第二章 第二节 一元二次方程及其应用-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

第二节 一元二次方程及其应用 知识网络 概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程 般形式：ax2十bx十c=0(a,b,c是常数，且① 直接开平方法：x2=m(m≥0)或(x土m)2=n(n≥0) 配方法：化、移、配、开、解（配方最关键，方程两边加上② f化：ax2+bx十c=0 解法 公式法算：b2-4ac 一元二次方程 代：x=③ 及其应用 因式分解法：方程右边是0，左边能因式分解 △>0台有⑤ 的实数根 根的判别式 △=0台有⑥ 的实数根 (△=④ ⑦ 台没有实数根 步骤：审、设、列、解、验、答 应用 增长率没有单位 增长率问题 对于连续变化的问题都是以前一个时间段为基础 常见问题 销售问题 面积问题 基础考点讲练 名师讲解Q, 方法总结 解一元二次方程的常用方法有：直接开平方 典例1 法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程 解方程：x(x-7)=8(7-x). 的结构特点选择合适的方法以及熟知每一 【解析】注意到(x一7)与(7一x)互为相反数， 种解法的步骤，方能使求解过程事半功倍 将方程右边移项后可以提取公因式(x一7)，再 本题也可通过变形将原方程化为一元二次 利用因式分解法，即可求得一元二次方程的解 方程的一般形式，考虑用公式法求解. 【答案】解：移项，得x(x一7)一8(7一x)=0, 【易错提醒】解答本题时，容易直接两边约去 即x(x-7)+8(x-7)=0, (x一7)，而造成漏解.如用这种方法，需分类讨论： 左边因式分解，得(x一7)(x+8)=0, (1)当x一7=0时，方程左边=右边，故x=7是 .x-7=0或x+8=0, 原方程的一个根.(2)当x一7≠0时，两边同时 解得x1=7,x2=一8. 约去(x一7)，得x=一8.综上，原方程的解为 x1=7或x2=-8. 第二节一元二次方程及其应用 21 典例2 而可求出方程的另一个根，据此可解决问题. 在平面直角坐标系中，若直线y=一x十m不经 (3)利用一元二次方程根与系数的关系即可解 过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1=0 决问题。 的实数根的个数为 【答案】 解：(1).方程有两个实数根，所以(2m A.0个 B.1个 1)2 4X1×m≥0，解得m≤寻∴m的取值范 C.2个 D.1个或2个 【解析】直线y=一x+m不经过第一象限， 围是m≤4 画出草图，可知m≤0.当m=0时，原方程即为 (2)将x=1代入方程得1十2m-1+m2=0,解 x十1=0，只有一个根；当m<0时，方程mx2十x十 得m1=0,m2=-2.当m=0时，.1十n=1, 1=0为一元二次方程，此时△=1一4m..m< ∴.n=0.当m=-2时，.1十n=5,.n=4.综 0,.-4m>0,即△>0，.关于x的方程mx2+ m=0,m=-2, x十1=0有两个不相等的实数根.综上所述，方 上所述 或 n=0 n=4. 程mx2十x十1=0的实数根的个数为1个或 (3)方程的两个实数根为x1,x2,.x1十x2= 2个 -2m+1,x1x2=m2.x+x号=13，.(x1十 【答案】D x2)2-2x1x2=13,即(-2m+1)2-2m2=13, 【易错提醒】应用一元二次方程根的判别式 的前提是将方程化为ax2+bx十c=0的形式， 解得m=1+7,m:=1-7.“m≤寻m 且注意a≠0，才可以通过计算△的值进行判 1-√7，即m的值为1-√7 断.另外，本题最容易忽略考虑m=0的情况. 典例4(2024·瑶海区校级三模) 典例3 某农户种植花生，原来花生的亩产量为200kg, 阅读材料：在一元二次方程ax2十bx+c=0 出油率为50%（即每100kg花生可加工成花生 (a≠0)中，定义方程的判别式为△=b2一4ac, 油50kg),现在种植新品种花生后，每亩收获的 当△>0时，方程有两个不同的实数根；当△=0 花生可加工成花生油132kg,其中花生出油率 时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程 的增长率是亩产量的增长率的).求新品种花生 没有实数根.并且当方程有实数根时，两根之和 亩产量的增长率， 为工十=合，两根之积为·后已知 (1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为x, 关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0. 依题意填写下列表格； (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； 亩产量(kg) 出油率(%) 出油量(kg) (2)若方程的一个根为1，另一个根为n,求m和 原来 200 50 200×50% n的值； 现在 132 (3)若方程的两个实数根为x1,x2,且x号十x号 (2)求新品种花生亩产量的增长率. 13,求m的值. 【解析】(1)增长后的量=增长前的量×(1十 【解析】(1)根据方程有两个实数根，得出一元 增长率).(2)每亩收获的花生可加工成花生油 二次方程根的判别式大于等于零，据此即可解 决问题.（2)将x=1代入方程，求出m的值，进 的质量是200(1+x)·50%(1+2x),依此即可 22 第二章方程（组）与不等式（组） 列方程求解。 5.公园原有一块正方形空地， 【答案】解：(1)花生的现在亩产量为200(1十x), 后来从这块空地上划出部分 56 花生的现在出油率为50%(+2月 区域栽种鲜花（阴影部分）， 原空地一边减少了3m, 3 (2)设新品种花生亩产量的增长率为x,根据题 边减少了2m,剩余空地面积为56m2,设正 意得20(1+x)×50%1+2x)=132,解得 方形空地原来的边长为xm,则可列方程为 x1= 5x2= 16 (舍去).所以x=」 =20%. 6.解方程：x2一2x=2x十1. 答：新品种花生亩产量的增长率为20%. 方法总结 有关平均变化率问题是一元二次方程的应 用中的常见题型，记住下面两个公式有助于 快速构建方程： (1)平均增长率：a(1十x)m=b. 7.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在 (2)平均降低率：a(1一x)"=b. 抖音上对一款成本价为40元的小商品进行 其中a是起始量，b是第n次变化后的量， 直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖 n是增长（或降低）的次数，x为平均增长 出20件.通过市场调查发现，小商品的销售 (或降低)率. 单价每降低5元，日销售量增加10件： (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该 当堂检测、 款商品，每件售价应定为多少元？ 1.下列方程中，有两个相等实数根的是（ (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品， A.x2+1=2x B.x2+1=0 标价为每件62.5元.为提高市场竞争力， C.x2-2x=3 D.x2-2x=0 促进线下销售，小明决定对该商品实行打 2.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元， 折销售，使其销售价格不超过(1)中的售 4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月 价，则该商品至少需打几折销售？ 售价的月平均降价率是x,则所列方程正确 的是 A.23(1-x)2=18.63 B.18.63(1+x)2=23 C.18.63(1-x)2=23 D.23(1-2x)=18.63 3.(2024·南充)已知m是方程x2+4x一1=0的 一个根，则(m+5)(m一1)的值为 4.关于x的一元二次方程2x2-5x+m=0有 两个实数根，则m的取值范围为 第二节一元二次方程及其应用 23 安徽十年精选 考点①一元二次方程的解法 数a的值为 1.(2024·安徽)解方程：x-2x=3. A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1 【变式训练】 关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0 的根的情况是 A.没有实数根 【变式训练】 B.有两个相等的实数根 若关于x的一元二次方程x2十6.x十c=0配方 C.有两个不相等的实数根 后得到方程(x十3)2=2c,则c的值为( D.实数根的个数与实数a的取值有关 A.-3 B.0 C.3 D.9 考点③一元二次方程的实际应用 考点②。一元二次方程根的判别式 4.(2017·安徽)一种药品原价每盒25元，经过 2.(2022·安徽)若一元二次方程2x2-4x十 两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率 m=0有两个相等的实数根，则m= 都为x,则x满足 ( 3.(2018·安徽)若关于x的一元二次方程 A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16 x(x十1)十ax=0有两个相等的实数根，则实 C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16 全国真题汇编 考点①一元二次方程的根 4.(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2一4x+ 1.(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程 3=0; (a+2)x2+x十a2一4=0的一个根是x=0, (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程 则a的值为 的根，求第三边的长 A.2 B.-2 C.2或-2 n时 2.(2024·凉山州)已知y2-x=0,x2-3y2+ x一3=0，则x的值为 考点③一元二次方程根的判别式 考点②解一元二次方程 5.(2024·自贡)关于x的方程x2十mx-2=0 3.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方 根的情况是 () 程x2一10x+21=0的两个根，则这个三角形 A.有两个不相等的实数根 的周长为 ( B.有两个相等的实数根 A.17或13 B.13或21 C.只有一个实数根 C.17 D.13 D.没有实数根 24 第二章方程（组）与不等式（组） 6.(2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2一 考点⑤一元二次方程的应用 3x十k=0有实数根，则实数k的取值范围是 11.(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段10m ( ) 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m) g ≤8 ck≥8 9 Dk<- 的矩形鸭舍，其面积为15m2.在鸭舍侧面中 8 间位置留一个1m宽的门（由其他材料制 7.(2024·广安)若关于x的一元二次方程 成)，则BC长为 (m十1)x2-一2x十1=0有两个不相等的实数 根，则m的取值范围是 A.m<0且m≠-1B.m≥0 B C.m≤0且m≠-1 D.m<0 A.5m或6m B.2.5m或3m 考点④一元二次方程根与系数的关系 C.5m D.3m 8.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2十 12.(2024·重庆A卷)随着经济复苏，某公司近 2z+p=0两根为x1c1,且上+1=3，则力 两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴 x2 税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司 的值为 这两年缴税的年平均增长率是 A-号 C.-6 D.6 13.(2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场 9.(2024·泸州)已知x1,x2是一元二次方程x2 调查发现，日销售量y(件)与每件售价 -3x一5=0的两个实数根，则(x1一x2)2+ x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如 3x1x2的值是 表所示： 10.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程 每件售价x/元 … 45 55 65 x2-(m+2)x+m-1=0. 日销售量y/件 55 45 35 (1)求证：无论m为何值，方程都有两个不相 (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写 等的实数根； 出自变量x的取值范围)； (2)若x1,x2是方程的两个实数根，且x十 (2)该商品日销售额能否达到2600元？如 x一x1x2=9,求m的值. 果能，求出每件售价；如果不能，说明 理由. 第二节一元二次方程及其应用 253.解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单 价分别为x,y元，根据题意，得 1x+10=y, x=40, 解得 x(1+10%)+1=y-5, y=50. ,调整前甲、乙两地该商品的销售单价 分别为40元、50元. 4.(1)1.25x+1.3y (x十y=520, (2)解：由题意得， 1.25x+1.3y=520+140, x=320, 解得 .1.25x=400,1.3y= y=200. 260.答：2021年进口额是400亿元，出 口额是260亿元. 5.解：设甲工程队每天掘进xm,则乙工程 队每天掘进(x一2)m,由题意，得2x十 (x十x一2)=26，解得x=7,.乙工程 队每天据进5m, 146-26 7+5 =10(天). 答：甲、乙两个工程队还需联合工作10天 【变式训练】 C[解析]设截成10cm的导线x根， 截成20cm的导线y根.根据题意，得 10x+20y=150,∴.x=15-2y.15- 2y≥1，y≤7.y是正整数，.y的值 为1,2,3,4,5,6,7，即截取方案共有 7种. 6.解：设城中有x户人家.根据题意，得 z十号x=10,解得工=75.签：城中有 75户人家. 【变式训练】D 全国真题汇编 1.C x=a 5x-3y=28, 2.C[解析]把 代入 y=b y=-3x, 5a-3b=28…①， 得 把②代入①得5a一 b=-3a…②， 3×(-3a)=28,5a+9a=28,14a=28, a=2.把a=2代入②得b=一6，.a十 b=2+(-6)=-4. 3.D 2x-y=5…①， 4.解： ①X3+②得 (4x+3y=-10…②， 10x=5,解得x=合起x=号代入① 得2X号-y=5,解得y=-4,所以方 程组的解是 x2' y=-4. 5.解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键 |x+y=88, 的个数为y个，得 解得 x-y=16, x=52, 答：白色琴键的个数为52个， y=36, 黑色琴键的个数为36个. 6.解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出 黄金x克，白银y克.根据题意，得 |y=x+760, x=240, 解得 所以从 2.5x=0.6y. y=1000. 每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 克，白银1000克. 第二节 一元二次方程及其应用 知识网络 ①a≠0②一次项系数一半的平方 ③-b±V6-4ac ④b2-4ac 2a ⑤两个不相等⑥两个相等⑦△<0 当堂检测 1.A2.A 3.一4[解析]把x=m代入方程，则m2+ 4m-1=0,m2+4m=1,.∴.(m+5)(m- 1)=m2-m+5m-5=m2+4m-5= 1-5=-4. 25 4.m≤8 [解析]“关于x的一元二次方 程2x2一5x十m=0有两个实数根， △=(-5)2-8m≥0，解得m≤8 25 5.(x-3)(x-2)=56 6.解：x2-2x=2x+1,.x2-4x=1, .x8一4x+4=1+4,即(x一2)2=5， ∴x-2=±5，.x1=2十5，x2=2-5, 7.解：(1)设售价应定为x元，则每件的利 润为(x一40)元，日销售量为20十 10(60-x）=(140-2x)件，依题意，得 5 (x-40)(140-2x)=(60-40)×20,整 理得x2-110x+3000=0,解得x1= 50,x2=60(舍去)，.售价应定为50元. (2)设该商品打y折销售.根据题意，得 62.5x0≤50，解得y≤8，演商品至 少需打八折销售. ·4· 安徽十年精选 1.解：x2-2x=3,x2-2x-3=0,(x-3)· (x+1)=0,.x1=3,x2=-1. 【变式训练】 C[解析]x2+6x+c=0,x2+6x= -c,x2+6x+9=-c+9,(x+3)2= -c+9.(x+3)2=2c,.2c=-c+9, 解得c=3. 2.2 3.A[解析]原方程整理为x2+(a十1)x= 0,△=(a+1)2-4×1×0=(a+1)2,由 一元二次方程有两个相等的实数根，得 △=0，即(a+1)2=0,解得a1=a2=-1. 【变式训练】 C[解析].△=(2a)2-4×1X(a2一1)= 4a2-4a2+4=4>0,.关于x的-元二 次方程x2十2ax十a2一1=0有两个不相 等的实数根. 4.D[解析]第一次降价后的价格为25× (1一x);第二次降价后的价格为25× (1一x)2.两次降价后的价格为16元， .25(1-x)2=16. 全国真题汇编 1.A[解析].关于x的一元二次方程 (a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x= 0,.a2-4=0且a十2≠0，解得a=2. 2.3[解析]y2-x=0,∴y2=x≥0. x2-3y2+x -3=0,.x2-3x十x- 3=0,即x2一2x一3=0，解得x1=3, x2=一1（舍去），即x的值为3. 3.C[解析]x2一10x+21=0,(x-3)(x一 7)=0,解得x1=3,x2=7.当等腰三角 形的边长是3,3,7时，3+3<7，不符合 三角形的三边关系，舍去：当等腰三角形 的边长是7,7,3时，这个三角形的周长 是7+7+3=17. 4.解：(1)x2-4x+3=0,.(x-1)(x-3)= 0,即x-1=0或x-3=0,x1=1, x2=3. (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三 边=√3一1=2√2；当1和3是直角 三角形的直角边长时，第三边= √1+32=√10，.第三边的长为2√2 或√/10. 5.A[解析]关于x的方程x2+mx一2= 0中..a=1,b=m,c=-2,.△=m2十 8>0,∴.方程有两个不相等的实数根 6.B[解析]关于x的一元二次方程 2x2一3x十k=0有实数根，.△= （一3)2-4X2X≥0，解得≤号 7.A[解析]，关于x的一元二次方程 (m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的 m十1≠0， 实数根， 解得m<0 4-4(m+1)>0, 且m≠一1. 8.A[解析]关于x的一元二次方程 x2十2x十p=0两根为x1,x2,.x1十x2= -2,x1,=p.1+1=3,1+2- xIx2 3,即，=3，俗得p=-号 9.14[解析]x1,x2是一元二次方程 x2一3x一5=0的两个实数根，.x1十 x2=3,x1·x2=-5..(x1-x2)2十 3x1x2=x1十x1x2十x=(x1十x2)2- x1x2=32-(-5)=14. 10.(1)证明：x2-(m十2)x+m-1=0,易 知a=1,b=-(m+2),c=m-1, .△=b2-4ac=[-(m+2)]2-4× 1×(m-1)=m2+8.m2≥0，.△= m2十8>0，.无论m取何值，方程都有 两个不相等的实数根 (2)解：设方程x2-(m十2)x+m-1= 0的两个实数根为x1,x2.则x1十x2= m十2，x1x2=m-l.x7+x号-x1x2 =9,即(x1十x2)2-3x1x2=9,∴.(m十 2)2一3(m-1)=9,整理得m2+m一2 =0,.(m十2)(m-1)=0,解得m1= -2,m2=1.∴.m的值为-2或1. 11.C[解析]设BC长为xm,则AB的 长为2(10+1-x)m,根据题意得 210+1-x)z=15,解得x=5安 x=6(6>5.5,故舍去)，故BC长为 5m. 12.10% 13.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为 y=kx十b,结合表格数据知图象过点 45k+b=55, (45,55),(55,45), 55k+b=45. ,k=-1:所求画数关系式为y (b=100, -x+100. (2)由题意，销售额w=x(一x十100)= -x2十100x,若销售额是2600元，则 2600=-x2+100x,.x2-100x+ 2600=0.又，△=(-100)2-4×2600= 10000-10400=一400<0，.方程没 有解，·该商品日销售额不能达到 2600元. 第三节分式方程及其应用 知识网络 ①未知数②最简公分母③最简公分母 ④不为零⑤增根 当堂检测 x-2 1.D[解析]方程整理得22-1一 2x1,去分母得x-2-(2x-1)= 1.5 -1.5. 2D【架折12。子安分母袋-3 a一x,.x=a十3.分母不能为0，∴.a十 3≠4，解得a≠1.，x>0,a十3>0， .a>-3,∴.a>-3且a≠1. 1012 3. =x+0.4 [解析]设A型充电桩的 单价是x万元，则B型充电桩的单价为 (x十0.4)万元，得2=x+0.4 ,1012 4.解：设枇杷每千克的进价为x元，则樱桃 每千克的进价为3x元，由题意得， 3600_3600=200,解得x=12.经检 3x 验x=12是所列方程的解，且符合题意， .3x=36.所以樱桃每千克的进价为 36元. 安徽十年精选 1.D 2.解：(1)4000+25x. (2)若购买的两种球拍数一样，根据题 意，得2000=2000+25z 2+20,解得x1 40,x2=-40.经检验，x1=40,x2= 一40都是原方程的解，但x2=一40不 合题意，舍去，故x=40. 全国真题汇编 1.x=一3[解析]原方程去分母得x2- x=x2-2x一3，解得x=一3，检验：当 x=-3时，(x-1)(x一3)≠0，故原方 ·5· 程的解为x=一3. 2.(2,一1)（答案不雌一）[解析]根据题 意得，1十1=十卫-】，即x十y= y Ty 1.当x=2,y=一1时，“美好点”的坐标 为(2，一1).（答案不唯一，满足x十y=1 且x≠0，y≠0即可). 3.解：方程两边都乘(x十1)(x-1),得2十 x(x+1)=(x十1)(x-1),解得x= 一3.检验：当x=一3时，(x十1)(x一1)≠ 0,所以分式方程的解是x=一3. 4.A[解]上- =0,去分母得， x+1-mx=0,x-mx=-1,(1-m)x= 1,“x三白关于x的分式方程 1 m xx+1 =0的解是负数，.m-1<0 且x≠一1，解得m<1且m≠0. 5.C 6.解：设该市谷时电价为x元/度，则该市 峰时电价为(x十0.2)元/度，根据题意 得， 50 30 x+0.2x ,解得x=0.3.经检验， x=0.3是所列方程的解，且符合题意. .该市谷时电价为0.3元/度 7.解：(1)由题意，设甲队平均每天修复公 路xkm,则乙队平均每天修复公路(x十 60 90 3)km,则= 十3，解得x=6.经检 验，x=6是原方程的解..x十3=9. ,.甲队平均每天修复公路6km,乙队平 均每天修复公路9km. (2)设甲队的工作时间为m天，则乙队 的工作时间为(15一m)天，15天的工期 两队能修复公路0km.由题意得，w= 6m+9(15-m)=-3m+135.又m≥ 2(15-m),m≥10..-3<0，.w随 m的增大而减小..当m=10时，取 最大值，最大值为一3×10+135=105. ∴.15天的工期，两队最多能修复公路 105km. 第四节一元一次不等式（组）及其应用 知识网络 ①> ②<③<3④>⑤系数化为1 ⑥改变⑦x>a ⑧x≤a⑨b<x<a 当堂检测 1.B 2.D[解析]解不等式3x一a+2>0,得