第四章 第一节 角、相交线与平行线-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

< 第四章 三角形>> 第一节角、相交线与平行线 知识网络一一 概念：有公共端点的两条① 组成的图形叫角.这个公共端点称为角的顶点，这两条 射线是角的两边 的 分类 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 度数0°<a<90° a=90°② a=180° a=360° 角平分线：从角的顶点引出的一条③ ,把这个角分成两个④ 的角， 角平分线 这条⑤ 叫这个角的平分线 定理：角平分线上的点到角两边的距离⑥ 及 角平分线定理及其逆定理 逆定理：到角两边距离⑦ 的点在角平分线上 质 如果两个角的和等于⑧ ,就说这两个角互为余角 余角及补角 如果两个角的和等于⑨ ,就说这两个角互为补角 性质：同（或等）角的余（或补）角相等 对顶角 如图，∠1与∠3，∠2与⑩ ,∠5与∠7，∠6与① 性质：对顶角② 举例：如图，∠1与∠4，∠2与∠3，∠5与∠8，∠6与∠7 邻补角 性质：邻补角之和等于③ 4 同位角：如图，∠1与∠5，∠2与@ ,∠3与∠7，∠4与⑤ 相三线八角内错角：如图，∠2与∠8，∠3与四 同旁内角：如图，∠2与∠5，∠3与∠8 角 线 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 相 垂线的性质在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 点到直线的距离即直线外一点到这条直线的垂线段的长度 线段垂直平分线 |定理：⑦ 平 逆定理：到线段两端点距离® 的点在该线段的垂直平分线上 概念：⑨ ,不相交的两条直线叫平行线 线 平基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线四 线判定：(1)@ ,两直线平行；(2)② ,两直线平行；(3)⑧ 两直线平行 性质：(1)两直线平行，④ ;(2)两直线平行，⑤ ;(3)两直线平行，西 (1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于 已知角；(3)作一个角的平分线；(4)作一条线段的 基本尺 规作图 垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线 如右面的尺规作图：a对应着(3)；b对应着 ⑦ ;c对应着⑧ ;d对应着四 命题：可以判断一件事情的对错的语句，叫命题.命题由题设和① 两部分组成.命题 通常写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后接的部分是① ,“那么”后接 盦 的部分是② .正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.如“内错角相等”是 3 命题 定 互逆命题：把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题.原命题成立，它的逆命题不一 定成立，反之亦然.如“全等三角形的对应角相等”是一个真命题，它的逆命题为 网 ,是一个固 命题 定理：经过证明为真的命题叫定理，可以作为推断其他命题真假的依据 66 第四章 三角形 基础考点讲练 名师讲解Q, 方法总结 本例属于平行线间的“拐角”类典型题目，其 典例1 解题策略通常是过“拐角”的顶点作两平行 如图，直线AD,BE被直线BF和AC所截，则 线中的其中一条的平行线，然后根据平行公 ∠1的同位角和∠5的内错角分别是 理的推论，得出所作的直线和两条平行线都 A.∠4，∠2 平行，进而可以应用平行线的性质解题.本 B.∠2，∠6 题在求解过程中，还应用到“整体思想”（将 C.∠5，∠4 ∠5与∠3的和看成一个整体)，希望同学们 D.∠2，∠4 6 有所启迪. 【解析】根据同位角的概念可知，∠1和∠2是 典例3 直线AD和直线BC被直线BF所截，在截线 如图，在菱形ABCD中， BF的同一侧，被截线AD和BC的同一方向的 两个角，∴∠1和∠2是同位角；∠5和∠6是直 ∠A=30,取大于2AB 线AD和直线BC被直线AC所截，且在截线的 的长为半径，分别以点 两侧，在两被截线的内部的两个角，∠5和∠6 A,B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线 是内错角 交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接 【答案】B BE,BD,则∠EBD的度数为 方法总结 【解析】设尺规作图所作直线与AB交于点F, 在复杂的图形中判别同位角、内错角或同旁 由尺规作图可知，EF是线段AB的垂直平分线， 内角时，先应从角的两边入手，具有上述关系 .AE=BE,.∠A=∠EBA=30°.由菱形的性 的角必有两边在同一直线上，此直线即为截 质可知AB=AD,.∠ABD=∠ADB=75°， 线；而另外不在同一直线上的两边，它们所在 ∴.∠EBD=∠ABD-∠EBA=75°-30°=45°. 的直线即为被截线，再根据这两个角相对于 【答案】 45° 截线和被截线的位置进行判断， 当堂检测 典例2 如图，直线l1∥2，∠1=30°，则∠2十∠3=( 1.(2024·重庆)如图，AB∥CD,若∠1=125°， 则∠2的度数为 ( A.35° B.45° C.55 D.125° 3 B A.150° B.180° C.210° D.240° 【解析】 过∠2的顶点作 0 13∥亿1，则∠4=∠1=30°.又 D .11∥12，.12∥L3,.∠5+ 第1题图 第2题图 ∠3=180°，.∠2+∠3=∠4+∠5+∠3=30°+ 2.(2024·甘孜州)如图，AB∥CD,AD平分 180°=210°. ∠BAC,∠1=30°，则∠2= ( 【答案】C A.15°B.30° C.45 D.60° 第一节角、相交线与平行线 67 3.(2024·赤峰)将一副三角尺（厚度不计）按如 4.(2024·南充)如图，两个平面镜平行放置，光 图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则 线经过平面镜反射时，∠1=∠2=40°，则∠3 图中∠1的度数为 ( 的度数为 () ∠w' 3 A.100° B.105° A.80 B.90° C.115 D.120° C.100° D.120° 安徽十年精选 考点①平行线及其相关性质 3.(2014·安徽节选)如图，正六边形ABCDEF 1.(2021·安徽)两个直角三角板如图摆放，其中 的边长为a,P是BC边上一动点，过P作 ∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°， PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于 AB与DF交于点M.若BC∥EF,则∠BMD N.∠MPN= 的大小为 ( A.60° B.67.5° M C.75 D.82.5° 130% B 考点2命题 4.(2019·安徽)命题“如果a+b=0,那么a,b 第1题图 第2题图 互为相反数”的逆命题为 2.(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置， 若∠1=20°，则∠2的度数为 ( A.60° B.50° C.40° D.30 全国真题汇编 考点①线段、角、相交线 北 D 北 1.(2024·河南)如图，乙地在甲地的北偏东50° 方向上，则∠1的度数为 ( 509 A.60° B.50° 甲 E C.40° D.30° 第1题图 第2题图 68 第四章 三角形 2.(2024·雅安)如图，直线AB,CD交于点O, 8.(2024·自贡)如图，在△ABC中，DE∥BC, OE⊥AB于O,若∠1=35°，则∠2的度数是 ∠EDF=∠C. (1)求证：∠BDF=∠A; A.55 B.45° (2)若∠A=45°，DF平分∠BDE,请直接写 C.35 D.30° 出△ABC的形状. 3.(2024·包头)如图，直线AB∥CD,点E在直 线AB上，射线EF交直线CD于点G,则图 中与∠AEF互补的角有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 F C G D C E B A 考点③基本尺规作图 第3题图 第4题图 9.(2024·威海)感悟 考点②平行线的判定及性质 如图1，在△ABE中，点C,D在边BE上， 4.(2024·青海)如图，一个弯曲管道AB∥CD, AB=AE,BC=DE.求证：∠BAC= ∠ABC=120°，则∠BCD的度数是 ( ) ∠EAD; A.120° B.30° C.609 D.150° 应用 5.(2024·内蒙古)如图，AD∥BC,AB⊥AC,若 (1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点 ∠1=35.8°，则∠B的度数是 ( ) D,点E(点D在点E的左侧)，使得 A.3548 B.55°12' ∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作 C.54°12 D.5452 法，保留作图痕迹)； A D (2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一 入1 点D,在直线BC上取一点E,使得 ∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作 B 第5题图 第6题图 法，保留作图痕迹). 6.(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜 后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1=50°，则 B C 反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( 图1 图2 图3 A.40° B.509 C.609 D.70° 7.(2024·齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺 和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度 数是 A.30° B.40° C.50 D.60° 第一节角、相交线与平行线 69.点M(x1,y1)离对称轴距离更近，又 ,x1<1<x2,.M(x1,y1)与N(x2, y2)的横坐标之间的中点在对称轴的右 侧古>，即 9.解：(1)将点B(3,一3)代入y=x十b, .3+b=-3,.b=-6.将B(3,一3)代 入y=-x2+m.x-m中，.-9+3m- m=-3,.m=3. (2)由(1)可知直线解析式为y=x一6， 抛物线解析式为y=一x2十3x一3.联立 y=x一6， x=-1, 方程组 或 y=-x2+3x-3,y=-7 x=3,A(-1,-7).y=-x+ y=-3, 3x-3=-(-8）》-…当x 3 时，y取最大值为二.又~C在点A 和点B之间，-1<n≤-至 第四章三角形 第一节角、相交线与平行线 知识网络 ①射线 ②90°<a<180°③射线 ④相等 ⑤射线 ⑥相等⑦相等 ⑧90° ⑨180°0∠4 ①∠8 ②相等 ®180°④∠6 ⑤∠86∠5 ⑦线段垂直平分线上的点到这条线段两端 ,点的距离相等⑧相等©在同一平面内 四平行@同位角相等②内错角相等 ②⑧同旁内角互补@同位角相等 西内错角相等四同旁内角互补 ⑦(5) ⑧(4) 四(5)⑦结论①题设 ®结论 ⑧假④三个角对应相等的三角形全等 团假 当堂检测 1.C[解析]如图所示. .∠1+∠3=180°，∠1=125°，.∠3= 55°.AB∥CD,.∠2=∠3=55°. 2.B[解析]，·AB∥CD,∴.∠BAD= ∠1=30°..AD平分∠BAC,'.∠2= ∠BAD=30°. 3.B[解析]由题意得：BC∥DF,∠ACB= 45°，∠EDF=30°，∴.∠BCD=∠EDF= 30°.，∠BCD+∠ACB+∠ACE= 180°，.30°+45°+∠ACE=180°， ∴.∠ACE=105°，∴.∠1=105° D 4.C[解析]如图 u 4 3 .∠1=∠2=40°，∴.∠4=180°-∠1- ∠2=100°.：两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平 行，∠3=∠4=100°. 安徽十年精选 1.C[解析]如题图，在△ABC和△DEF 中，∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°， ∠C=30°，∴.∠B=90°-∠C=60°，∠F= 90°-∠E=45°.BC∥EF,∴∠MDB= ∠F=45°.在△BMD中，∠BMD=180° ∠B-∠MDB=75°. 2.C3.60° 4.如果a,b互为相反数，那么a十b=0 全国真题汇编 1.B2.A 3.C[解析]：∠AEF+∠FEB=180°， ∴∠AEF与∠FEB互补.：AB∥CD, ∴∠FGD=∠FEB,∠CGE=∠FEB, ∠AEF与∠FGD,∠CGE互补. 4.C[解析]AB∥CD,.∠BCD+ ∠ABC=180°.：∠ABC=120, ∴.∠BCD=60°. 5.C[解析]：AD∥BC,∴.∠1=∠C= 35.8°.AB⊥AC,.∠BAC=90°， ∴.∠B=90°-∠C=54.2°=5412'. 6.B[解析]：入射光线是平行光线， .∠1=∠3，由反射定律得∠3=∠4， .∠4=∠1=50° 7.B[解析]：∠3=∠1=50°，∴.∠4 90°-∠3=40°，∴∠2=∠4=40° 34④ 8.(1)证明：DE∥BC,.∠C=∠AED ∠EDF=∠C,.∠AED=∠EDF, ∴.DF∥AC,∴.∠BDF=∠A. (2)△ABC是等腰直角三角形， [解析]：∠A=45°，∴∠BDF=45 ·19· ,DF平分∠BDE,.∠BDE= 2∠BDF=90°.，DE∥BC,∴.∠B= 90°，∴.△ABC是等腰直角三角形. 9.感悟证明：过点A作AH⊥BE于点 H..'AB=AE;BC=DE,../BAH= ∠EAH,∠CAH=∠DAH,∴.∠BAC= ∠DAE. B C H D E 图1 应用 (1)解：如图，点D,E即为所求. 图2 (2)解：点D,E即为所求. 图3 第二节三角形及其性质 知识网络 ①三边都不相等的三角形 ②直角三角形 ③大于④小于 ⑤180° ⑥两个内角 ⑦任意一个内角 ⑧90°⑨∠BAC OBC①DE 1 ③相等④相等 ⑤中线和高 ⑥相等 ⑦相等 ®60° ©相等 ⑩都相等 ①60°@60 ⑧互余四一半四一半 30 @平方 ®90°四一半①平方和 ①一定②边边边 当堂检测 1.C 2.D[解析].点D,E分别是AC,BC的 中点，.DE是△ABC的中位线，.DE∥ AB,.∠B=∠CED=70°，.∠C= 180°-∠A-∠B=180°-45°-70°=65°. 3.C 4.B [解析]如图，过点A作AF∥亿. E B m .直线l∥m,∴.AF∥m.'△ABC是等