第二章 第三节 分式方程及其应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

第三节 分式方程及其应用 知识网络 概念：分母中含有① 的方程，叫分式方程 “化”：在方程的两边都乘② ,约去分母，化成整式方程 “解”：解这个整式方程 分式方程解法步骤 三“验”：把解得的根代入③ ,看结果是不是零，使它④ 的根才是原方 及其应用 程的根，使它为零的根是原方程的⑤ ,必须舍去 设未知数 步骤：实际问题 列分式方程→解方程→双检验→答 应用 找等量关系 常见问题：工程问题、行程问题、销售问题 基础考点讲练 果然供不应求.商场又用8800元购进了第二批 名师讲解Q 这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍， 典例1 但每件的进价贵了4元， 3 (1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进 解方程：x1十1=2x-2 价分别是多少元？ 【解析】先确定最简公分母为2(x一1)，通过去 (2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺 分母，转化成整式方程求解，最后必须检验」 码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两 【答案】解：由题意得，最简公分母为2(x一1)， 批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不 ·原方程可化为2+2x一2=3，解得x=3 检 考虑其他因素)，那么每件T恤衫的标价至 3 验：当x=2时，2(x-1)=1≠0，∴原方程的解 少是多少元？ 【解析】（1)根据“总价=单价×数量”，采用列 为 表法分析如下： 法总结 总价/元 进价/元 数量/件 此题考查了分式方程的解法，解分式方程的 第一次 4000 4000 x x 基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化 为整式方程求解 第二次 8800 x+4 8800 x十4 【易错提醒】1.去分母时必须将方程的各项 再从“数量”上抓住第二批是第一批的2倍，列 都乘以最简公分母，尤其不能漏乘没有分母的 方程求解.(2)设每件T恤衫的标价至少是y 项.2.验根是解分式方程的必不可少的步骤. 元，根据全部售完利润率不低于80%，列出不等 典例2 式解答即可 某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市 【答案】解：(I)设该商场购进第一批、第二批 场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后 T恤衫每件的进价分别是x元和(x十4)元，根 26 第二章方程（组）与不等式（组） 都题意.可得2X10-0解得上=4机.经 2.关于x的方程 4一x一工-4的解是正数，则a _=a-x 检验，x=40是方程的解，x十4=40+4=44， 的取值范围是 ∴.该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进 A.a>-3 B.a>3 价分别是40元和44元. C.a>3且a≠7D.a>-3且a≠1 (2)400+8800 40 44 300(件)，设每件T恤衫的 3.某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩， 已知B型充电桩比A型充电桩的单价多 标价至少是y元，根据题意，得(300一40)y+ 0.4万元，且用10万元购买的A型充电桩与 40×0.7y≥(4000+8800)×(1+80%)，解得 用12万元购买的B型充电桩的数量相等.设 y≥80，∴.每件T恤衫的标价至少是80元. A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意 方法总结 可列方程 此题第(1)问考查了分式方程的应用，分析 4.某水果店用3600元购进一批樱桃，并以同样 题意，找到合适的等量关系是解决问题的关 的金额又购进一批枇杷.已知每千克樱桃的 键.此类问题往往忽略双重检验，即既要检 进价是每千克枇杷的进价的3倍，且购进的 验所得到的未知数的值是否是分式方程的 枇杷比樱桃多200kg,求每千克樱桃的进价. 解，还要检验是否符合实际情况. 当堂检测 1舞分式方程号 1.5 1=12z去分母得（ A.x-2-1=-1.5 B.2-x-1=1.5 C.x-2-(1-2x)=1.5 D.x-2-(2x-1)=-1.5 安徽十年精选 考点① 分式方程的解法 2000元要多，多出的部分能购买25副乒 1.(2016·安徽)方程2x+1 乓球拍. =3的解是( x一1 (1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含 A.一5 B.5 C.-4 x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍 D.4 和羽毛球拍的总费用； 考点②分式方程的应用 (2)若购买的两种球拍数一样，求x. 2.(2013·安徽)某校为了进一步开展“阳光体 育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍. 已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元， 购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的 第三节分式方程及其应用 27 全国真题汇编 考点① 解分式方程 6.(2024·大庆)为了健全分时电价机制，引导 1.(2024·武汉)分式方程”9-十1的 电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰 的解 谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）： 是 7:00~23:00,用电低谷时段（简称谷时）： 2.(2024·广元)若点Q(xy)满足1+1=1 23:00~次日7：00，峰时电价比谷时电价高 xy xy 0.2元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电 则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的 桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费 坐标 为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相 2 3.(2024·陕丙)解方程：，1十2”1. 等，求该市谷时电价 7.(2024·赤峰)一段高速公路需要修复，现有 甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每 天修复的公路比甲队平均每天修复的公路多 考点②分式方程的解与增根 3km,且甲队单独修复60km公路所需要的 4.(2024·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程 时间与乙队单独修复90km公路所需要的时 1一”=0的解是负数，那么实数m的取 间相等。 xx+1 (1)求甲、乙两队平均每天修复的公路分别是 值范围是 多少千米； A.m<1且m≠0 B.m<1 (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工， C.m>1 D.m<1且m≠-1 要求甲队的工作时间不少于乙队工作时 考点③分式方程的实际应用 间的2倍，那么15天的工期，两队最多能 5.(2024·宁夏)数学活动课上，甲、乙两位同学 修复公路多少千米？ 制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做 4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数 量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每 小时做x个盒子，根据题意可列方程() A.￥6 x 2x =10 6_4=10 B. x 2x C.0 6410 D. x2x60 28 第二章方程（组）与不等式（组）0中..a=1,b=m,c=-2,.△=m2十 8>0,∴.方程有两个不相等的实数根 6.B[解析]关于x的一元二次方程 2x2一3x十k=0有实数根，.△= （一3)2-4X2X≥0，解得≤号 7.A[解析]，关于x的一元二次方程 (m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的 m十1≠0， 实数根， 解得m<0 4-4(m+1)>0, 且m≠一1. 8.A[解析]关于x的一元二次方程 x2十2x十p=0两根为x1,x2,.x1十x2= -2,x1,=p.1+1=3,1+2- xIx2 3,即，=3，俗得p=-号 9.14[解析]x1,x2是一元二次方程 x2一3x一5=0的两个实数根，.x1十 x2=3,x1·x2=-5..(x1-x2)2十 3x1x2=x1十x1x2十x=(x1十x2)2- x1x2=32-(-5)=14. 10.(1)证明：x2-(m十2)x+m-1=0,易 知a=1,b=-(m+2),c=m-1, .△=b2-4ac=[-(m+2)]2-4× 1×(m-1)=m2+8.m2≥0，.△= m2十8>0，.无论m取何值，方程都有 两个不相等的实数根 (2)解：设方程x2-(m十2)x+m-1= 0的两个实数根为x1,x2.则x1十x2= m十2，x1x2=m-l.x7+x号-x1x2 =9,即(x1十x2)2-3x1x2=9,∴.(m十 2)2一3(m-1)=9,整理得m2+m一2 =0,.(m十2)(m-1)=0,解得m1= -2,m2=1.∴.m的值为-2或1. 11.C[解析]设BC长为xm,则AB的 长为2(10+1-x)m,根据题意得 210+1-x)z=15,解得x=5安 x=6(6>5.5,故舍去)，故BC长为 5m. 12.10% 13.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为 y=kx十b,结合表格数据知图象过点 45k+b=55, (45,55),(55,45), 55k+b=45. ,k=-1:所求画数关系式为y (b=100, -x+100. (2)由题意，销售额w=x(一x十100)= -x2十100x,若销售额是2600元，则 2600=-x2+100x,.x2-100x+ 2600=0.又，△=(-100)2-4×2600= 10000-10400=一400<0，.方程没 有解，·该商品日销售额不能达到 2600元. 第三节分式方程及其应用 知识网络 ①未知数②最简公分母③最简公分母 ④不为零⑤增根 当堂检测 x-2 1.D[解析]方程整理得22-1一 2x1,去分母得x-2-(2x-1)= 1.5 -1.5. 2D【架折12。子安分母袋-3 a一x,.x=a十3.分母不能为0，∴.a十 3≠4，解得a≠1.，x>0,a十3>0， .a>-3,∴.a>-3且a≠1. 1012 3. =x+0.4 [解析]设A型充电桩的 单价是x万元，则B型充电桩的单价为 (x十0.4)万元，得2=x+0.4 ,1012 4.解：设枇杷每千克的进价为x元，则樱桃 每千克的进价为3x元，由题意得， 3600_3600=200,解得x=12.经检 3x 验x=12是所列方程的解，且符合题意， .3x=36.所以樱桃每千克的进价为 36元. 安徽十年精选 1.D 2.解：(1)4000+25x. (2)若购买的两种球拍数一样，根据题 意，得2000=2000+25z 2+20,解得x1 40,x2=-40.经检验，x1=40,x2= 一40都是原方程的解，但x2=一40不 合题意，舍去，故x=40. 全国真题汇编 1.x=一3[解析]原方程去分母得x2- x=x2-2x一3，解得x=一3，检验：当 x=-3时，(x-1)(x一3)≠0，故原方 ·5· 程的解为x=一3. 2.(2,一1)（答案不雌一）[解析]根据题 意得，1十1=十卫-】，即x十y= y Ty 1.当x=2,y=一1时，“美好点”的坐标 为(2，一1).（答案不唯一，满足x十y=1 且x≠0，y≠0即可). 3.解：方程两边都乘(x十1)(x-1),得2十 x(x+1)=(x十1)(x-1),解得x= 一3.检验：当x=一3时，(x十1)(x一1)≠ 0,所以分式方程的解是x=一3. 4.A[解]上- =0,去分母得， x+1-mx=0,x-mx=-1,(1-m)x= 1,“x三白关于x的分式方程 1 m xx+1 =0的解是负数，.m-1<0 且x≠一1，解得m<1且m≠0. 5.C 6.解：设该市谷时电价为x元/度，则该市 峰时电价为(x十0.2)元/度，根据题意 得， 50 30 x+0.2x ,解得x=0.3.经检验， x=0.3是所列方程的解，且符合题意. .该市谷时电价为0.3元/度 7.解：(1)由题意，设甲队平均每天修复公 路xkm,则乙队平均每天修复公路(x十 60 90 3)km,则= 十3，解得x=6.经检 验，x=6是原方程的解..x十3=9. ,.甲队平均每天修复公路6km,乙队平 均每天修复公路9km. (2)设甲队的工作时间为m天，则乙队 的工作时间为(15一m)天，15天的工期 两队能修复公路0km.由题意得，w= 6m+9(15-m)=-3m+135.又m≥ 2(15-m),m≥10..-3<0，.w随 m的增大而减小..当m=10时，取 最大值，最大值为一3×10+135=105. ∴.15天的工期，两队最多能修复公路 105km. 第四节一元一次不等式（组）及其应用 知识网络 ①> ②<③<3④>⑤系数化为1 ⑥改变⑦x>a ⑧x≤a⑨b<x<a 当堂检测 1.B 2.D[解析]解不等式3x一a+2>0,得