第二章 第一节 一次方程(组)及其应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

1 1 (x+1) -a I-x x+10-z=x+1, x+1 a6=-1 xQ。=十1，…，每三个为 一个循环.，”2024÷3=674…2， 6.a2a4=、l 7.解：原式= (a-b)2 a-b a-b'(a十b)(a-b)a+b a a-b b a+b a+b -a+66-2a=0,b= 2a = 2a,原式-+2a 3 8.解：(1)由题意可得，P。=a-b)a-c)十 Bo c (b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)= 1 1 a-ba-c)十b-c)6-a)十c-a)c-b (2)由题意可得，P=(a-b)a-c)+ 61 c (b-c)(b-a) 十 (c-a)(c-b) a b (a-b)(a-c) 十 (b-c)(a-b) ab-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-c)(b-c) (a-b)6-c)(a-c) ab-ac-ab+bc+ac-bc 三 (a-b)(b-c)(a-c) 0 (a-b)(b-c)(a-c)=0. 第四节二次根式 知识网络 02®660号 ⑤√ab a 当堂检测 1.A[解析]，√2若= .14 64 8 5 2.C[解析]√2与√3不能合并，故A错误； 4√3-3√3=(4-3)W3=√3，故B错误： √2X3=√2X3=√6，故C正确；√12 ÷2=2√3÷2=√3，故D错误. 3.A4.4 5.12[解析].a=√3+1，b=√3-1，.a+ b=√5+1+√5-1=2√5，∴.a2+2ab+ b2=(a+b)2=(23)2=12. 6察：0愿式=-√分×8+ 4√2=2W2-2+4√2=6√2-2. (2)原式=5+35-√5-3-4-25= -2. 安徽十年精选 1.1[解析]4<5<9，.2<√5<3， .1<5一1<2，即5-1介于整数1和 2之间，.n=1. 2.B[解析].4<5<9，.2<√5<3.又5 和4比较接近，∴.√5最接近的整数是2， .与1十√5最接近的整数是3. 3.3 4.解：原式=1+2+4=7. 全国真题汇编 1c>1[解析]：代数式3在实数 √x- 范围内有意义，.x一1>0，解得x>1. 2.C3.3 4.1[解析]"√/2x-1=1,.2x-1=1, .x=1. 5.B[解析]m=√27-√3=33-√3= 23=12.√9<12<√16，∴.3< √12<4，即实数m的范围是3<m<4. 6.C[解析]S=√2×5=√10.9< √J10<16,.3<√10<4，即S在整 数3和4之间. 7.一23[解析]原式=2√3-√48= 2√3-43=-2√3」 8.10 √3+1 9.解：原式= +2-√3+ (5-1)(5+1) +-1-+2-++ -1=2. 10.解：原式=1+2反-2×2+反= 3√2. 第二章方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 知识网络 ①b士c②c③久④c⑤整式 c ⑥合并同类项⑦系数化为1 ·3· ⑧代入消元法⑨加减消元法 当堂检测 1.C[解析]因为小明同学设有x辆车， 人数为y,若2人坐一辆车，则9人需要 步行，所以y=2x十9；又因为第二个方 程右边为“(x一2)”与“3”相乘，说明x 辆车中有两辆是空的，坐满人的车是 (x一2)辆，3(x一2)说明每辆车坐三人，即 y=3(x-2). 2.(1)解：去分母，得3(x一3)一(x一1)= 6.去括号，得3x一9一x十1=6.移项、合 并同类项，得2x=14.系数化为1，得 x=7. 4x+y=5…①， (2)解：方程组整理得 3x+2y=15…②， ②-①X2,得-5x=5,解得x=-1.把 x=-1代入①，得-4十y=5,解得 x=-1, y=9,则方程组的解为 y=9. 3.解：设汽车每小时行驶xkm,拖拉机每 小时行驶ykm.根据题意， 4(x+y)=160, x=90, 得 解得 2=(1+2), y=30. 90×(传+2）=165(km),30× (传+）-85(km).汽车行驶了 165km,拖拉机行驶了85km. 安徽十年精选 1.D [解析]等式6=台a+ 5c的两边同 乘5，得5b=4a十c.条件无法推断a,b, c的大小关系，故A、B不正确；去括号， 得a一b=4b一4c,根据等式的性质，得a 十4c=5b,故C不正确；去括号，得a一c= 5a-5b,两边同时减去5a,得一4a-c= -5b,两边同时乘-1，得4a十c=5b,故 D正确. 【变式训练B 2.解：设A种农作物的种植面积是x公 顷，B种农作物的种植面积是y公顷，得 4x+3y=24, x=3, 解得 .A种农作 8x+9y=60, y=4. 物的种植面积是3公顷，B种农作物的 种植面积是4公顷. 3.解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单 价分别为x,y元，根据题意，得 1x+10=y, x=40, 解得 x(1+10%)+1=y-5, y=50. ,调整前甲、乙两地该商品的销售单价 分别为40元、50元. 4.(1)1.25x+1.3y (x十y=520, (2)解：由题意得， 1.25x+1.3y=520+140, x=320, 解得 .1.25x=400,1.3y= y=200. 260.答：2021年进口额是400亿元，出 口额是260亿元. 5.解：设甲工程队每天掘进xm,则乙工程 队每天掘进(x一2)m,由题意，得2x十 (x十x一2)=26，解得x=7,.乙工程 队每天据进5m, 146-26 7+5 =10(天). 答：甲、乙两个工程队还需联合工作10天 【变式训练】 C[解析]设截成10cm的导线x根， 截成20cm的导线y根.根据题意，得 10x+20y=150,∴.x=15-2y.15- 2y≥1，y≤7.y是正整数，.y的值 为1,2,3,4,5,6,7，即截取方案共有 7种. 6.解：设城中有x户人家.根据题意，得 z十号x=10,解得工=75.签：城中有 75户人家. 【变式训练】D 全国真题汇编 1.C x=a 5x-3y=28, 2.C[解析]把 代入 y=b y=-3x, 5a-3b=28…①， 得 把②代入①得5a一 b=-3a…②， 3×(-3a)=28,5a+9a=28,14a=28, a=2.把a=2代入②得b=一6，.a十 b=2+(-6)=-4. 3.D 2x-y=5…①， 4.解： ①X3+②得 (4x+3y=-10…②， 10x=5,解得x=合起x=号代入① 得2X号-y=5,解得y=-4,所以方 程组的解是 x2' y=-4. 5.解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键 |x+y=88, 的个数为y个，得 解得 x-y=16, x=52, 答：白色琴键的个数为52个， y=36, 黑色琴键的个数为36个. 6.解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出 黄金x克，白银y克.根据题意，得 |y=x+760, x=240, 解得 所以从 2.5x=0.6y. y=1000. 每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 克，白银1000克. 第二节 一元二次方程及其应用 知识网络 ①a≠0②一次项系数一半的平方 ③-b±V6-4ac ④b2-4ac 2a ⑤两个不相等⑥两个相等⑦△<0 当堂检测 1.A2.A 3.一4[解析]把x=m代入方程，则m2+ 4m-1=0,m2+4m=1,.∴.(m+5)(m- 1)=m2-m+5m-5=m2+4m-5= 1-5=-4. 25 4.m≤8 [解析]“关于x的一元二次方 程2x2一5x十m=0有两个实数根， △=(-5)2-8m≥0，解得m≤8 25 5.(x-3)(x-2)=56 6.解：x2-2x=2x+1,.x2-4x=1, .x8一4x+4=1+4,即(x一2)2=5， ∴x-2=±5，.x1=2十5，x2=2-5, 7.解：(1)设售价应定为x元，则每件的利 润为(x一40)元，日销售量为20十 10(60-x）=(140-2x)件，依题意，得 5 (x-40)(140-2x)=(60-40)×20,整 理得x2-110x+3000=0,解得x1= 50,x2=60(舍去)，.售价应定为50元. (2)设该商品打y折销售.根据题意，得 62.5x0≤50，解得y≤8，演商品至 少需打八折销售. ·4· 安徽十年精选 1.解：x2-2x=3,x2-2x-3=0,(x-3)· (x+1)=0,.x1=3,x2=-1. 【变式训练】 C[解析]x2+6x+c=0,x2+6x= -c,x2+6x+9=-c+9,(x+3)2= -c+9.(x+3)2=2c,.2c=-c+9, 解得c=3. 2.2 3.A[解析]原方程整理为x2+(a十1)x= 0,△=(a+1)2-4×1×0=(a+1)2,由 一元二次方程有两个相等的实数根，得 △=0，即(a+1)2=0,解得a1=a2=-1. 【变式训练】 C[解析].△=(2a)2-4×1X(a2一1)= 4a2-4a2+4=4>0,.关于x的-元二 次方程x2十2ax十a2一1=0有两个不相 等的实数根. 4.D[解析]第一次降价后的价格为25× (1一x);第二次降价后的价格为25× (1一x)2.两次降价后的价格为16元， .25(1-x)2=16. 全国真题汇编 1.A[解析].关于x的一元二次方程 (a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x= 0,.a2-4=0且a十2≠0，解得a=2. 2.3[解析]y2-x=0,∴y2=x≥0. x2-3y2+x -3=0,.x2-3x十x- 3=0,即x2一2x一3=0，解得x1=3, x2=一1（舍去），即x的值为3. 3.C[解析]x2一10x+21=0,(x-3)(x一 7)=0,解得x1=3,x2=7.当等腰三角 形的边长是3,3,7时，3+3<7，不符合 三角形的三边关系，舍去：当等腰三角形 的边长是7,7,3时，这个三角形的周长 是7+7+3=17. 4.解：(1)x2-4x+3=0,.(x-1)(x-3)= 0,即x-1=0或x-3=0,x1=1, x2=3. (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三 边=√3一1=2√2；当1和3是直角 三角形的直角边长时，第三边= √1+32=√10，.第三边的长为2√2 或√/10. 5.A[解析]关于x的方程x2+mx一2=〈《第二章 方程（组）与不等式（组）>》 第一节 一次方程（组）及其应用 知识网络 如果a=b,那么a士c=① a 如果a=b,那么ac=② =③ (c≠0) 等式的性质 c 如果a=b,那么b=a 如果a=b,b=c,那么a=④ 次 方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，只含有一个未知数的方程的解 程 组 也叫方程的根 概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是⑤ 的方程 元一次方程 其 解法步骤：去分母→去括号→移项→⑥ →⑦ 用 概念：由两个一次方程组成的含两个未知数的方程组 基本思想：消元 将二元一次方程组转化为一元一次方程 二元一次方程组 ⑧ 常用方法 ⑨ 次方程（组）的应用：审→设→列→解→验→答 基础考点讲练 (1).x,y互为相反数，∴.x十y=0,∴.2a一2十 名师讲解Q 4-a=0,∴.a=-2. 典例1 (2024·利辛县期末) (2)9x。3=27,∴.32x。3=33,.32x+y=33, |x十y=2+a…①， ∴.2x+y=3,∴.2(2a-2)+4-a=3,∴.a=1, 已知关于x,y的方程组{ x-y=3a-6…②， ∴.(a-1)2024=0. (1)若x,y互为相反数，则a= 典例2 (2)若x,y满足9·3=27，则(a-1)224= 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的 业余文化生活，计划出资500元全部用于采购 【解析】解方程组得到x=2a一2，y=4一a. A,B,C三种图书，A种每本30元，B种每本 (1)由x,y互为相反数，得到2a一2+4-a=0, 25元，C种每本20元.若其中A种图书至少买 求出a=2.(2)由9·3'=27，得到2x十y=3, 5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购 因此2(2a-2)+4-a=3,求出a=1,得到(a 的方案有 1)2024=0. A.5种 B.6种 【答案】解：①十②得x=2a-2,①-②得y=4一a. C.7种 D.8种 16 第二章方程（组）与不等式（组） 【解析】当购买5本A种图书时，设购买x本 0.5x一11；该企业采取第②种优惠方式所购智 B种图书，y本C种图书，根据题意，得30×5十 能机器人的总价x(万元)与结清余款所需的月 数n2之间的关系为0.8(x一15)=2n2,即n2= 25x+20y=500,∴.x=14- 5y.又x,y均为 0.4x-6.n1-n2=(0.5x-11)-(0.4x-6)= 正整数，. =10或区=6：或=2 或 .当购 0.1x一5，当x<50,则n1<n2,因此采取第①种 y=5 y=10y=15, 方式可早日结清余款。 买5本A种图书时，有3种采购方案.当购买6 【答案】解：(1)第①种应实付款y1=x一2，第 本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C ②种应实付款y2=0.8(x-15)+15=0.8x十 种图书，根据题意，得30×6十25m+20n=500, 3,则y1-y2=(x-2)-(0.8.x+3)=0.2x-5. 六n=16-号m.又：m,n均为正整数， 令0.2x一5=0，解得x=25,∴.当20万元<x< 25万元时，采取第①种方式较省钱；当智能机器 m=4,m=8,m=12, 或 或 .当购买6本A 人的总价x=25万元时，两种方式实付款一样； n=11n=6n=1, 当智能机器人的总价x>25万元时，采取第 种图书时，有3种采购方案.∴.此次采购的方案 ②种方式较省钱： 有3+3=6（种）. (2)该企业采取第①种优惠方式所购智能机器 【答案】B 人的总价x(万元)与结清余款所需的月数n1之 典例3(2024·淮北三模) 间的关系为x一20-2=2n1,即n1=0.5x-11; 某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万 该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的 元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的 总价x(万元)与结清余款所需的月数n2之间的 活动： 关系为0.8(x-15)=2n2,即n2=0.4x-6. ①首付款满20万元，减2万元： n1-n2=(0.5x-11)-(0.4x-6)=0.1x-5, ②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八 .x<50,.n1<n2,∴.采取第①种方式可早日 折优惠 结清余款， (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元， 采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； 当堂检测 (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元， 1.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经 除首付款之外，该企业分期付款的能力是每 之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车， 月2万元.若不考虑其他因素，为早日结清 则9人需要步行，若“…”.问：人与车各多少？ 余款，该企业该怎样选择？请说明理由 小明同学设有x辆车，人数为y,根据题意可 【解析】(1)先列出第①种应实付款y1=x一2， y=2x+9, 列方程组为 根据已有信息，题中 第②种应实付款y2=0.8(x-15)+15=0.8x十 y=3(x-2). 3,则y1-y2=(x-2)-(0.8x+3)=0.2x-5, 用“…”表示的缺失条件应补为 令0.2x一5=0，解得x=25,再分类讨论， A.三人坐一辆车，有一车少坐2人 (2)先列出该企业采取第①种优惠方式所购智 B.三人坐一辆车，则2人需要步行 能机器人的总价x(万元)与结清余款所需的月 C.三人坐一辆车，则有两辆空车 数n1之间的关系为x一20-2=2n1,即n1= D.三人坐一辆车，则还缺两辆车 第一节一次方程（组）及其应用 17 2.(1)解方程：工，3_x1-=1: 3.甲、乙两地相距160km,一辆汽车和一辆拖拉 2 4x+y=5, 机同时从甲、乙两地相向而行，专h后相遇。 (2)解方程组： +2. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1h后调转车头原速返回，在汽车再次出发 h后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各 1 行驶了多少千米？ 安徽十年精选 考点①等式的性质 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与 1.(2021·安徽)设a,b,c为互不相等的实数， 一种农作物种植，投入资金共60万元，问A, 且b=台0+号，则下列结论正确的是( 1 B这两种农作物的种植面积各多少公顷？ A.a>b>c B.c>6>a C.a-b=4(b-c) D.a-c=5(a-b) 【变式训练】 在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电 压U导体的电阻R之间有以下关系：I= U 去分母得IR=U,那么其变形的依据是( ) 3.[核心考点](2023·安徽)根据经营情况，公 A.等式的性质1 B.等式的性质2 司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了 C.分式的基本性质 D.不等式的性质2 如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元.已 考点②、一次方程（组）的实际应用 知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整 2.(2024·安徽)乡村振兴战略实施以来，很多 后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该 外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承 商品的销售单价. 包了一些田地，采用新技术种植A,B两种农 作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和 投入资金如下表： 每公顷 农作物品种 每公顷所需 所需人数 投人资金（万元） A 4 8 B 3 9 18 第二章方程（组）与不等式（组） 4.(2022·安徽)某地区2020年进出口总额为 【变式训练】 520亿元，2021年进出口总额比2020年有所 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某 增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了 校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为 30%.(注：进出口总额=进口额十出口额) 150cm的导线，将其全部截成10cm和20 (1)设2020年进口额为x亿元，出口额为 cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度 y亿元，请用含x,y的代数式填表； 的导线至少一根)，则截取方案共有() 进出口总 A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 额/亿元 考点③古代数学著作中的一次方程 6.[数学文化](2018·安徽)《孙子算经》中有这样 2020 y 520 一道题，原文如下：“今有百鹿人城，家取一鹿， 2021 1.25.x 1.3y 不尽，又三家共一鹿，适尽，问城中家几何？”大 (2)已知2021年进出口总额比2020年增加了 意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有 140亿元，求2021年进口额和出口额分别 取完，剩下的鹿每三家共取一头，恰好取完.问 是多少亿元？ 城中有多少户人家？请解答上述问题. 【变式训练】 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书 5.(2019·安徽)为实施乡村振兴战略，解决某 中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白 山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修 银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十 建一条高速公路.其中一段长为146m的山 三两，问金、银各重几何？”其大意是：甲袋中 体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施 装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中 工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加 装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重 人，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘 量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了 进26m.已知甲工程队每天比乙工程队多掘 13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银各重 进2m,按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、 几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 乙两个工程队还需联合工作多少天？ 根据题意，可得方程组为 11x=9y, A. (8x+y)-(10y+x)=13. 11x=9y, B. (10y+x)-(8x+y)=13. 9x=11y, c. (8x+y)-(10y+x)=13. 9x=11y, 1(10y+x)-(8x+y)=13. 第一节一次方程（组）及其应用 19 全国真题汇编 考点①等式的基本性质 4.(2024·浙江)解方程组： 2x-y=5, 1.[新考法·跨物理学科](2024·贵州)小红 4x+3y=-10. 学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左 右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如 图所示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的 质量分别为x,y,则下列关系式正确的是 ( 考点④实际生活中的一次方程（组） 5.(2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称. 键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色 琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色 A.x=y B.x=2y 琴键的个数， C.x=4y D.x=5y 考点②一次方程（组）及其解法 2.(2024·台湾)若二元一次联立方程式 5x-3y=28 x=a, 的解为 则a十b之值 y=-3x y=b, 为何？ A.-28 B.-14 C.-4 D.14 6.(2024·山西)当下电子产品更新换代速度加 3.[新考法·数学文化](2024·泰安)我国古代 快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废 《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容 旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其 大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果 中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手 共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？ 机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题 从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与 x+y=1000, 从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数 意的二元一次方程组：11 4 根据 相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄 9x+ 7y=999. 金与白银各多少克 已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件 应为 A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 20 第二章方程（组）与不等式（组）