微专题(一) 数式方程与数学文化-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

<<《微专题（一） 数 类型一数学文化中的实数 1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿， 万万亿日兆.”说明了大数之间的关系：1亿 1万×1万，1兆=1万×1万×1亿.则1兆 等于 A.108 B.1012 C.1016 D.1024 2.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 355 3,它与x的误差小于0.0000003.这个数 用科学记数法表示为 类型二数学文化中的代数式 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之 外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载 的算筹，是古代的一种计算工具.算筹通常用 几寸长的小竹棍制成，摆在平面上进行运算， 有纵横两种摆放形式.如图，表示一个多位数 时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从 左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相 间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千 位、十万位用横式表示，以此类推，遇零则置 空.例如6613用算筹表示就是⊥T一川，则 2023用算筹可表示为 ) 123456789 I‖TTT而纵式 一=三≡≡上业Ⅲ皿l横式 中国古代的算筹数码 A.Il 三川 B.= 三 c.l ‖三 D. 三 4.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九 韶的著作，书中提出了已知三角形三边为a, b,c,求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并 大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜 幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅， 开平方得积.”若把以上这段文字写成公式， 微专题（一） 数式方程与数学文化 式方程与数学文化>》 即为S= 现有 周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4: 3:2,则用以上给出的公式求得这个三角形的 面积为 5.如图1，将长为2a十3、宽为2a的矩形分割成 四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如 图2)，得到大小两个正方形 (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形 的边长； (2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？ -2a+3 图1 图2 类型三数学文化中的一元一次方程 6.(2024·无锡)《九章算术》中有一道“凫雁相 逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞 到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要 9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起 飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下 列方程正确的是 1 A.7x+gx=1 B-g=1 C.9x+7x=1 D.9x-7x=1 7.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个 问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不 足四.问人数、物价各几何？”其大意是：今有 33 几个人共同出钱购买一件物品，每人出8钱， 剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱.问人数、物 品的价格各是多少？请你求出以上问题中的 人数和物品的价格. 类型四数学文化中的二元一次方程（组） 8.《九章算术》中的问题：“五只雀、六只燕，共重 1斤（古代1斤=16两），雀重燕轻，互换其中 一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为 多少两？”现列方程组求解，设未知数后，小明 列出其中一个方程为4x+y=5y+x,则另一 个方程应为 A.6x+5y=16 B.5x+6y=16 C.4y+x=5x+y D.x+y=16 9.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样 一个题目：“九百九十九文钱，甜果苦果买一 千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦 两果各几个？”其大意是：用九百九十九文钱 共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以 买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个.问苦 果、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y 个，则可列方程组为 () x+y=1000, x+y=1000, A.4 11 7x+ 9y=999 B.7 9 4x+1y =999 34 x+y=1000, x+y=1000, D. 7x+9y=999 4x+11y=999 类型五数学文化中的分式方程 10.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图， 它的局部画面装裱前是一个长为2.4m,宽 为1.4m的矩形，装裱后，整幅图画宽与长 的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边 衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为 xm,根据题意可列方程为 () 1.4-x8 A. B1.4+x8 2.4-x13 2.4+x13 1.4-2x8 C.2.4-2x13 D 1.4+2x=8 2.4+2x13 第10题图 第12题图 11.(2024·吉林二模)《孙子算经》中记载了一 道数学问题，其部分译文为：现有甲、乙两 人，所带钱数不详，如果甲得到乙的钱数的 一半，甲就有了48钱：若乙得到甲钱数的号， 则乙的钱数也为48.设甲、乙各带了x钱、 y钱，则可列二元一次方程组为 类型六数学文化中的一元二次方程 12.“指尖上的非遗一麻柳刺绣”，针线勾勒之 间，绣出世间百态.如图是在一幅长80cm、 宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同 的边框而制成的一幅矩形挂图，且整个挂图 的面积是6300cm2.设边框的宽度为xcm, 则列出的方程为 A.(60+x)(80+x)=6300 B.(60-x)(80-x)=6300 C.(60+2x)(80+2x)=6300 D.(60-2x)(80-2x)=6300 第二章方程（组）与不等式（组）xa-2 3 x=2是关于x的不等式 3江-a+2>0的-个解g2<2,解 得a<8,∴.a可取的最大整数为7. 3.D[解析]一1<2a一b<1,b=-a+ 2,.-1<2a+a-2<1,.-1<3a 21,整理得1K3a<3写<a<1,故 选项A正确，不符合题意.b=一a十2， a=2-6.:<a<1<2-6< 1.1<6<号，放选项B正魔，不符合 海意.：写<a<1,1<b号a<1< b.∴.a一b<0,故选项C正确，不符合题 意.6=-a+2,6-11=26-2 a+1 2 2a+2 a+1 2(-a+2)-2-a-1 2a+2 2a+2 -2a+4-2-a-1_-3a+1… 2a+2 2a+2· 3 a<1,.-3a+1<0,2a+2>0. .-3a+1 2a+2 0,项D 错误，符合题意. 4.3.x+65x 5.-3<a<2[解析].点M(a-2,a十 a-2<0, 3)在第二象限， 解得一3< a+3>0, a<2,即a的取值范围是-3<a<2. 6.解：(1)设A种商品的售价为x元，B种 商品的售价为y元，根据表格得 20x+10y=560, x=20, 解得 ∴.A种 15x+15y=540, y=16. 商品的售价为20元，B种商品的售价为 16元. (2)设销售A商品m件，则销售B商品 (40-m)件，得(20-14)m+(16 12)(40-m)≥210，解得m≥25.答：至 少销售A商品25件. 安微十年精选 1.≥5[解析]23>≥1，x-3≥2，x≥ 3+2,x≥5. 2.解：去分母，得x一1一3>0，移项及合并 同类项，得x>4. 3.C[解析]，a-b十1=0，.b=a十1. .0<a+b+1<1,∴.0<a+a十1+1< 1,脚0<2a+2<1-1<a<-分，故 选项A错误.b=a十1，-1<a< -,0<6<日，放选项B婚混.由 1<a<-号得，-2<2a<-1,-4< 4a<-2,由0<b<2得，0<46<20< 2b<1,.-2<2a+4b<1,-4<4a+2b <一1，故选项C正确、选项D错误. 4.A 【变式训练】 B[解析]由题意，可得x≤m十1，根据 图示，不等式的解集是x≤3，.m十1= 3,解得m=2. 全国真题汇编 1.A 2.D[解析]a>b-1,不等式两边同时加 1可得a十1>b,故A不合题意，D符合 题意；根据a>b一1，得不到a一1<b, a>b,故B,C不符合题意. 3.解，-1<22,2x+1D-6≤32 3 x),2x+2-6≤6-3x,2x+3x6+ 6-2,5x≤10，x≤2，其解集在数轴上表 示如下： -5-4-3-2-1012345 3x-2<2x…①， 4.C[解析] 解不 2(x+1)≥x-1…②， 等式①，得x<2;解不等式②，得x≥ 3.将两个不等式的解集表示在数轴上 如下： -302 |x+221…①， 5.一1（答案不唯一）[解析]. 2x-15…②， 由①得x≥-1，由②得x<3,∴.不等式 组的解集为一1≤x<3,.不等式组的 一个整数解为一1. 6.解：解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<2,故原不等式组的解集为1≤x<2. 7,解：设可购买这种型号的水基灭火器 x个，则购买千粉灭火器(50-x)个，根 据题意得，540x+380(50-x)≤ 21000,解得x≤12.5.x为整数，x 取最大值12.∴.最多可购买这种型号的 水基灭火器12个. ·6· 微专题（一） 数式方程与数学文化 1.C[解析]1亿=104×10=10,1兆= 10×104X108=104+4+8=1016. 2.3×10-7 3.D[解析]2023的千位上是2，用横式 表示，即为=；百位上是0，则置空；十位 上是2，用横式表示，即为=；个位上是 3,用纵式表示，即为川. 4.3√15[解析]根据a：b：c=4:3: 2,设a=4k,b=3k,c=2k,则4k十3k+ 2k=18,解得k=2,.a=4k=4X2=8, b=3k=3×2=6,c=2k=2X2=4, s=√分××-（干g门 =,×[16×64-484]=315. 5.解：(1)，直角三角形较短的直角边长为 2a×号=a,校长的直角边长为2a十3， 2 。小正方形的边长为直角三角形的较长 直角边与较短直角边的差，即2a十3一 a=a+3. (2)小正方形的面积为边长的平方，即 S小正方形=(a十3)2，当a=3时，S小正才形= (3+3)2=36. 6.A 7.解：设人数为x.由题意，得8x一3=7x十 4,解得x=7,∴.8×7一3=53..有7 人，物品的价格是53钱. 8.B[解析]，由题知小明列出其中一个 方程为4x十y=5y十x,.每只雀重x 两，每只燕重y两.五只雀、六只燕，共 重1斤，.另一个方程为5x+6y=16. 9.A 10.D x+ 2y=48, 11. 3x+y=48 12.C[解析]当边框的宽度为xcm时， 矩形挂图的长为(80十2x)cm,宽为 (60+2x)cm,得(60+2x)(80+2x)= 6300. 第三章 函数与图象 第一节平面直角坐标系及函数 知识网络 ①x<0,y>0②x<0,y<0 ③x>0,y<0④相等⑤互为相反数 ⑥纵⑦横⑧(a-h,b)⑨(a十h,b)