微专题(四) 二次数的实际应用&微专题(五) 含参数的函数中的分类讨论与数形结合-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

<《微专题（四） 类型一利润（费用）最值问题 1.(2024·济宁)某商场以每件80元的价格购 进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位： 件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函 数关系，其部分图象如图所示， (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100 元，且商场还要完成不少于220件的销售 任务，当销售单价为多少时，商场获得利 润最大？最大利润是多少？ 300 200--- 100120x 类型二图形面积问题 2.如图，P是线段AB上一动点，分别以PA, PB为边长在AB同侧作等边△PAD和等边 △PBC,连接CD.若AB=6,四边形ABCD 面积的最小值是 微专题（四）二次函数的实际应用 次函数的实际应用>》 3.(2024·相城区校级月考)如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4.动点D从点A 出发，沿线段AB以1单位长度/秒的速度运 动，当点D与点B重合时，整个运动停止.以 AD为一边向上作正方形ADEF,若设运动 时间为xs(0<x≤4)，正方形ADEF与 △ABC重合部分的面积为y. (1)当x为何值时，重合部分的面积为4； (2)求重合部分的面积的最大值 类型三现实生活中的抛物线型 4.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球 从O点正上方发出，把球看成点，其运行的高 度y(m)与运行的水平距离x(m)满足表达式 y=-0.02x2+0.24x十a.已知球网与O点 的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边 界距O点的水平距离为18m.若排球不碰球 网且不出界，则a的取值范围是 (排球落在边界线上时为界内) 18t 63 5.如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安 装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线型，水 平路面宽AB=16m,抛物线顶点C到AB距 离为12m.根据计划，矩形显示屏MNPQ的 高MQ为1m,为了确保行车安全，显示屏底 部距离地面至少8m,若距离左右墙壁各留至 少1m的维修空间，则该矩形显示屏MNPQ 的宽QP的最大长度为 m. M 1m显示屏1m 8m 6.某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现 场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱 门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作 点A,B,C,D)四个大字，要求BC∥AD,最高 点的五角星(，点E)到BC的距离为0.5m, BC=2m,AD=4m,则点C到AD的距离为 m 7.(2024·金安区一模)某小区计划建造一个 “碗形”景观池，设计师将它的外轮廓设计成 如图1所示的图形.它是由线段AC,线段 BD,曲线AB,曲线CD围成的封闭图形，且 AC∥BD,BD在x轴上，曲线AB与曲线CD 关于y轴对称.已知曲线CD是以C为顶 点的抛物线的一部分，其函数解析式为y= 20x一p)2+50-p(p为常数，8≤p≤40). D B GO H Dx 图1 图2 64 (1)当p=10时，求曲线AB的函数解析式； (2)如图2，用三段塑料管EF,FG,EH围成 一个一边靠岸的矩形荷花种植区，点E,F 分别在曲线CD,曲线AB上，点G,H在 x轴上. ①记EF=70m时所需的塑料管总长度 为L1,EF=60m时所需的塑料管总长度 为L2.若L1<L2,求p的取值范围. ②当EF与AC的差为多少时，三段塑料 管总长度最大？请你求出三段塑料管总 长度的最大值 第三章函数与图象 微专题（五）含参数的函数中的分类讨论与数形结合 >》》 类型一 已知交点（或抛物线顶点）在直线上方 2mx十2(m≠0)与线段CD只有一个公共点， 或下方，求参数的取值范围 则m的取值范围是 1.在平面直角坐标系中，直线y=mx十n与 6.如图，抛物线y=一x(x一2)与x轴交于点 x轴，y轴分别交于A(-10,0),B(0,5),已 O,A,把抛物线在x轴及其上方的部分记作 知抛物线y=ax2十bx经过点A,且顶点C C1,将C1向右平移得C2,C2与x轴交于点 在直线y=mx十n的上方，则a的取值范 A,B.若直线y=x十b与C1,C2共有3个不 围是 同的交点，则b的取值范围是 A.a<-0.1 B.a>-0.1且a≠0 C.a<-0.1且a≠0 D.a>0.1 -x2+2x(x>0), 2.如图是函数y= 的图象， B x(x<0) 类型三 已知相应自变量范围内的函数值的问题 若直线y=x十m与该图象只有一个交点，则 7.已知二次函数y=ax2-2ax十3（其中x是自 m的取值范围为 变量)，当0<x<3时对应的函数值y均为正 数，则a的取值范围为 () A.0<a<1 B.a<-1或a>3 C.-3<a<0或0<a<3 D.-1≤a<0或0<a<3 第2题图 第3题图 8.M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx十 3.（2024·全椒县三模)如图，O为坐标原点， c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直 点A是抛物线y=ax2(a>0)上一点，AB⊥ 线x=t.若对于0<x1<1,1<x2<2,都有y1 y轴于点B,BCOA,交x轴于点D. <y2,则t的取值范围为 (1)若点A的坐标为(1,2)，则直线BC对应 9.如图，抛物线y=一x2十mx一m与直线y= 的一次函数解析式为 x+b交于点A和点B(3,一3). (2)若线段BC与抛物线的交点为D,则 BD (1)求m和b的值； C (2)若C为抛物线上一点，且在点A和点B 之间（不包括点A和点B),求点C的纵坐 类型二 已知抛物线与直线交点的问题 标n的取值范围. 4.若二次函数y=ar-2ax+(a≠0)的图象 2在x≤3的部分有两个交 1 与直线y=x一 点，则a的取值范围为 5.在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分 别为(-1，-1)和(4，-1)，抛物线y=mx2 微专题（五）含参数的函数中的分类讨论与数形结合 65微专题（四）二次函数的实际应用 1.解：(1)由题意，设一次函数的解析式为 y=kx+b.,过(100,300)，(120,200)， 100k+b=300,.k=-5, .所求 120k+b=200,b=800, 函数解析式为y=一5x+800. x≥100， (2)由题意得， 1-5x+800≥220， ∴.100 ≤x≤116.，·商场获得的利润=(x一 80)(-5x+800)=-5x2+1200x- 64000=-5(x-120)2+8000,又 -5<0,100≤x≤116，∴.当x=116时， 利润最大，最大值为7920. 2 27√3 4 [解析]过点D作DK⊥AB于点 K,过点C作CT⊥AB于点T,如图. K PT B ,·△ADP和△BCP是等边三角形， :.KP-2AP,TP-7BP,DP-AP, CP-BP,:.KT-KP+TP-AB- 3.设AP=2m,则BP=6一2m,∴.AK= KP=m,BT=PT=3-m,.DK= √5AK=√5m,CT=√5BT=3√3-√3m, Sam=方m·5n=9m2,Saa 名8-m8g-5m)-5-3gm+ 号5，Sse=5m+35-m)X 3= 2 m2十 复m-35m+号5+号5=5m 38m+95=5(m-2）+27g ~当m二？时，四边形ABCD面积的最 27√3 小值为 4 3.解：(1)当0≤x≤2时，正方形ADEF与 △ABC重合部分的面积为正方形 ADEF的面积，.y=x2.令y=x2=4, .x=2或x=-2(舍去).当2<x≤4 时，DE与BC相交于点M,EF与BC相 交于点N,如图所示，此时正方形 ADEF与△ABC重 合部分的面积为正 方形ADEF的面积 减去△EMN的面 积.，△ABC是等腰 D B 直角三角形，AB=AC=4,∴.DM= DB=FN=FC=4-x,..EM=EN= x-(4-x）=2x-4,.y=S方移ADEr Saw=x22(2x-4)2=x2-2x2p 8x-8=-x2+8x-8.令y=-x2+8x 8=4,∴.x=2或x=6,均不合题意.综上， 当x=2时，重合部分的面积为4. (2)由题意，结合(1)当0≤x≤2时，y= x2,.当x=2时，y取最大值为4.当 2<x≤4时，y=-x2+8x-8=-(x- 4)2十8，.当x=4时，y取最大值为8. 综上，重合部分的面积的最大值为8. 4.1.89<a≤2.16[解析]根据题意得，当 x=9时，y=-0.02×92+0.24×9+ a=0.54+a>2.43,解得a>1.89.当 x=18时，y=-0.02×182+0.24×18+ a=-2.16十a≤0，解得a≤2.16. .排球不碰球网且不出界，则a的取值 范围是1.89<a≤2.16. 5.6[解析]由题意，如图，建立平面直角 坐标系. M 1m显东屏m 8 m y 0 B 由顶点C为(0,12)，∴.可设抛物线的解 析式为y=mx2十12.又B(8,0),.0= 64m+12,m=- 6心抛物线为y= 6x十12.”显示屏底部距离地面至 3 ②8m,“令y=8+1=9,9-6x2中 12,.x=4或x=-4,.D(4,9).显 示屏两侧留1m,∴.PQ=MN=2×(4- 1)=6(m),此时是最大值. 6.1.5[解析]建立如图所示的直角坐标 系，则可设点C(1,n),点D(2,m), y ·17· 则点E(0,n十0.5)，故设抛物线的表达 式为y=ax2十n+0.5,将点C,D的坐 n=a+n+0.5, 标代入上式得， 解得 m=4a+n+0.5, n-m=1.5. 7.解：(1)将p=10代入曲线CD的表达式 为y=-20x-102+50-10=- 1 1 (x一10)2十40，由于曲线AB与曲线CD 关于y轴对称，∴.抛物线AB的解析式 为y=-20z+10y+40. 20 (2)①根据题意，设E1(35,y1),E2(30, y2).L1<L2,.35+y1<30+y2,即 35+[20(35-p)+50-p]<30+ [20(30-p3+50-p],化商得65- 2p>20p<号8≤p<号 ②设EF一AC=2d,三段塑料管总长度为L, 根据题意得E(o十d,-0d+50-p小， “L=2p+2d+2(-20d+50-p), 化简得L-d-10)+110,当d 10时，L有最大值110，.当EF与AC 的差为20m时，三段塑料管总长度最 大，最大值为110m. 微专题（五）含参数的函数中的 分类讨论与数形结合 1.A[解析]把点A,B的坐标分别代入 -10m十n=0, y=mx十n,得 ’解得 n=5, 1 'y=十5易知城物y m三 n=5, ax2十bx经过点A(-10,0)和原点，∴.抛 物线的对称转为直线x=一5，即一 2a 一5，∴.b=10a,∴.抛物线的解析式为y= a.x2+10a.x.把x=-5代入，得y=25a 50a=一25a,即抛物线的顶点C的纵坐 标为-25a.花x=-5代入y=x+5, 得y=号又：装物线的顶点C在直费 5 y=mx+n的上方，.-25a>2,解得 a<-0.1. 2.m>行或m<0[解折]由题意，直线 y=x十m与函数y= ∫-x2+2x(x>0), 的图象恒相交， \-x(x<0) ①当m>0时，直线y=x十m与直线 y=一x(x<0)恒相交，与抛物线y= 一x2十2x(x>0)至少有一个交点时，即 方程x十m=一x2十2x(x>0)有两个实 数根，∴.x2-x十m=0,∴.△=(-1)2- 1 4X1Xm≥0，解得m≤4，当0<m≤ 时，直线y=x十m与函数y 1 一x2+2x(x>0)'的图象有两个或三 -x(x<0) 个交点，当m4时，直线y三x十m 与函数y= {一x2+2x(x>0'的图象 -x(x<0) 只有一个交点 ②当m≤0时，由图象可知，直线y= (-x2+2x(x>0), x十m与函数y= 的 (-x(x<0) 图象只有一个交点.综上，若直线y= x十m与该图象只有一个交点，则m的 取值范图为m>或m<0, 3.(1)y=2x+22)5+1 2 [解析](1)，AB⊥y轴，OC⊥y轴， ABOC.BCOA,.点A为(1,2)， B(0,2),C(一1,0)，.设直线BC的 1一k+b=0, 解析式为y=x十b,. b=2, 2 .直线BC的解析式为y=2x十2. (2)如图，过点D作DH∥OB交OC于 点H, V △cDH∽△cB0,8S-8a, 0-c”0设点 CD CD A(m,am2),则点B(0,am2),由点A的 坐标得，直线OA的表达式为y=amx, 则直线BC的表达式为y=amx十am. 联立直线BC和抛物线的表达式得amx十 m-ar,格得红-1（正位已合 则点D(5,35m小 BD DC =(yB -yD):yD 2 4.o≥号我a0[解折]令ar-2ar+号 1 x-2,即ax2-(2a+1)x+1=0, ∴.b2-4ac=[-(2a+1)]2-4a=4a2+ 1>0,二次函数y=ax2-2ax+2(a≠ 0)曲图象与直线y=x一名总有两个交 点.若这两点的横坐标x≤3，则需要分情 况讨论：①当a>0时，如图1，若二次函 数y=ax2-2ax十2(a≠0)的图象与直 线y=x一合在x<3的商分有两个交 点，则需满足当x=3时，yA≥ya,即 aXg-2a×3+≥8-7，解得a≥ 号：②当a<0时，电图2，当=3时， y-aXg-2aX3+号=3a+ 1 %=8--号w<a< 1 0.嫁上所送，当a≥号或a<0时，二次 西数y-ar2-2ax+名a≠0)的图象与 直线y=一名总有两个交点，且这两点 的横坐标均满足x≤3. 图1 图2 m=3或-1<m≤-8(n≠0) [解析]抛物线的对称轴为x=一 -2m 2m 1,当x=0时，y=2,抛物线与y轴的 交点坐标为(0,2)，顶点坐标为 ·18· (1,2-m),直线CD的表达式为y= 一1.当m>0且抛物线过点D(4,一1) 时，16m-8m+2=-1,解得m=-g 8 (不符合题意，舍去)；当抛物线经过点 (-1,-1)时，m+2m+2=-1,解得 m=-1(不符合题意，舍去)；当m>0且 抛物线的顶点在线段CD上时，2一m= 一1，解得m=3;当m<0且抛物线过点 D(4,-1)时，16m-8m+2=-1,解得 m=- 8;当抛物线经过点(-1，一1) 3 时，m十2m+2=一1，解得m=-1.综 上，m的取值范围为m=3或一1<m≤ 号m≠0. 6.-2<6<-子 [解析]由题意，当y=0 时，一x(x一2)=0，解得x1=0,x2=2, ∴.A(2,0),OA=2,.B(4,0),.C2的 解析式为y=一(x一2)(x一4)，即y= -x2十6x-8(2≤x≤4).当直线y= x十b与y=-x2十6x一8只有一个公 共点时，方程x十b=一x2十6x一8有两 个相等的实数解，方程整理为x2一5x十 b十8=0，△=（一5）2-4(b十8)=0，解得 6=- 4·当直线经过A(2,0)时，2+b习 0,解得b=一2，.直线y=x十b与C1, C2共有3个不同的交点，b的取值范围 为-2<6<-子 Bx 7.D[解析]令x=0,则y=3,则二次函 数与y轴的交点坐标为(0,3).二次函数 的对称轴是直线x=三一2 22=1.当a>0, △<0时，满足当0<x<3时对应的函数 值y均为正数，∴.△=(-2a)2-4·aX 3<0,解得0<a<3;当a<0时，令x= 3,则9a-6a十3≥0，解得a≥-1，.一1≤ a<0.综上，a的取值范围为-1≤a<0 或0<a<3. 8.≤号[解析]：0<x<1,1<x<2, 2<<是y<a>0, .点M(x1,y1)离对称轴距离更近，又 ,x1<1<x2,.M(x1,y1)与N(x2, y2)的横坐标之间的中点在对称轴的右 侧古>，即 9.解：(1)将点B(3,一3)代入y=x十b, .3+b=-3,.b=-6.将B(3,一3)代 入y=-x2+m.x-m中，.-9+3m- m=-3,.m=3. (2)由(1)可知直线解析式为y=x一6， 抛物线解析式为y=一x2十3x一3.联立 y=x一6， x=-1, 方程组 或 y=-x2+3x-3,y=-7 x=3,A(-1,-7).y=-x+ y=-3, 3x-3=-(-8）》-…当x 3 时，y取最大值为二.又~C在点A 和点B之间，-1<n≤-至 第四章三角形 第一节角、相交线与平行线 知识网络 ①射线 ②90°<a<180°③射线 ④相等 ⑤射线 ⑥相等⑦相等 ⑧90° ⑨180°0∠4 ①∠8 ②相等 ®180°④∠6 ⑤∠86∠5 ⑦线段垂直平分线上的点到这条线段两端 ,点的距离相等⑧相等©在同一平面内 四平行@同位角相等②内错角相等 ②⑧同旁内角互补@同位角相等 西内错角相等四同旁内角互补 ⑦(5) ⑧(4) 四(5)⑦结论①题设 ®结论 ⑧假④三个角对应相等的三角形全等 团假 当堂检测 1.C[解析]如图所示. .∠1+∠3=180°，∠1=125°，.∠3= 55°.AB∥CD,.∠2=∠3=55°. 2.B[解析]，·AB∥CD,∴.∠BAD= ∠1=30°..AD平分∠BAC,'.∠2= ∠BAD=30°. 3.B[解析]由题意得：BC∥DF,∠ACB= 45°，∠EDF=30°，∴.∠BCD=∠EDF= 30°.，∠BCD+∠ACB+∠ACE= 180°，.30°+45°+∠ACE=180°， ∴.∠ACE=105°，∴.∠1=105° D 4.C[解析]如图 u 4 3 .∠1=∠2=40°，∴.∠4=180°-∠1- ∠2=100°.：两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平 行，∠3=∠4=100°. 安徽十年精选 1.C[解析]如题图，在△ABC和△DEF 中，∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°， ∠C=30°，∴.∠B=90°-∠C=60°，∠F= 90°-∠E=45°.BC∥EF,∴∠MDB= ∠F=45°.在△BMD中，∠BMD=180° ∠B-∠MDB=75°. 2.C3.60° 4.如果a,b互为相反数，那么a十b=0 全国真题汇编 1.B2.A 3.C[解析]：∠AEF+∠FEB=180°， ∴∠AEF与∠FEB互补.：AB∥CD, ∴∠FGD=∠FEB,∠CGE=∠FEB, ∠AEF与∠FGD,∠CGE互补. 4.C[解析]AB∥CD,.∠BCD+ ∠ABC=180°.：∠ABC=120, ∴.∠BCD=60°. 5.C[解析]：AD∥BC,∴.∠1=∠C= 35.8°.AB⊥AC,.∠BAC=90°， ∴.∠B=90°-∠C=54.2°=5412'. 6.B[解析]：入射光线是平行光线， .∠1=∠3，由反射定律得∠3=∠4， .∠4=∠1=50° 7.B[解析]：∠3=∠1=50°，∴.∠4 90°-∠3=40°，∴∠2=∠4=40° 34④ 8.(1)证明：DE∥BC,.∠C=∠AED ∠EDF=∠C,.∠AED=∠EDF, ∴.DF∥AC,∴.∠BDF=∠A. (2)△ABC是等腰直角三角形， [解析]：∠A=45°，∴∠BDF=45 ·19· ,DF平分∠BDE,.∠BDE= 2∠BDF=90°.，DE∥BC,∴.∠B= 90°，∴.△ABC是等腰直角三角形. 9.感悟证明：过点A作AH⊥BE于点 H..'AB=AE;BC=DE,../BAH= ∠EAH,∠CAH=∠DAH,∴.∠BAC= ∠DAE. B C H D E 图1 应用 (1)解：如图，点D,E即为所求. 图2 (2)解：点D,E即为所求. 图3 第二节三角形及其性质 知识网络 ①三边都不相等的三角形 ②直角三角形 ③大于④小于 ⑤180° ⑥两个内角 ⑦任意一个内角 ⑧90°⑨∠BAC OBC①DE 1 ③相等④相等 ⑤中线和高 ⑥相等 ⑦相等 ®60° ©相等 ⑩都相等 ①60°@60 ⑧互余四一半四一半 30 @平方 ®90°四一半①平方和 ①一定②边边边 当堂检测 1.C 2.D[解析].点D,E分别是AC,BC的 中点，.DE是△ABC的中位线，.DE∥ AB,.∠B=∠CED=70°，.∠C= 180°-∠A-∠B=180°-45°-70°=65°. 3.C 4.B [解析]如图，过点A作AF∥亿. E B m .直线l∥m,∴.AF∥m.'△ABC是等