第二章 第四节 一元一次不等式(组)及其应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

第四节一元一次不等式（组）及其应用 知识网络 若a>b,则a士c>b土c 若a>b,c>0,则ac>bc,a① b c 不等式的性质 若a>b,c<0,则ac② 如果a>b,那么b<a.如由3>x,得x③ 如果a>b,b>c,那么a④ c 根据：不等式的性质 步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、⑤ [注意：去分母或者系数化为 解一元一次 1时，如果不等式两边同除以（或乘）的是负数，不等号要⑥ 方向] 不等式 解集：x<a 哑 在数轴上表示：0a 解集：⑦ 哑 在数轴上表示：101a 在数轴上表示不等式的解集〈 解集：⑧ N→ 在数轴上表示：0a 元 解集：x≥a 在数轴上表示：1.1严 定义：由两个含有同一未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫一元一 不等式 次不等式组 般解题步骤：分别求出不等式组中各个不等式的解集，再在数轴上表示出各 组) 解一元一次 不等式的解集，然后利用数轴或根据口诀确定不等式组的解集 其 不等式组 x>a, x<a, x<a, |x>a, 用 类型(a>b) x>b x<b x>b x<b 解集 x>a x<b ⑨ 无解 解集的类 型及表示 在数轴上 A哑 哑 二 的表示 a b a b a b a 小大大小 大大小小 口诀 同大取大 同小取小 取中间 取不了 审：找出题目中的不等关系，抓住关键词，如：至少、最多、不低于、不 大于、不小于 一般解设：根据问题的要求设出未知数 题步骤列：根据不等关系，列出不等式 一元一次不 解：解不等式，求出解集 等式的应用 答：根据题意作答（要注意所取值要符合实际意义） 常考题型：常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案、最小成本等 第四节一元一次不等式（组）及其应用 29 基础考点讲练 名师讲解Q, 每次网购数量 1~99个 100个以上（含100 快递费用 商品总价的10% 免费 典例1 价格优惠 不优惠 优惠10% 解不等式：2-5x-2、3x十1 3 4 (1)已知该店分两次网购该种模型，共花费 【解析】解不等式，就是求出这个不等式的解 3840元，则两次网购模型各多少个？ 集的过程.按照先去分母，再去括号，移项，合并 (2)若该店一次性购进该批模型，再以每个 同类项，最后将未知数的系数化为1的基本步 27元的价格出售.在第九个“中国航天日” 骤求出不等式的解集 来临之际，每个模型以m折出售，要使每个 【答案】去分母，得24-4(5x-2)>3(3x+1), 模型的利润率不低于5%，则最低可打 去括号，得24-20x十8>9x十3，移项，得-20x 几折？ 【解析】(1)设两次网购模型各x个、y个(x≤ 9x>3一8-24，合并同类项，得-29x>-29,系 y),求出当x=y=100时的所需费用，由该值 数化1，得x<1 小于3840，可得出x<100,y>100.根据两次 【易错提醒】解决此类不等式的关键是去分 网购模型200个共花费3840元，可列出关于 母时别忘了把常数项也乘公分母.与解一元 x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论 次方程不同的是，系数化为1时，不等号的方 售价一进价 向有可能要改变 (2)利用利润率= 进价 ×100%,结合每 典例2(2024·扬州) 个模型的利润率不低于5%，可列出关于m的 2x-60, 一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得 解不等式组 <4红。1，求出它的所有整数解 出结论. 2 【答案】解：(1)设两次网购模型各x个、y个 的和 (x≤y),当x=y=100时，所需总金额为20X 【解析】先分别求出两个不等式的解集，再求 (1-10%)×200=3600(元)，3600<3840， 其公共解，然后求出整数解的和即可. ∴.x<100,y>100.得 【答案】解：解不等式2x一6≤0，得x≤3；解不 x十y=200, 等式<42，得>则不等式组的解集为 20×(1+10%)x+20×(1-10%)y=3840, 2 x=60, 解得 .两次网购模型各60个、140个 「2<x≤3，所以整数解为1,2,3，整数解的和 y=140. (2)根据题意得，27×0.1m-一20X1一10%)≥ 为6. 20×(1-10%) 典例3 5%,解得m≥7，.m的最小值为7..最低可打 随着我国航天事业的蓬勃发展，相关航天商品 七折 备受青睐.某店抓住商机，从某网店购进每个标 【点评】解题的关键：(1)找准等量关系，正确 价20元的航天模型共200个，已知该网店的快 列出二元一次方程组.(2)根据各数量之间的 递费和优惠率如表： 关系，正确列出一元一次不等式， 30 第二章方程（组）与不等式（组） 6.下表是某商店3月份某天销售A,B两种小 当堂检测 商品的账目记录， 1.已知a>b,则一定有一4a☐-4b,“☐”中应 销售数量/件 填的符号是 总销售金额/元 A B A.> B.< C.≥ D.= 第一天 20 10 560 2.若x=2是关于x的不等式3x一a+2>0的 第二天 一个解，则a可取的最大整数为 15 15 540 A.10 B.9 C.8 D.7 (1)求A,B两种商品的售价； 3.(2024·包河区二模)已知实数a,b满足b= (2)若A的进价为14元/件，B的进价为 一a十2，一1<2a-b<1,则下列结论不正确 12元/件，某天共卖出两种商品40件，且 的是 ( 两者总利润不低于210元，则至少销售A A.a>0 R1<号 商品多少件？ C.a-b<0 D b-1、1 a+12 4.用适当的符号表示“x的3倍与6的和不大于 x的5倍”为 5.若点M(a-2,a十3)在第二象限，则a的取 值范围为 安徽十年精选 考点①解一元一次不等式 考点③在数轴上表示不等式（组）的解集 1.202·令藏)不等式3≥1的解集为 4.(2023·安徽)在数轴上表示不等式，1<0的 2 解集，正确的是 ( 2.(2021·安撤)解不等式：号-1>0. -2-1012345 -2-1012345 A B -2-1012345 -2-1012345 O 0 【变式训练】 考点②不等式的性质 关于x的一元一次不等式x一1≤m的解集在 3.(2024·安徽)已知实数a,b满足a一b十1=0， 数轴上的表示如图所示，则m的值为() 0<a十b+1<1,则下列判断正确的是() 1 1 -10123 A.-2<a<0 B.2<b<1 A.3 B.2 C.-2<2a+4b<1 D.-1<4a+2b<0 C.1 D.0 第四节一元一次不等式（组）及其应用 31 全国真题汇编 考点①不等式的基本性质 1.(2024·长春)不等关系在生活中广泛存在.如 图，a,b分别表示两位同学的身高，c表示台阶 的高度.图中两人的对话体现的数学原理是 ( 5.(2024·山东)写出满足不等式组 我比你高 你还是比我高 x+2≥1， 的一个整数解 2x-1<5 6. (2024· 甘肃)解不等式 [2x+1≥x+2…①， A.若a>b,则a十c>b十c 组 B.若a>b,b>c,则a>c 2r-1+-②. C.若a>b,c>0,则ac>bc D若a0c>0,则名 2.(2024·苏州)若a>b一1，则下列结论一定正 确的是 () A.a+1<6 B.a-1<6 考点④一元一次不等式的简单应用 C.a>b D.a+1>6 7.(2024·山西)为加强校园消防安全，学校计划 考点②解一元一次不等式 购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共 3(2024·眉山廊不等式，产-122把它 50个.其中水基灭火器的单价为540元/个， 干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买 的解集表示在数轴上 这两种灭火器的总价不超过21000元，则最 多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ -5-4-3-2-1012345 水基灭火器干粉灭火器 考点③解一元一次不等式组 4.（2024 ·赤峰)解不等式组 13x-2<2x…①， 时，不等式①和不等式 2(x+1)≥x-1…② ②的解集在数轴上表示正确的是() 32 第二章方程（组）与不等式（组）0中..a=1,b=m,c=-2,.△=m2十 8>0,∴.方程有两个不相等的实数根 6.B[解析]关于x的一元二次方程 2x2一3x十k=0有实数根，.△= （一3)2-4X2X≥0，解得≤号 7.A[解析]，关于x的一元二次方程 (m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的 m十1≠0， 实数根， 解得m<0 4-4(m+1)>0, 且m≠一1. 8.A[解析]关于x的一元二次方程 x2十2x十p=0两根为x1,x2,.x1十x2= -2,x1,=p.1+1=3,1+2- xIx2 3,即，=3，俗得p=-号 9.14[解析]x1,x2是一元二次方程 x2一3x一5=0的两个实数根，.x1十 x2=3,x1·x2=-5..(x1-x2)2十 3x1x2=x1十x1x2十x=(x1十x2)2- x1x2=32-(-5)=14. 10.(1)证明：x2-(m十2)x+m-1=0,易 知a=1,b=-(m+2),c=m-1, .△=b2-4ac=[-(m+2)]2-4× 1×(m-1)=m2+8.m2≥0，.△= m2十8>0，.无论m取何值，方程都有 两个不相等的实数根 (2)解：设方程x2-(m十2)x+m-1= 0的两个实数根为x1,x2.则x1十x2= m十2，x1x2=m-l.x7+x号-x1x2 =9,即(x1十x2)2-3x1x2=9,∴.(m十 2)2一3(m-1)=9,整理得m2+m一2 =0,.(m十2)(m-1)=0,解得m1= -2,m2=1.∴.m的值为-2或1. 11.C[解析]设BC长为xm,则AB的 长为2(10+1-x)m,根据题意得 210+1-x)z=15,解得x=5安 x=6(6>5.5,故舍去)，故BC长为 5m. 12.10% 13.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为 y=kx十b,结合表格数据知图象过点 45k+b=55, (45,55),(55,45), 55k+b=45. ,k=-1:所求画数关系式为y (b=100, -x+100. (2)由题意，销售额w=x(一x十100)= -x2十100x,若销售额是2600元，则 2600=-x2+100x,.x2-100x+ 2600=0.又，△=(-100)2-4×2600= 10000-10400=一400<0，.方程没 有解，·该商品日销售额不能达到 2600元. 第三节分式方程及其应用 知识网络 ①未知数②最简公分母③最简公分母 ④不为零⑤增根 当堂检测 x-2 1.D[解析]方程整理得22-1一 2x1,去分母得x-2-(2x-1)= 1.5 -1.5. 2D【架折12。子安分母袋-3 a一x,.x=a十3.分母不能为0，∴.a十 3≠4，解得a≠1.，x>0,a十3>0， .a>-3,∴.a>-3且a≠1. 1012 3. =x+0.4 [解析]设A型充电桩的 单价是x万元，则B型充电桩的单价为 (x十0.4)万元，得2=x+0.4 ,1012 4.解：设枇杷每千克的进价为x元，则樱桃 每千克的进价为3x元，由题意得， 3600_3600=200,解得x=12.经检 3x 验x=12是所列方程的解，且符合题意， .3x=36.所以樱桃每千克的进价为 36元. 安徽十年精选 1.D 2.解：(1)4000+25x. (2)若购买的两种球拍数一样，根据题 意，得2000=2000+25z 2+20,解得x1 40,x2=-40.经检验，x1=40,x2= 一40都是原方程的解，但x2=一40不 合题意，舍去，故x=40. 全国真题汇编 1.x=一3[解析]原方程去分母得x2- x=x2-2x一3，解得x=一3，检验：当 x=-3时，(x-1)(x一3)≠0，故原方 ·5· 程的解为x=一3. 2.(2,一1)（答案不雌一）[解析]根据题 意得，1十1=十卫-】，即x十y= y Ty 1.当x=2,y=一1时，“美好点”的坐标 为(2，一1).（答案不唯一，满足x十y=1 且x≠0，y≠0即可). 3.解：方程两边都乘(x十1)(x-1),得2十 x(x+1)=(x十1)(x-1),解得x= 一3.检验：当x=一3时，(x十1)(x一1)≠ 0,所以分式方程的解是x=一3. 4.A[解]上- =0,去分母得， x+1-mx=0,x-mx=-1,(1-m)x= 1,“x三白关于x的分式方程 1 m xx+1 =0的解是负数，.m-1<0 且x≠一1，解得m<1且m≠0. 5.C 6.解：设该市谷时电价为x元/度，则该市 峰时电价为(x十0.2)元/度，根据题意 得， 50 30 x+0.2x ,解得x=0.3.经检验， x=0.3是所列方程的解，且符合题意. .该市谷时电价为0.3元/度 7.解：(1)由题意，设甲队平均每天修复公 路xkm,则乙队平均每天修复公路(x十 60 90 3)km,则= 十3，解得x=6.经检 验，x=6是原方程的解..x十3=9. ,.甲队平均每天修复公路6km,乙队平 均每天修复公路9km. (2)设甲队的工作时间为m天，则乙队 的工作时间为(15一m)天，15天的工期 两队能修复公路0km.由题意得，w= 6m+9(15-m)=-3m+135.又m≥ 2(15-m),m≥10..-3<0，.w随 m的增大而减小..当m=10时，取 最大值，最大值为一3×10+135=105. ∴.15天的工期，两队最多能修复公路 105km. 第四节一元一次不等式（组）及其应用 知识网络 ①> ②<③<3④>⑤系数化为1 ⑥改变⑦x>a ⑧x≤a⑨b<x<a 当堂检测 1.B 2.D[解析]解不等式3x一a+2>0,得 xa-2 3 x=2是关于x的不等式 3江-a+2>0的-个解g2<2,解 得a<8,∴.a可取的最大整数为7. 3.D[解析]一1<2a一b<1,b=-a+ 2,.-1<2a+a-2<1,.-1<3a 21,整理得1K3a<3写<a<1,故 选项A正确，不符合题意.b=一a十2， a=2-6.:<a<1<2-6< 1.1<6<号，放选项B正魔，不符合 海意.：写<a<1,1<b号a<1< b.∴.a一b<0,故选项C正确，不符合题 意.6=-a+2,6-11=26-2 a+1 2 2a+2 a+1 2(-a+2)-2-a-1 2a+2 2a+2 -2a+4-2-a-1_-3a+1… 2a+2 2a+2· 3 a<1,.-3a+1<0,2a+2>0. .-3a+1 2a+2 0,项D 错误，符合题意. 4.3.x+65x 5.-3<a<2[解析].点M(a-2,a十 a-2<0, 3)在第二象限， 解得一3< a+3>0, a<2,即a的取值范围是-3<a<2. 6.解：(1)设A种商品的售价为x元，B种 商品的售价为y元，根据表格得 20x+10y=560, x=20, 解得 ∴.A种 15x+15y=540, y=16. 商品的售价为20元，B种商品的售价为 16元. (2)设销售A商品m件，则销售B商品 (40-m)件，得(20-14)m+(16 12)(40-m)≥210，解得m≥25.答：至 少销售A商品25件. 安微十年精选 1.≥5[解析]23>≥1，x-3≥2，x≥ 3+2,x≥5. 2.解：去分母，得x一1一3>0，移项及合并 同类项，得x>4. 3.C[解析]，a-b十1=0，.b=a十1. .0<a+b+1<1,∴.0<a+a十1+1< 1,脚0<2a+2<1-1<a<-分，故 选项A错误.b=a十1，-1<a< -,0<6<日，放选项B婚混.由 1<a<-号得，-2<2a<-1,-4< 4a<-2,由0<b<2得，0<46<20< 2b<1,.-2<2a+4b<1,-4<4a+2b <一1，故选项C正确、选项D错误. 4.A 【变式训练】 B[解析]由题意，可得x≤m十1，根据 图示，不等式的解集是x≤3，.m十1= 3,解得m=2. 全国真题汇编 1.A 2.D[解析]a>b-1,不等式两边同时加 1可得a十1>b,故A不合题意，D符合 题意；根据a>b一1，得不到a一1<b, a>b,故B,C不符合题意. 3.解，-1<22,2x+1D-6≤32 3 x),2x+2-6≤6-3x,2x+3x6+ 6-2,5x≤10，x≤2，其解集在数轴上表 示如下： -5-4-3-2-1012345 3x-2<2x…①， 4.C[解析] 解不 2(x+1)≥x-1…②， 等式①，得x<2;解不等式②，得x≥ 3.将两个不等式的解集表示在数轴上 如下： -302 |x+221…①， 5.一1（答案不唯一）[解析]. 2x-15…②， 由①得x≥-1，由②得x<3,∴.不等式 组的解集为一1≤x<3,.不等式组的 一个整数解为一1. 6.解：解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<2,故原不等式组的解集为1≤x<2. 7,解：设可购买这种型号的水基灭火器 x个，则购买千粉灭火器(50-x)个，根 据题意得，540x+380(50-x)≤ 21000,解得x≤12.5.x为整数，x 取最大值12.∴.最多可购买这种型号的 水基灭火器12个. ·6· 微专题（一） 数式方程与数学文化 1.C[解析]1亿=104×10=10,1兆= 10×104X108=104+4+8=1016. 2.3×10-7 3.D[解析]2023的千位上是2，用横式 表示，即为=；百位上是0，则置空；十位 上是2，用横式表示，即为=；个位上是 3,用纵式表示，即为川. 4.3√15[解析]根据a：b：c=4:3: 2,设a=4k,b=3k,c=2k,则4k十3k+ 2k=18,解得k=2,.a=4k=4X2=8, b=3k=3×2=6,c=2k=2X2=4, s=√分××-（干g门 =,×[16×64-484]=315. 5.解：(1)，直角三角形较短的直角边长为 2a×号=a,校长的直角边长为2a十3， 2 。小正方形的边长为直角三角形的较长 直角边与较短直角边的差，即2a十3一 a=a+3. (2)小正方形的面积为边长的平方，即 S小正方形=(a十3)2，当a=3时，S小正才形= (3+3)2=36. 6.A 7.解：设人数为x.由题意，得8x一3=7x十 4,解得x=7,∴.8×7一3=53..有7 人，物品的价格是53钱. 8.B[解析]，由题知小明列出其中一个 方程为4x十y=5y十x,.每只雀重x 两，每只燕重y两.五只雀、六只燕，共 重1斤，.另一个方程为5x+6y=16. 9.A 10.D x+ 2y=48, 11. 3x+y=48 12.C[解析]当边框的宽度为xcm时， 矩形挂图的长为(80十2x)cm,宽为 (60+2x)cm,得(60+2x)(80+2x)= 6300. 第三章 函数与图象 第一节平面直角坐标系及函数 知识网络 ①x<0,y>0②x<0,y<0 ③x>0,y<0④相等⑤互为相反数 ⑥纵⑦横⑧(a-h,b)⑨(a十h,b)