第一章 第三节 分式-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

第三节 分式 知识网络 形如合的武子A,B为参式，且B中D ,B≠0) 概念 分式有意义的条件：分母不为0 分式值为0的条件：分子为0，且② A_A·MAA÷M 内容：当A,B,M为整式，且M≠0时，B=B·M'BB÷M 性质 分 约分 最简分式 应用 式 通分 化异分母分式为同分母分式 阿分母：是±=② Γc 分式的加减 分母云 ad±bc bd 运算 乘法法则：石·a a =④ ,除法法则片日-⑤ ,分式的乘方：（分）》”=⑥ 混合运算：先乘方，再乘除，后加减.如果有括号，先进行括号里的运算 基础考点讲练 方法总结 名师讲解Q 应用分式的基本性质时，要特别注意理解分 典例1 式的基本性质中的“都”“乘（或除以）同一个 下列变形错误的是 ( 不为0的整式”等文字的意义. A合c40) 典例2(2024·遂宁) B.a-6 =-1 a+b 先化简-》片十商从1,23中 C. 选择一个合适的数作为x的值代入求值. 【解析】 先化简分式，再将x=3代入求出结果 2a-b a-b D.2a+batb 【答案】 x-2 【解析】本题考查应用分式的基本性质.选项 x-1-1.x-2 A的分子与分母同乘一个不等于0的，选项B x-1(x-1)2 的分子与分母同除以一个不等于0的整式(a十 =x-2×(x-1)9 b),选项C的分子与分母同乘10，分式的值均不 x-1 x-2 变；选项D只将分子、分母的首项同除以2，违背 =x-1 分式的基本性质，故变形错误。 x-1≠0，x-2≠0，.x≠1，x≠2， 【答案】D 当x=3时，原式=2. 10 第一章数与式 方法总结 1 1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整 a a C. 2=6 D. a 6 式，再代入求值.化简时不能跨度太大，以免 缺少必要的步骤；代入求值的模式一般为 3.若x是非负整数，则表示 2x (x+2)的值 x2-4 “当…时，原式=” +2 2.代入求值时，有直接代入法、整体代入法 的对应点落在如图数轴上的范围是( ) 等常用方法.解题时可根据题目的具体条件 ① ② ③ 选择合适的方法.当未知数的值没有明确给 出时，所选取的未知数的值必须使原式中的 -1.1 0.1 1.3 2.5 各分式都有意义，且除数不能为0 A.① B.② C.③ D.①或② 3.在化简的过程中要注意运算顺序和分式 4(2024·蛛埠二模)计算：(1+22)= 的化简.化简的结果若为分式，则分子、分母 要进行约分；若为整式，也要化成最简整式. 当堂检测 5.若式子4x-1 x-3有意义，则实数x的取值范围是 1,对于分式，二·下列说法不正确的是( 6.(2024·芜湖模拟)先化简，再求值： A.x=0时，分式值为0 B.x=3时，分式无意义 h-0》01共中a-8-1 C.x>3时，分式的值为正数 D.分式的值可能为1 2.若a≠b,则下列分式化简正确的是( A将-8 B.a-2a b-26 安徽十年精选 考点0 分式有意义的条件 3.@05·安微)先化简，再求值.(+。)· 1.(2024·安效)若分式，有意义，则实数： 其中a= 2 的取值范围是 考点②分式的化简与求值 2.(2023·安微)先化简，再求值，工+2+1，其 x+1 中x=√2-1. 第三节分式 11 考点3 数式规律探究中的分式运算 第5个等式：9×(1+)=2- 4.(2020·安徽)观察以下等式： 第1个等式：号×(1+)=2-， 按照以上规律，解决下列问题： 第2个等式：×(1+)=2-2 (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： 第3个等式：号×(1+)=2- (用含n的等式表示)，并证明. 第4个等式：×1+)2- 全国真题汇编 考点①分式有意义的条件 7(2024·广元)先化简，再求值：。2。宁 1.(2024·长沙)要使分式6 x1g有意义，则x需 a2-b2 22+6一1十6其中a,6满足b-2a=0 满足的条件是 考点②求分式的值 2.(202t·吉林)当分式1的值为正数时，写 出一个满足条件的x的值为 3.(2024·北京)已知a-b一1=0，求代数式 ”做 8.(2024·滨州)欧拉是历史上享誉全球的最伟 大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领 域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不 凡的足迹.设a,b,c为两两不同的数，称 a" P= b” (a-b)(a-c) +b-c)(b-a) 考点③分式的化简与混合运算 (c-a)(c-b)n=0,1,2,3)为欧拉分式. 4(2024·河北)已知A为整式，若计算A (1)写出P。对应的表达式： xy+y2 (2)化简P1对应的表达式. )—的结果为乙二义，则A= x2+xy xy A.x B.y C.x十yD.x-y 5（2024·接化)化简：÷(2) 6.(2024·眉山)已知a1=x+1(x≠0且x≠ 1 1 -1),a2= 1 ag=1-aga.=1- 1-a1 则a2o24的值为 12 第一章数与式(3)解：设需要正方形地砖m块，则2m十 4≤2021，解得m≤1008.5，由题意可 知m取1008，所以需要正方形地 砖1008块. 全国真题汇编 1.4[解析]，a=b十2，.b-a=-2, .(b-a)2=(-2)2=4. 2.7[解析].x2-2x-3=0,.x2 2x=3,.2x2-4x+1=2(x2-2x)+1= 2×3+1=7. 3.B[解析]a2与a不是同类项，无法合 并，则A不符合题意；a·a2=a3,则B 符合题意；(a2)3=a5,则C不符合题意； (2ab2)3=8a3b,则D不符合题意. 4.xy(x+2) 5.(x十3)2[解析]原式=x2十4x十2x十 8+1=x2+6x+9=(x+3)2. 6.B 7.y2-1[解析]3xy+2y2-5-（y2+ 3xy-4)=3xy+2y2-5-y2-3xy+ 4=y2-1. 8.解：原式=[4a2+4ab+b2-(4a2一b2)]÷ 2b=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b= (4ab+2b2)÷2b=2a十b.当a=2,b= 一1时，原式=2×2一1=3. 9.15[解析]观察图形的变化可知：摆第 1个图案要用火柴棒的根数为3=1十 1×2;摆第2个图案要用火柴棒的根数 为5=3十2=1+2×2；摆第3个图案要 用火柴棒的根数为7=3十2+2=1十 32…则摆第n个图案要用火柴棒的 根数为1+n×2=2n十1.故摆第7个图 案要用火柴棒的根数为2×7+1=15. n(n+1) 10.(1)36120 (2)不能 2 (3)解：前n排盆景的总数可表示为 n(n+1),令n(n+1)=420,解得n1= 一21，n2=20.,n为正整数，.n=20, 即一共能摆20排. [解析](1)由题知，三角点阵中前1行的 点数之和为1；三角点阵中前2行的点数 之和为1+2：三角点阵中前3行的点数 之和为1十2十3；三角点阵中前4行的 点数之和为1十2十3十4…所以三角 点阵中前n行的点数之和为1十2十 3…十m=m,1D.当n=8时， 2 n(m十1)=36，即三角点阵中前8行的点 2 数之和为36.当n=15时，nm+1) 2 120,即三角点阵中前15行的点数之和为 120.(2)由题意令n,+1=50,解得 2 n=二1生y400.:n为正整数，“.三角 2 点阵中前n行的点数之和不能为500. 第三节分式 知识网络 ①含有字母②分母不为0③a土b %⑤ bd bc b 当堂检测 1.D[解析]对于分式3当工=0时， 一3=0，则A不符合题意；当x-3= 0,即x=3时，分式无意义，则B不符合 题意；当x>3时，分式的值为正数，则C 不符合题意：易知x卡x一3，那么分式 二3的值不可能为1，圆D将合题意， 2.D 3.B[解析]原式=2红-x十2)(x-2) x+2(x十2)2 2xx-2_2x-(x-2)_2z一x+2 x+2x+2x+2 x十2 1，别表不要分的值的 x+2 对应点落在题图数轴上的范围是②. 4.心+2 [解析]原式=x-2+2 x-2 x+20(x-2=x.z+2)x-2 x+2 x 5.x≠3 6.解：原式=(0-12a-2 .a+2a+1 a2-1a2-1) a-1 a-12.a+1 (a+1)(a-1)a-1 =a十1.当a= √2-1时，原式=2-1十1=2. 安徽十年精选 1.x≠4 ·2· 2.解：原式=x十1) x+1 =x+1.当x=√2-1 时，原式=√2-1十1=√2. 3.解：原或=（-)·日= (a+1)(a-1).1_a+1 a-1 1 2 +1 时，原式= =-1. 1 4.a号×1+）)=2-日 207×(1+2）=2-日 证明：“左边=阳号×(1+只) 2m-×”+2_2m-1=2-1=右边， n+2 7 等式成立. 全国真题汇编 1.x≠19 2.0(答案不唯一) [解标]“7>0， 1>0,.x十1>0，即x>一1，则满足条 件x的值可以为0（答案不唯一）. 3.解：a-b-1=0,.a-b=1, 3(a-2b)+3b 3a-6b+3b a2-2ab+b2 (a-b)2 3a-3b 3(a-b)_3 = 3 (a-b)2(a-b)2 a-b=1=3. A 4.A .[解析] y xy+y x'+xy x一y· A + y ry xy A y(z+y) x(),Ax= (x一y)(x+y)十y2,整理得Ax=x2, .A=x. 5. 1 [解析]原式=二卫÷ x一y x2-2xy十y=-y (x-y)2= 1 6.- [解析].a1=x十1，.a2= 1 1 1-a1 1-(x+1) 1 x+1 a4= 1 1 (x+1) -a I-x x+10-z=x+1, x+1 a6=-1 xQ。=十1，…，每三个为 一个循环.，”2024÷3=674…2， 6.a2a4=、l 7.解：原式= (a-b)2 a-b a-b'(a十b)(a-b)a+b a a-b b a+b a+b -a+66-2a=0,b= 2a = 2a,原式-+2a 3 8.解：(1)由题意可得，P。=a-b)a-c)十 Bo c (b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)= 1 1 a-ba-c)十b-c)6-a)十c-a)c-b (2)由题意可得，P=(a-b)a-c)+ 61 c (b-c)(b-a) 十 (c-a)(c-b) a b (a-b)(a-c) 十 (b-c)(a-b) ab-c)-b(a-c)+c(a-b) (a-c)(b-c) (a-b)6-c)(a-c) ab-ac-ab+bc+ac-bc 三 (a-b)(b-c)(a-c) 0 (a-b)(b-c)(a-c)=0. 第四节二次根式 知识网络 02®660号 ⑤√ab a 当堂检测 1.A[解析]，√2若= .14 64 8 5 2.C[解析]√2与√3不能合并，故A错误； 4√3-3√3=(4-3)W3=√3，故B错误： √2X3=√2X3=√6，故C正确；√12 ÷2=2√3÷2=√3，故D错误. 3.A4.4 5.12[解析].a=√3+1，b=√3-1，.a+ b=√5+1+√5-1=2√5，∴.a2+2ab+ b2=(a+b)2=(23)2=12. 6察：0愿式=-√分×8+ 4√2=2W2-2+4√2=6√2-2. (2)原式=5+35-√5-3-4-25= -2. 安徽十年精选 1.1[解析]4<5<9，.2<√5<3， .1<5一1<2，即5-1介于整数1和 2之间，.n=1. 2.B[解析].4<5<9，.2<√5<3.又5 和4比较接近，∴.√5最接近的整数是2， .与1十√5最接近的整数是3. 3.3 4.解：原式=1+2+4=7. 全国真题汇编 1c>1[解析]：代数式3在实数 √x- 范围内有意义，.x一1>0，解得x>1. 2.C3.3 4.1[解析]"√/2x-1=1,.2x-1=1, .x=1. 5.B[解析]m=√27-√3=33-√3= 23=12.√9<12<√16，∴.3< √12<4，即实数m的范围是3<m<4. 6.C[解析]S=√2×5=√10.9< √J10<16,.3<√10<4，即S在整 数3和4之间. 7.一23[解析]原式=2√3-√48= 2√3-43=-2√3」 8.10 √3+1 9.解：原式= +2-√3+ (5-1)(5+1) +-1-+2-++ -1=2. 10.解：原式=1+2反-2×2+反= 3√2. 第二章方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 知识网络 ①b士c②c③久④c⑤整式 c ⑥合并同类项⑦系数化为1 ·3· ⑧代入消元法⑨加减消元法 当堂检测 1.C[解析]因为小明同学设有x辆车， 人数为y,若2人坐一辆车，则9人需要 步行，所以y=2x十9；又因为第二个方 程右边为“(x一2)”与“3”相乘，说明x 辆车中有两辆是空的，坐满人的车是 (x一2)辆，3(x一2)说明每辆车坐三人，即 y=3(x-2). 2.(1)解：去分母，得3(x一3)一(x一1)= 6.去括号，得3x一9一x十1=6.移项、合 并同类项，得2x=14.系数化为1，得 x=7. 4x+y=5…①， (2)解：方程组整理得 3x+2y=15…②， ②-①X2,得-5x=5,解得x=-1.把 x=-1代入①，得-4十y=5,解得 x=-1, y=9,则方程组的解为 y=9. 3.解：设汽车每小时行驶xkm,拖拉机每 小时行驶ykm.根据题意， 4(x+y)=160, x=90, 得 解得 2=(1+2), y=30. 90×(传+2）=165(km),30× (传+）-85(km).汽车行驶了 165km,拖拉机行驶了85km. 安徽十年精选 1.D [解析]等式6=台a+ 5c的两边同 乘5，得5b=4a十c.条件无法推断a,b, c的大小关系，故A、B不正确；去括号， 得a一b=4b一4c,根据等式的性质，得a 十4c=5b,故C不正确；去括号，得a一c= 5a-5b,两边同时减去5a,得一4a-c= -5b,两边同时乘-1，得4a十c=5b,故 D正确. 【变式训练B 2.解：设A种农作物的种植面积是x公 顷，B种农作物的种植面积是y公顷，得 4x+3y=24, x=3, 解得 .A种农作 8x+9y=60, y=4. 物的种植面积是3公顷，B种农作物的 种植面积是4公顷.