°，∠F= 90°-∠E=45°.BC∥EF,∴∠MDB= ∠F=45°.在△BMD中，∠BMD=180° ∠B-∠MDB=75°. 2.C3.60° 4.如果a,b互为相反数，那么a十b=0 全国真题汇编 1.B2.A 3.C[解析]：∠AEF+∠FEB=180°， ∴∠AEF与∠FEB互补.：AB∥CD, ∴∠FGD=∠FEB,∠CGE=∠FEB, ∠AEF与∠FGD,∠CGE互补. 4.C[解析]AB∥CD,.∠BCD+ ∠ABC=180°.：∠ABC=120, ∴.∠BCD=60°. 5.C[解析]：AD∥BC,∴.∠1=∠C= 35.8°.AB⊥AC,.∠BAC=90°， ∴.∠B=90°-∠C=54.2°=5412'. 6.B[解析]：入射光线是平行光线， .∠1=∠3，由反射定律得∠3=∠4， .∠4=∠1=50° 7.B[解析]：∠3=∠1=50°，∴.∠4 90°-∠3=40°，∴∠2=∠4=40° 34④ 8.(1)证明：DE∥BC,.∠C=∠AED ∠EDF=∠C,.∠AED=∠EDF, ∴.DF∥AC,∴.∠BDF=∠A. (2)△ABC是等腰直角三角形， [解析]：∠A=45°，∴∠BDF=45 ·19· ,DF平分∠BDE,.∠BDE= 2∠BDF=90°.，DE∥BC,∴.∠B= 90°，∴.△ABC是等腰直角三角形. 9.感悟证明：过点A作AH⊥BE于点 H..'AB=AE;BC=DE,../BAH= ∠EAH,∠CAH=∠DAH,∴.∠BAC= ∠DAE. B C H D E 图1 应用 (1)解：如图，点D,E即为所求. 图2 (2)解：点D,E即为所求. 图3 第二节三角形及其性质 知识网络 ①三边都不相等的三角形 ②直角三角形 ③大于④小于 ⑤180° ⑥两个内角 ⑦任意一个内角 ⑧90°⑨∠BAC OBC①DE 1 ③相等④相等 ⑤中线和高 ⑥相等 ⑦相等 ®60° ©相等 ⑩都相等 ①60°@60 ⑧互余四一半四一半 30 @平方 ®90°四一半①平方和 ①一定②边边边 当堂检测 1.C 2.D[解析].点D,E分别是AC,BC的 中点，.DE是△ABC的中位线，.DE∥ AB,.∠B=∠CED=70°，.∠C= 180°-∠A-∠B=180°-45°-70°=65°. 3.C 4.B [解析]如图，过点A作AF∥亿. E B m .直线l∥m,∴.AF∥m.'△ABC是等 边三角形，∴.∠BAC=60°..AF∥L, .∠BAF=∠ABE.:∠ABE=21°， ∴.∠BAF=21°，∴.∠CAF=∠BAC ∠BAF=60°-21°=39.AF∥m, ∴.∠ACD=∠CAF=39°. 5.B[解析]在△ABC中，AB=AC, ∠B=∠C.∠BAC=130°，∠B= ∠C=180°，130=25.：DA1AC, 2 ∠DAC=90°，.∠ADC=90°-25°= 65°，∴.∠ADB=180°-∠ADC=180° 65°=115°. 6.A[解析]①当t=2s时，AP=2cm, 则AP=BC.又，AP∥BC,∠ABC= 90°，∴.四边形ABCP是矩形，∴.PC= AB=3cm,∴.四边形ABCP的周长为 2×(2+3)=10(cm),故①正确.：“平 行线间的距离处处相等”，AB=3cm, ∠ABC=90°，.直线l1与直线l2之间 的距离是3cm,,当t=4s时，点P到 直线l2的距离仍然是3cm,故②错误. 由上述过程可知，点P到BC的距离为 定值3cm,即△PBC的BC边上的高为 3cm.又，BC=2cm,所以△PBC的面 积为定值，故③错误.，点D,E分别是 线段PB,PC的中点，.DE是△PBC 的中位线，DE=号BC=1Kcm）,即线 段DE的长度不变，故④正确. 安徽十年精选 1.C[解析]由图可得， ∠1=90°+∠3..∠1= a,∴∠3=a-90∠3+ 38 ∠2=90°，.∠2=90° ∠3=90°-(a-90)=90°-a+90°= 180°-a. 【变式训练】 (1)证明：由题意得，∠MDE=2a, DM=DE.,∠MDE=∠C+∠DEC, ∠C=a,∴.∠DEC=2a-a=a=∠C, .DC=DE,∴.DM=DC,即点D是 MC的中点. (2)∠AEF=90°.证明：如图，延长FE 至点Q,使得FE=EQ,连接AQ,CQ. DF=DC,FE=EQ,DE是△FCQ 的中往线，DE∥CQ,DE=2CQ, .∠FDE=∠DCQ=∠DCA+ ∠ACQ.∠B=∠DCA=a,∠FDE= 2a,∴∠ACQ=∠DCA=a,.∠B= ∠ACQ.由题意得，BF=BC-FC= 2MC-2CD 2(MC-CD)=2MD. DM-DE,..2DM=2DE=2X2CQ- CQ,.BF=CQ.在△ABF和△ACQ中， (AB=AC, ∠B=∠ACQ,∴.△ABF≌△ACQ(SAS), BF=CQ, .AF=AQ.又FE=EQ,AE⊥FQ, ∴.∠AEF=90°. B FM D 2.B[解析]如图， 过点D作DE⊥ CB交CB的延长 A 线于点E,则 ∠BED=90°.∠ACB=90°，AC= BC=2,∴.AB=V√2+2=2√2，∠A= ∠ABC=45°，.CD=2√2，∠DBE= 45°，△BDE为等腰直角三角形， ∴DE=BE.设DE=BE=x,则CE= 2+x.在Rt△CDE中，CE2+DE=CD2, ∴.(2十x)2+x2=(22)2,解得x1=√3 1,x2=一√3-1（舍去），∴.DE=BE=√3 1,·.BD=√(W3-1)2+(W3-1)2= 6-√2. 3.D[解析]如 A 图，作点F关 于直线CD的 对称点F',连 接EF'交CD B 于点G,连接GF,则GE+GF=EF'.根 据两点之间线段最短，可知当点P与点 G重合时，PE十PF的值最小.连接 FF',交CD于点I,过点E作EH⊥ FF',交F'F的延长线于点H.易知 △EHF和△CFI都是等腰直角三角形， EF=CF,.EH=FH=FI=CI= 号EF=22,FH=62,EF √E+Ff=√22y+(62Y=45< 9.当点P与点C重合时，PE十PF= 12>9;当点P与点D重合时，易得 PE十PF=4√I0>9.故当点P在CD ·20· 上时，在CG和DG上各存在一点P,使 PE+PF=9.根据正方形的对称性可 知，正方形ABCD的每条边上都存在两 个点P,使PE十PF=9,故满足PE十 PF=9的点P的个数是8. 4.B[解析].∠ABC=90°，.∠ABP十 ∠PBC=90°..·∠PAB=∠PBC, .∠BAP+∠ABP=90°，.∠APB= 90°，.OP=OA=OB(直角三角形斜边 中线等于斜边一半)，点P在以AB为 直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P, 此时PC最小.在Rt△BCO中.，∠OBC= 90°，BC=4,OB=3,.OC= VBO2+BC2=5,..PC=OC-OP= 5一3=2，.PC最小值为2. 5.(1)证明：.∠ACB=90°，点M为BD 中点，：CM=2BD,同里EM= 名BD,CM=EM (2)解：.∠ACB=90°，∠BAC=50°， .∠ABC=40°.由(1)得CM=DM=BM= EM,.点B,C,D,E在以点M为圆心， BD为直径的⊙M上，.∠CME= 2∠ABC=80°，∴.∠EMF=180°- 80°=100°. (3)证明：△DAE2△CEM,'.DE= CM,AE=EM,∠DEA=∠CME=90°. 又，CM=DM=EM,.DM=DE= EM,.△DME是等边三角形， .∴.∠DEM=60°，∴.∠MEF=30°.设 AE=a,则AE=EM=CM=a,在 R△EMF中，hMr=g。,EF=23 点N为CM的中点，MN=2CM- 1 1 MN √3AE a 5 2'EF 23 3 √3.MN AE 2 MF EF ,.AN∥EM. 【变式训练】 (1)证明：∠ACB=90°，点M为AB的 中点，.MA=MC,.∠MCA=∠A= 50°，.∠CMA=180°-∠A-∠MCA= 80°.，∠CEM=∠A+∠ACE=50°+ 30°=80°，.∠CME=∠CEM,.CE= CM. (2)解：由题意，得CE=CM=7AB=」 2.EF⊥AC,∠ACE=30°，.FC= CE·cos∠ACE=√3. 全国真题汇编 1.C[解析]，D,E分别是AC,BC的中 点，，DE是△ABC的中位线..根据三 角形的中位线定理，得AB=2DE=36m. 2.4[解析].D,E分别是△ABC边 AB,AC的中点，∴.BC=2DE=2X2= 4,DE∥BC,∴.∠AED=∠C.,∠AED= ∠BEC,.∠BEC=∠C,.BE=BC=4. 3.6[解析]由作图可知，BP是∠ABC的 平分线.又AD⊥BC,MN⊥AB, .MD=MN=2(提示：角平分线上的点 到角两边的距离相等)，，AD=4MD= 4×2=8,'.AM=AD-MD=8-2=6. 4.C[解析].AF是等腰△ABC底边 BC上的高，.AF是顶角∠BAC的平 分线.，点F到直线AB的距离为3， ,∴，点F到直线AC的距离为3 5.C[解析]，DE垂直平分AB交BC于 点D,.AD=DB.△ACD的周长为 50cm,即AC+AD十CD=AC+CD+ DB=AC+BC=50 cm. 6.D[解析].△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°，AB=BC=AC=12, BD=6,.CD=6√3.∠BED=60°， ∴.DE=23,BE=AE=4√3，.减少用 钢为(AB+AC+BC+CD)-(AE+ BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE- BE-DE=24-43(cm). 7.43 [解析]AB=AC,∠BAC= 9 120°，.∠B=∠C=30°.又.AD是 △ABC的中线，.AD⊥BC.在 AD Rt△ABD中，sinB=AB，.AD 2×2=1,BD=2-T=5, AA=号AD=号AD-1-号- 子令AB与BD的交点为M,AC与 CD的交点为N. C B C 由平移可知，∠A'MD=∠B=30°.在 Rt△A'DM中，tan∠A'MD= AD MD' 2 ..MD 3 3.片A'M=A'N, MN=2MD=43,」 3，小S8=2 4√3、24√3 31 3=9 8.100 9.D[解析]如图，直角三角形的两直角 边为a,b,斜边为c. 图1 图2 图1中大正方形的面积是24，.a2十 b2=c2=24.,小正方形的面积是4， .(b-a)2=a2+b2-2ab=4,∴.ab= 10,.图2中最大的正方形的面积为= .1 c2+4×2ab=24+2X10=44. 10.C[解析]设BC=x,则BD=BA= x十1.在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2=AC2+BC2,即(x+1)2=52+ x2,解得x=12,即BC=12. 11.D[解析]连接DE,如图所示. D CE⊥AB,点D是AC的中点，.DE 为Rt△AEC斜边上的中线，.DE=AD CD=2AC.BE=CD,:.BE=DE, ∴点D在线段BD的垂直平分线上， 即线段BD的垂直平分线一定与AB 相交于点E,故选项A正确，不符合题 意.设∠ABD=a.'BE=DE, .∠EDB=∠ABD=a,∴.∠AED= ∠EDB+∠ABD=2a.:DE=AD, ∴∠A=∠AED=2a,.∠BDC=∠A+ ∠ABD=3a,即∠BDC=3∠ABD,故 ·21· 选项B正确，不符合题意.当E为AB 中点时，则BE=2AB.:CE上AB, ,∴.CE是线段AB的垂直平分线，∴.AC= BC.BE-AB.CD-AC,BE- CD,.'AB=AC,..AC=BC=AB, .△ABC是等边三角形，故选项C正 确，不符合题意.连接AO,并延长交 BC于点F,如图所示. B 当E为AB中点时，点D为AC的中 点，，根据三角形三条中线交于一点得 点F为BC的中点.，当E为AB中点 时，△ABC是等边三角形，∴.∠ABC= ∠BAC=60°，AF⊥BC,AF平分 ∠BAC,BD平分∠ABC,∴.∠OBC= ∠OAC=30°，.∴.OA=OB.在Rt△OBF 中，OB=2OF,.OA=OB=2OF, ∴.AF=OA+OF=3OF,∴.S△oBc= BC·OF,Sae=2BC·AR 1 3 错误，符合题意. 2.解：(1)如图1，直线1为所求作. -l 一l2 米 图1 (2)①如图2，当∠BAC=90°，AB=AC 时.l∥L1∥L2,直线11与12之间的距 离为2，且1与l1间的距离等于1与l2 之间的距离，根据图形的对称性可知 BC=2,∴.AB=AC=√2，.S△ABc= 名AB:AC=. B C 图2 图3 C 图4 ②如图3，当∠ABC=90°，BA=BC 时，分别过点A,C作直线1的垂线， 垂足分别为M,N,∴.∠AMB= ∠BNC=90°.，l∥l1∥L2,直线l1与l2 之间的距离为2，且L与1间的距离等 于l与l2之间的距离，.CN=2, AM=1..'∠MAB+∠ABM=90°， ∠NBC+∠ABM=90°，.∠MAB= ∠NBC,.△AMB≌△BNC(AAS), .BM=CN=2.在Rt△ABM中，由勾 股定理得AB2=AM2+BM,'.AB= BC=5S=7AB·BC=号 ③如图4，当∠ACB=90°，CA=CB 时，同理可得SAc=号，综上所述， 5 △ABC的面积为1或 第三节全等三角形 知识网络 ①完全重合②相等 ③相等 ④相等 ⑤相等⑥相等( ⑦三边分别相等的两个 三角形全等⑧两边及其夹角分别相等的 两个三角形全等⑨两角分别相等且其中 一组等角的对边相等的两个三角形全等 ⑩斜边和一直角边分别相等的两个直角三 角形全等 当堂检测 1.C[解析]方法一：如题图2，延长 BD到点E,使ED=BD=2.连接AE, 则BE=2BD=4..BD是△ABC的中 线，AB=5,BC=3,∴.AD=CD,在△EAD (ED=BD, 和△BCD中，人∠ADE=∠CDB, AD=CD, ,.△EAD≌△BCD(SAS),.EA=BC= 3,S△ED=S△D,∴.EA2+BE2=32+42= 52=AB2,∴.△AEB是直角三角形，且 ∠AEB=90°，∴.S△ABC=SABAD十SABCD= Sw十SABD=SA=子EA· BE=合×3X4=6, 1 方法二：如题图3，延长CB到点F,使 FB=BC=3,连接AF..'BD是△ABC 的中线，AB=5,BD=2,.AD=DC, ∴.FA=2BD=4,.FB2十FA2=32+42= 52=AB2,.△ABF是直角三角形，且 ∠F=90,Sx=Saw=7FB·FA= 乞×3×4=6.综上所述，方法一、二都 1 可行. 2.(1,4)[解析].点D在第一象限（不 与点C重合)，且△ABD与△ABC全 等，.△BAD≌△ABC,.AD=BC, BD=AC,如图所示.由图可知D(1,4). 3.100°[解析].△ABC≌△CDE, ∴∠ACB=∠CED=45°.：∠D=35°， ∴.∠DCE=180°-∠CED-∠D=180°- 45°-35°=100°. 4.30手厅[解析折]：△ABE≌△BCF≌ △CAD(已知)，∴.AD=BE=CF,AE= BF=DC.AE ED =2,.AD= BE=4.,△DEF为等边三角形，.EF= DF=DE=2,∠EFD=∠EDF=60°， .BF=DF=DC=2,.∠FDB= 1 ∠FBD=2∠EFD=30°，∠ADB= ∠EDF十∠FDB=90°.如图，过点C作 CH⊥BG的延长线于点H. B≌ D C .∠CDH=30°，.CH=CD X sin30° 2X2-1,DH-CDXcos 30-2x3. 2 V3.∠ADG=∠CHG,∠AGD= ∠CGH,∴△ADGn△CHG,HG= ，DG. a0-兰c-DH-台s. 5.证明：'∠BAE=∠CAD,.∠BAE+∠CAE ∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD, (AB=AE, 在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EAD, AC=AD, ..△ABC≌△AED(SAS). 安徽十年精选 1.D[解析]如图所示，对于点A,连接 AC,AD.'AB=AE,∠ABC=∠AED, BC=DE,.△ABC≌△AED(SAS),. ·22· AC=AD.F是AD的中点，.AF⊥ CD,所以选项A不合题意，对于点B, 连接BF,EF,,AB=AE,∠BAF= ∠EAF,AF=AF,.△ABF≌△AEF (SAS),.∠AFB=∠AFE,BF=EF, .△BFC≌△EFD(SSS),,'.∠BFC= ∠EFD,.∠BFC+∠AFB=∠EFD+ ∠AFE,即∠AFC=∠AFD=90°，∴.AF⊥ CD,.选项B不合题意.对于点C,连接 BF,EF.点F为CD的中点，.CF= DF.又，∠BCF=∠EDF,BC=DE, .△CBF≌△DEF(SAS),∴.BF=EF, ∠CFB=∠DFE.又.AB=AE,AF= AF,∴.△ABF≌△AEF(SSS), ∴.∠AFB=∠AFE,∴.∠CFB+∠AFB= ∠DFE+∠AFE,即∠AFC=∠AFD= 90°，.AF⊥CD,故选项C不合题意.对 于点D,由∠ABD=∠AEC,不能推出 AF⊥CD,故选项D符合题意. 2.证明：AB是半圆O的直径，.∠ACB= ∠BDA=90°.在Rt△CBA与Rt△DAB 中，BC=AD,BA=AB,.Rt△CBA≌ Rt△DAB(HL). 3.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC,∴.∠ABC+ ∠BAD=180°..AF∥BE,.∠EBA+ ∠BAF=180°，.∠CBE=∠DAF,同 理得∠BCE=∠ADF.在△BCE和 ∠CBE=∠DAF, △ADF中，3BC=AD, ∠BCE=∠ADF, .△BCE≌△ADF(ASA). 【变式训练】 证明：∠B=50°，∠C=20°，.∠CAB= 180°-∠B-∠C=110°.，AE⊥BC, .∠AEC=90°，.∠DAF=∠AEC+ ∠C=110°，.∠DAF=∠CAB.又 AD=AC,AF=AB,.∴.△DAF≌ △CAB(SAS),.DF=CB. 全国真题汇编 1.D[解析].AB=AC,.∠B=∠C.在 AB=AC, △ABE和△ACD中，∠B=∠C, BE=CD,第二节 三角形及其性质 知识网络 按边分 等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特例） 三角形的分类 ② 按角分 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 三角形的任意两边之和③ 第三边 边的关系 三角形的 三角形的任意两边之差④ 第三边 边角关系 三角形的内角和等于⑤ 角的关系 三角形的任意一个外角等于和它不相邻的⑥ 的和 三角形的外角性质 三角形的外角大于和它不相邻的⑦ 图形 结论 备注 (1)∠ADB=∠ADC= ⑧ 垂心：三角形三条高所在直 高 1 线的交点 (2)SAABC- BC·AD 角 2 内心：三角形的三个内角的 及其 角平 ∠BAD=∠CAD= 分线 3⑨ 平分线的交点，内心到三角 三角形中的 形三边的距离相等 质 重要线段 (1BD-CD-Z@0 重心：三角形三条中线 中线 (2)S△ABD=S△ACD -2SAANC 的交点 当在三角形中遇到中点时， 常构造三角形的中位线；当 AD=BD,AE=EC,① 中位线 D 在平行四边形或菱形中遇到 DE是△ABC ∥BC,且DE=② BC 中点时，常连接边的中点与 的中位线 对角线的交点构造中位线 性质：等腰三角形的两腰③ 、两个底角④ 顶角的平分线也是底边上的 ⑤ (三线合一) 判定：有两个角⑥ 的三角形是等腰三角形（等角对等边） 等腰三角形 面积求法：S=2ah(其中h是边a上的高) 性质：等边三角形的三条边⑦ ;等边三角形的三个角都是⑧ 判定：a.三边⑨ 的三角形是等边三角形；b.三个角四 的三 等边三角形 角形是等边三角形；c.有两个角是① 的三角形是等边三角形； d.有一个角是② 的等腰三角形是等边三角形 面积的求法5一0A=-(头中A-。) 24 70 第四章 三角形 性质：直角三角形的两个锐角⑧ ;直角三角形的斜边上的中线等于斜边的四 ;直 角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的⑤ ;等于斜边的一半的直角边所对 的角是西 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的②⑦ 角 有两个角的和等于⑧ 的三角形是直角三角形 条边上的中线等于这条边的四 的三角形是一个直角三角形（这条边所对的角 角 直角三角 是直角) 形的判定 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一边的平方等于另两条边的① ,那么 这个三角形是直角三角形（这条边所对的角是直角）》 及 角三角形面积的求法：S2ab三)ch,即有ab=ch(其中a,b是直角边，h是斜边c上的 性 三角形的稳定性：当三角形的三边一定时，三角形的形状和大小就① ,而不能再发生改变， 这就是三角形的稳定性；三角形的稳定性的根据就是判定三角形全等的② 的基本事实 基础考点讲练 .AB=AC,D是BC边上的中点，.AD平分 名师讲解Q 典例1 ∠BACi∠BAD=7∠BAC=54 如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的 (2)证明：，BE平分∠ABC,∴.∠ABE= 中点，连接AD.BE平分∠ABC交AC于点E, ∠CBE..EF∥BC,.∠FEB=∠CBE, 过点E作EF∥BC交AB于点F. ∴∠ABE=∠FEB,.FB=FE 方法总结 (1)遇到等腰三角形问题，常要创造“三线合 一”的应用条件.(2)角的平分线、平行线、等 B D 腰三角形，这三者当中若有两个条件成立， (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数； 第三者必定成立，如本题(2)的证明. (2)求证：FB=FE. 【解析】(1)先利用“等边对等角”求出∠ABC 典例2 的度数，然后利用三角形内角和定理，得到 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=65°， ∠BAC的度数，最后利用“三线合一”性质，即可 CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点，连接 求出∠BAD的度数.(2)由角平分线定义，得 ED,则∠EDC的度数是 () ∠ABE=∠CBE,再由平行线性质，得到∠FEB= ∠CBE,从而得到∠ABE=∠FEB,于是证得 FB=FE. A.25° B.30° C.50° 【答案】(1)解：AB=AC,∴.∠ABC=∠C D.65 【解析】 ,CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC= 36°，.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=108°. 第二节三角形及其性质 71 90°，∴.∠ACD=90°-∠A=25°..∠ACB= 当堂检测 90°，∴.∠DCE=90°-∠ACD=65°..在 Rt△CDB中，E是BC的中点，∴.EC=ED, 1.(2024·广东)如图，一把直尺、两个含30°的三 .∠EDC=∠DCE=65°. 角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为() 【答案】D A.120° B.90° C.60° D.30° 方法急结 本题中的∠A=∠BCD是一个很重要的隐藏 结论，记住它有助于快速找到解题方向.直角 三角形还有很多的性质，如30°角的性质、斜 第1题图 第2题图 边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等，在 2.(2024·广安)如图，在△ABC中，点D,E分 解题中常常要用到. 别是AC,BC的中点，若∠A=45°，∠CED= 典例3 70°，则∠C的度数为 如图，在正方形ABCD中，AB=4.若以CD为 A.45°B.50° C.60 D.65° 底边向正方形外作等腰直角△DCE,连接BE, 3.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC= 则BE的长为 90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连 接AE,则图中的直角三角形共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 E B A.45 B.2√2 C.210 D.23 D C 【解析】如题图，连接BD.四边形ABCD为 第3题图 第4题图 正方形，∴.∠BDC=45°，AD=AB=4,∠A= 4.(2024·泰安)如图，直线1∥m,等边三角形 90°.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m 上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是 √AB十AD=4√2.，△DCE是等腰直角三 ( 角形，.∠CDE=45°，∴∠BDE=∠BDC+ A.45° B.39° C.29° D.21 DC ∠CDE=90°，DE=EC= =22.在 5.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB=( Rt△BDE中，由勾股定理，得BE=√BD+DE?= A.100° B.1159 C.130° D.145 2/10. P 【答案】 C 方法总给 连接BD,创造勾股定理应用的条件是解答 D B 第5题图 第6题图 本题的关键.另外，根据三角形的三边数量 6.(2024·宁夏)如图，在Rt△ABC中，∠ABC 关系，可以判断一个三角形是否是直角三角 90°，AB=3cm,BC=2cm,点A在直线l1 形，这一点在解题中需引起重视. 上，点B,C在直线12上，l1∥2，动点P从点 72 第四章三角形 A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动， ③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t 设运动时间为ts. 的增大而增大； 下列结论： ④若点D,E分别是线段PB,PC的中点，在 ①当t=2s时，四边形ABCP的周长是 点P运动过程中，线段DE的长度不变 10cm; 其中正确的是 ) ②当t=4s时，点P到直线l2的距离等于5cm; A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 安徽十年精选 考点① 三角形的分类及其性质 考点②特殊三角形的性质及判定 1.(2022·安徽)两个矩形的位置如图所示，若 2.(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC= ∠1=a,则∠2= BC=2,点D在AB的延长线上，且CD= A.a-90° AB,则BD的长是 ( ) B.a-45 A.√/10-√2 B.√6-2 C.180°-a C.2√2-2 D.2√2-√6 D.270°-a 【变式训练】 在△ABC中，∠B=∠C=a(0°<a<45), AM⊥BC于点M,D是线段BC上的动点（不 B D 与点M,C重合)，将线段DM绕点D顺时针 第2题图 第3题图 旋转2a得到线段DE. 3.(2019·安徽)如图，在正方形ABCD中，点 (1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D E,F将对角线AC三等分，且AC=12,点P 是MC的中点； 在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点 (2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点 P的个数是 ( B,M重合)满足DF=DC,连接AE, A.0 B.4 C.6 D.8 EF,直接写出∠AEF的大小，并证明. 4.(2016·安徽)如图，在Rt△ABC中，AB⊥」 BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个 动点，且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长 MD C B FM D 图1 图2 的最小值为 B.2 C.813 D. 12√13 13 13 第二节三角形及其性质 73 5.(2018·安徽)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB= 【变式训练】 90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E, 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M为 点M为BD中点，CM的延长线交AB于 边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC 点F 于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°， (1)求证：CM=EM; ∠ACE=30°. (2)若∠BAC=50°，求∠EMF的大小； (1)求证：CE=CM; (3)如图2，若△DAE≌△CEM,点N为CM (2)若AB=4,求线段FC的长 的中点，求证：AN∥EM. E D D 图1 图2 全国真题汇编 考点①，三角形的边角关系及三角形中重要线段 2.(2024·浙江)如图，D,E分别是△ABC边 1.(2024·兰州)如图，小张想估测被池塘隔开 AB,AC的中点，连接BE,DE.若∠AED= 的A,B两处景观之间的距离，他先在AB外 ∠BEC,DE=2,则BE的长为 3.(2024·湖南)如图，在锐角三角形ABC中， 取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E, AD是边BC上的高，在BA,BC上分别截取 并步测出DE的长约为18m,由此估测A,B 线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为 之间的距离约为 ( A.18m B.24m 圆心，大于号EF的长为半径画弧，在∠ABC 内，两弧交于点P,作射线BP,交AD于点 C.36m D.54m M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2, AD=4MD,则AM= D PX 第1题图 第2题图 NEB /D 第3题图 第5题图 74 第四章 三角形 考点②等腰三角形 图2中大正方形的面积为 4.(2024·云南)已知AF是等腰△ABC底边 A.24 B.36 C.40 D.44 BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则 10.(2024·巴中)“今有方池一丈，葭生其中央， 点F到直线AC的距离为 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几 A号 何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题. B.2 C.3 D.2 即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=( 5.(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= A.8 B.10 C.12 D.13 90°，DE垂直平分AB交BC于点D,若 D △ACD的周长为50cm,则AC+BC=( A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 6.(2024·自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱 CD⊥AB于点D,AB长12m.现将钢架立柱 B B 缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢 第10题图 第11题图 11.(2024·巴中)如图，在△ABC中，D是AC A.(24-12√3)m 的中点，CE⊥AB,BD与CE交于点O,且 B.(24-8√3)m BE=CD.下列说法错误的是 C.(24-6√3)m A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E D.(24-4√3)m B.∠BDC=3∠ABD 7.(2024·甘肃)如图，等腰△ABC中，AB= C.当E为AB中点时，△ABC是等边三 AC=2,∠BAC=120°.将△ABC沿其底边中 角形 线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'= D.当E为AB中点时， SABOC 3 SAABC 4 3AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积 12.(2024·福建)如图，已知直线11∥亿2： 是 (1)在11，l2所在的平面内求作直线1，使得 1亿1∥亿2，且1与11之间的距离恰好等于 1与l2之间的距离；（要求：尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹) 图1 图2 (2)在(1)的条件下，若11与12之间的距离 第7题图 第9题图 为2，点A,B,C分别在1，l1,l2上，且 8.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度 △ABC为等腰直角三角形，求△ABC的 数为40°，则它的顶角的度数为 面积 考点③直角三角形 9.(2024·眉山)如图，图1是北京国际数学家 大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽 的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成. 若图1中大正方形的面积为24，小正方形的 面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则 第二节三角形及其性质 75