第一章 第四节 二次根式-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

第四节 二次根式 知识网络 概念：形如√a(a① 0)的式子叫二次根式，实质上√a是a的算术平方根 二次根式√a具有双重非负性：a≥0且√a≥0 [a.被开方数的因数是整数，因式是整式 相关概念最简二次根式：同时满足两个条件的二次根式b.被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个 二次根式就是同类二次根式 (√a)2=② (a≥0) √a=la|= a(a≥0) 性质 -a(a<0) 次 √ab=③ (a≥0，b≥0) 根 式 Nb =④ (a≥0，b>0) 若a≥0，b≥0，则√a·√b=⑤ 乘除 若a≥0，b>0,则日 =⑥ 化 最简二次根式 加减 合一合并被开方数相同的二次根式 运算混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，实数的加法交换律、加法 结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，以及多项式的乘法公式，都适 用于二次根式运算 估值：一般先对二次根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，对其 进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间 基础考点讲练 名师讲解Q, A.线段AB上 B.线段BO上 C.线段OC上 D.线段CD上 典例1 【解析】.4<5<9，∴.2<√5<3，根据不等式的 如图，数轴上的点A,B,O,C,D分别表示数 性质，得一2>一√5>一3，左、中、右同加上2，得 一2，一1,0,1,2.则表示数2一√5<0的点P应 0>2-√5>-1，∴.点P应落在线段BO上. 落在 【答案】B A B O C D -2-10123→ 第四节 二次根式 13 方法总结 方法总结 用有理数估计√a的大致范围，首先要找到a在 二次根式的化简是进行二次根式运算的前 哪两个相邻的完全平方数之间，再根据算术平 提.在进行二次根式的混合运算时，以前学 方根的意义确定.本题还巧妙借用了不等式的 过的实数的运算顺序、运算性质、运算法则 以及乘法公式同样适用 性质，更好地判断出2一√5<0所在的范围. 典例2 当堂检测 若实数m,n满足|m一n一5|+√2m+n一4 1.化简2 14 25 的结果为 0,则3m十n= 【解析】根据非负数的性质—几个非负数的 8 A.5 R号 C26 5 5 和为0，则必然每一个非负数为0，得m一n 2.下列各式计算正确的是 ( ) 5=0且2m十n-4=0,解得m=3,n=-2, A.√2十3=√5 B.4√3-35=1 ∴.3m+n=9-2=7. C.√2×3=√6 D.√12÷2=√6 【答案】7 3.若|x-2与√2x一y-3互为相反数，则x十y 方法总结 的值为 ( 二次根式不仅其被开方数具有非负性，二次 A.3 B.4 C.6 D.9 根式的值同样具有非负性，在解答此类问题 时，要充分应用这一隐含条件.初中阶段共学 4计算(v卫-得)×的结果是 习了三个非负数，即a≥0，a≥0，a≥0. 5.(2024·马鞍山模拟)已知a=√5+1，b= 3-1,则a2+2ab+b2= 典例3 计算：-21+(2-2)-(2+2)月。 6.1D(2024·准南期未)计算：V2÷5-× √8+√32； 【解析】分别运用绝对值的性质和乘法公式展 开，再合并被开方数相同的二次根式以及常数 (2)计算：5-1(5+3)+(-)厂-V20 项即可. 【答案】 解：原式=2+[2)-2+] (2)+恒+ =+(2-+)-(2++1》 =厄+2-巨+4-2-E-号 =-√2. 14 第一章数与式 安徽十年精选 考点①用整数估算二次根式的值 考点②二次根式的运算 1.(2021·安徽)埃及胡夫金字塔是古代世界建 3.(2019·安徽)计算√/18÷√2的结果是 筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的 等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰 4.(2018·安徽)计算：5°-(-2)+√8X√2. 三角形底边上的高的比值是√5一1，它介于整 数n和n+1之间，则n的值是 2.(2015·安徽)与1十√5最接近的整数是( A.4 B.3 C.2 D.1 全国真题汇编 考点① 二次根式有意义的条件 考点④ 二次根式的运算 3 1.(2024·烟台)若代数式 三在实数范围内 7.(2024·威海)计算：12-√8×√6= 有意义，则x的取值范围为 8.(2024·天津)计算（√11+1）（√11-1）的结 考点2二次根式的性质 果为 2.(2024·包头)计算√92一62所得结果是 ( 9.(2024·凉山州)计算：1 +|2-5|+21十 3-1 A.3 B.√6 cos30°-(-1)°. C.35 D.±3√5 3.(2024·德阳)化简：√（一3）= 4.(2024·上海)已知√2x-1=1,则x= 10.(2024·北京)计算：（π-5）°+√8-2sin30°+ 考点③ 二次根式的估值 |-√21. 5.(2024·重庆)已知m=√27一√5，则实数m 的范围是 ) A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 6.(2024·盐城)矩形相邻两边长分别为√2cm、 √5cm,设其面积为Scm,则S在哪两个连 续整数之间 ( A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 第四节二次根式 151 1 (x+1) -a I-x x+10-z=x+1, x+1 a6=-1 xQ。=十1，…，每三个为 一个循环.，”2024÷3=674…2， 6.a2a4=、l 7.解：原式= (a-b)2 a-b a-b'(a十b)(a-b)a+b a a-b b a+b a+b -a+66-2a=0,b= 2a = 2a,原式-+2a 3 8.解：(1)由题意可得，P。=a-b)a-c)十 Bo c (b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)= 1 1 a-ba-c)十b-c)6-a)十c-a)c-b (2)由题意可得，P=(a-b)a-c)+ 61 c (b-c)(b-a) 十 (c-a)(c-b) a b (a-b)(a-c) 十 (b-c)(a-b) ab-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-c)(b-c) (a-b)6-c)(a-c) ab-ac-ab+bc+ac-bc 三 (a-b)(b-c)(a-c) 0 (a-b)(b-c)(a-c)=0. 第四节二次根式 知识网络 02®660号 ⑤√ab a 当堂检测 1.A[解析]，√2若= .14 64 8 5 2.C[解析]√2与√3不能合并，故A错误； 4√3-3√3=(4-3)W3=√3，故B错误： √2X3=√2X3=√6，故C正确；√12 ÷2=2√3÷2=√3，故D错误. 3.A4.4 5.12[解析].a=√3+1，b=√3-1，.a+ b=√5+1+√5-1=2√5，∴.a2+2ab+ b2=(a+b)2=(23)2=12. 6察：0愿式=-√分×8+ 4√2=2W2-2+4√2=6√2-2. (2)原式=5+35-√5-3-4-25= -2. 安徽十年精选 1.1[解析]4<5<9，.2<√5<3， .1<5一1<2，即5-1介于整数1和 2之间，.n=1. 2.B[解析].4<5<9，.2<√5<3.又5 和4比较接近，∴.√5最接近的整数是2， .与1十√5最接近的整数是3. 3.3 4.解：原式=1+2+4=7. 全国真题汇编 1c>1[解析]：代数式3在实数 √x- 范围内有意义，.x一1>0，解得x>1. 2.C3.3 4.1[解析]"√/2x-1=1,.2x-1=1, .x=1. 5.B[解析]m=√27-√3=33-√3= 23=12.√9<12<√16，∴.3< √12<4，即实数m的范围是3<m<4. 6.C[解析]S=√2×5=√10.9< √J10<16,.3<√10<4，即S在整 数3和4之间. 7.一23[解析]原式=2√3-√48= 2√3-43=-2√3」 8.10 √3+1 9.解：原式= +2-√3+ (5-1)(5+1) +-1-+2-++ -1=2. 10.解：原式=1+2反-2×2+反= 3√2. 第二章方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 知识网络 ①b士c②c③久④c⑤整式 c ⑥合并同类项⑦系数化为1 ·3· ⑧代入消元法⑨加减消元法 当堂检测 1.C[解析]因为小明同学设有x辆车， 人数为y,若2人坐一辆车，则9人需要 步行，所以y=2x十9；又因为第二个方 程右边为“(x一2)”与“3”相乘，说明x 辆车中有两辆是空的，坐满人的车是 (x一2)辆，3(x一2)说明每辆车坐三人，即 y=3(x-2). 2.(1)解：去分母，得3(x一3)一(x一1)= 6.去括号，得3x一9一x十1=6.移项、合 并同类项，得2x=14.系数化为1，得 x=7. 4x+y=5…①， (2)解：方程组整理得 3x+2y=15…②， ②-①X2,得-5x=5,解得x=-1.把 x=-1代入①，得-4十y=5,解得 x=-1, y=9,则方程组的解为 y=9. 3.解：设汽车每小时行驶xkm,拖拉机每 小时行驶ykm.根据题意， 4(x+y)=160, x=90, 得 解得 2=(1+2), y=30. 90×(传+2）=165(km),30× (传+）-85(km).汽车行驶了 165km,拖拉机行驶了85km. 安徽十年精选 1.D [解析]等式6=台a+ 5c的两边同 乘5，得5b=4a十c.条件无法推断a,b, c的大小关系，故A、B不正确；去括号， 得a一b=4b一4c,根据等式的性质，得a 十4c=5b,故C不正确；去括号，得a一c= 5a-5b,两边同时减去5a,得一4a-c= -5b,两边同时乘-1，得4a十c=5b,故 D正确. 【变式训练B 2.解：设A种农作物的种植面积是x公 顷，B种农作物的种植面积是y公顷，得 4x+3y=24, x=3, 解得 .A种农作 8x+9y=60, y=4. 物的种植面积是3公顷，B种农作物的 种植面积是4公顷.