第一章 第二节 整式-【决胜中考】2025年中考数学全程复习（安徽专版）

第一部分安徽中考考点探究 第一章数与式 第一节实数 知识网络 ①正方向 ②实数③一a④1⑤小 ⑥立方根 当堂检测 1.B2.D3.C4.A 5.7 6.25[解析]根据题意，8kg>5kg,可知 需要付费13+(8一5)÷0.5×2=13+ 12=25(元). 7.(1)解：原式=4-2十5=7. (2)解：原式=一3十3+4一1=3. 安徽十年精选 1.A[解析]根据负数的绝对值等于它的 相反数，得1一5引=5. 2.A3.D 4.C[解析]3400万=3400×10°=3.4× 103×10=3.4×107. 【变式训练】D [解折1()=10，（号）- 484 5.> 484 .10= 490> > 49 0>号 6.A7.A8.3 9.解：原式=1-4十4=1. 10.B[解析]2019年全年国内生产总值 为90.3×(1+6.6%)=96.2598（万 亿)，2020年全年国内生产总值为 96.2598×(1+6.6%)≈102.6（万 亿)，故B正确. 【变式训练】 解：(1)原式=3-6-9=-3一9= -12. (2)1÷2×6☐9=3☐9=一6，.☐内 填“-”. (3)-20. 全国真题汇编 1.D2.A 3.C[解析]各数的绝对值分别为7,5,3， 10.3<5<7<10,∴.最接近标准质量 的是一3. 参考答案 4.D[解析]13.6亿=1360000000= 1.36×109 5.1.42×10°[解析]1420000000用科 学记数法可以表示为1.42×10°. 6.A[解析]实数在数轴上，从左到右越 来越大.实数a在数轴的最左边，，最 小的实数为a. 7.C 8.一2[解析]（一2）3=一8，.一8的 立方根是一2. 9.3 10,部：愚式=1×号+2-弓号+2- 32 1 第二节整式 知识网络 ①-32②4③四④三⑤a-b+c ⑥a十b-c⑦指数⑧am+”⑨am- ⑩am①a"b"②-6abc ③ma+mb+mc④mn+mb+na+ab ⑤a2-b2⑥a2±2ab+b ⑦几个整式的积⑧m(a+b一c) ©(a+b)(a-b)@(a士b)2 当堂检测 1.C2.B 3.B[解析](a2)3·a-3=a5·a-3= a5-3=a3. 4.3a(x-y)2[解析]3ax2-6axy十 3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x- y)2 5.29[解析].a-b=3,ab=10,∴.a2十 b=(a-b)2+2ab=9+20=29. 6.解：原式=(xy-4x2)+(4x2-y2)=xy 1 4x2+4x2-y2=xy-y2.当x=2y= 2时，原式=7×2-22=1-4=-3 安徽十年精选 1.C[解析]a3+a3=2a3,故A错误； as÷a3=a3,故B错误；(-a)2=a2,故 a(a≥0)， C正确；√a= 故D -a(a<0), 错误. ·1· 2.C 3.B [解析]，a3与a5不是同类项，∴.不 能合并，故A错误；a3·a=a3+6= a9,故B正确；，a0与a不是同类项， .不能合并，故C错误；，a18÷a2= a8-2=a16,故D错误. 4.C 5.A 【变式训练】 C[解析](4×102)2=42×(102)2= 16×104=1.6×105(m2). 6.1[解析]AB=7,BC=6,AC=5, :BD=号(Bc+ABC)-}× (6+49.25）=5,CD=Bc-BD- 6-5=1. 7.B[解析]2016年我省有效发明专利为 a万件，2017年我省有效发明专利数比 2016年增长22.1%，.2017年我省有 效发明专利为(1十22.1%)a万件，2018 年我省有效发明专利数比2017年增长 22.1%,可得2018年我省有效发明专利 为(1+22.1%)2a万件，即b=(1十 22.1%)2a. 8.a(b+1)(b-1)9.C 10.b(a-2)2 【变式训练】 42[解析].a十b=6,ab=7,.a2b十 ab2=ab(a+b)=7×6=42. 11.(1)(i)75(i)(n+1)2-(n-1)2 (2)4(k2-m2+k-m) ×(n+1) 12.(1)3n(2) 2 (3)解：依题意，有1十2十3十…十n= n(a+1 -,第n个图案中有3n个回， 2 n(a+) =3n×2,解得n=0(舍去) 2 或n=11. 13.(1)2 (2)2n+4 (3)解：设需要正方形地砖m块，则2m十 4≤2021，解得m≤1008.5，由题意可 知m取1008，所以需要正方形地 砖1008块. 全国真题汇编 1.4[解析]，a=b十2，.b-a=-2, .(b-a)2=(-2)2=4. 2.7[解析].x2-2x-3=0,.x2 2x=3,.2x2-4x+1=2(x2-2x)+1= 2×3+1=7. 3.B[解析]a2与a不是同类项，无法合 并，则A不符合题意；a·a2=a3,则B 符合题意；(a2)3=a5,则C不符合题意； (2ab2)3=8a3b,则D不符合题意. 4.xy(x+2) 5.(x十3)2[解析]原式=x2十4x十2x十 8+1=x2+6x+9=(x+3)2. 6.B 7.y2-1[解析]3xy+2y2-5-（y2+ 3xy-4)=3xy+2y2-5-y2-3xy+ 4=y2-1. 8.解：原式=[4a2+4ab+b2-(4a2一b2)]÷ 2b=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b= (4ab+2b2)÷2b=2a十b.当a=2,b= 一1时，原式=2×2一1=3. 9.15[解析]观察图形的变化可知：摆第 1个图案要用火柴棒的根数为3=1十 1×2;摆第2个图案要用火柴棒的根数 为5=3十2=1+2×2；摆第3个图案要 用火柴棒的根数为7=3十2+2=1十 32…则摆第n个图案要用火柴棒的 根数为1+n×2=2n十1.故摆第7个图 案要用火柴棒的根数为2×7+1=15. n(n+1) 10.(1)36120 (2)不能 2 (3)解：前n排盆景的总数可表示为 n(n+1),令n(n+1)=420,解得n1= 一21，n2=20.,n为正整数，.n=20, 即一共能摆20排. [解析](1)由题知，三角点阵中前1行的 点数之和为1；三角点阵中前2行的点数 之和为1+2：三角点阵中前3行的点数 之和为1十2十3；三角点阵中前4行的 点数之和为1十2十3十4…所以三角 点阵中前n行的点数之和为1十2十 3…十m=m,1D.当n=8时， 2 n(m十1)=36，即三角点阵中前8行的点 2 数之和为36.当n=15时，nm+1) 2 120,即三角点阵中前15行的点数之和为 120.(2)由题意令n,+1=50,解得 2 n=二1生y400.:n为正整数，“.三角 2 点阵中前n行的点数之和不能为500. 第三节分式 知识网络 ①含有字母②分母不为0③a土b %⑤ bd bc b 当堂检测 1.D[解析]对于分式3当工=0时， 一3=0，则A不符合题意；当x-3= 0,即x=3时，分式无意义，则B不符合 题意；当x>3时，分式的值为正数，则C 不符合题意：易知x卡x一3，那么分式 二3的值不可能为1，圆D将合题意， 2.D 3.B[解析]原式=2红-x十2)(x-2) x+2(x十2)2 2xx-2_2x-(x-2)_2z一x+2 x+2x+2x+2 x十2 1，别表不要分的值的 x+2 对应点落在题图数轴上的范围是②. 4.心+2 [解析]原式=x-2+2 x-2 x+20(x-2=x.z+2)x-2 x+2 x 5.x≠3 6.解：原式=(0-12a-2 .a+2a+1 a2-1a2-1) a-1 a-12.a+1 (a+1)(a-1)a-1 =a十1.当a= √2-1时，原式=2-1十1=2. 安徽十年精选 1.x≠4 ·2· 2.解：原式=x十1) x+1 =x+1.当x=√2-1 时，原式=√2-1十1=√2. 3.解：原或=（-)·日= (a+1)(a-1).1_a+1 a-1 1 2 +1 时，原式= =-1. 1 4.a号×1+）)=2-日 207×(1+2）=2-日 证明：“左边=阳号×(1+只) 2m-×”+2_2m-1=2-1=右边， n+2 7 等式成立. 全国真题汇编 1.x≠19 2.0(答案不唯一) [解标]“7>0， 1>0,.x十1>0，即x>一1，则满足条 件x的值可以为0（答案不唯一）. 3.解：a-b-1=0,.a-b=1, 3(a-2b)+3b 3a-6b+3b a2-2ab+b2 (a-b)2 3a-3b 3(a-b)_3 = 3 (a-b)2(a-b)2 a-b=1=3. A 4.A .[解析] y xy+y x'+xy x一y· A + y ry xy A y(z+y) x(),Ax= (x一y)(x+y)十y2,整理得Ax=x2, .A=x. 5. 1 [解析]原式=二卫÷ x一y x2-2xy十y=-y (x-y)2= 1 6.- [解析].a1=x十1，.a2= 1 1 1-a1 1-(x+1) 1 x+1 a4=第二节整式 知识网络 直接代人法（先化简再代入） 列代数式→代数式求值 整体代入法（先变形再代入） 表示数字与字母积的代数式，叫单项式 单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数，单项式中所 单项式 有字母的指数之和叫这个单项式的次数，如一32xy3的 系数是① ,次数为② 整式 单独的一个字母或数字也是单项式 的分类 几个单项式的和叫多项式 多项式多项式的次数与项：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数，如 2x3y-x2+1是③ 次④ 项式 |a+(-b+c)=⑤ 整式 去括号 添括号a-b十c-a十(c-b) a-(-b+c)=⑥ a-b+c=a-(b-c) 加减合并同类项：同类项的系数相加减，所得的结果作为新的系数，字母和字母的⑦ 不变 ram·a"=⑧ am÷a”=⑨ 幂的运算 (am)"=⑩ (a≠0，m,n为整数) 整式 (ab)”=① 整 的运算 单项式乘以单项式：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式 式 里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，如 -3ab2·2b3c= 单项式乘以多项式：m(a十b十c)=③ 乘除运算 (m+a)(n+b)=④ 多项式乘以多项式 乘法公式 平方差公式：(a十b)(a-b)=⑤ 完全平方公式：(a士b)2=⑥ 单项式除以单项式：将系数、同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在 被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 概念：把一个多项式化为⑦ 的形式，叫因式分解，也叫把这个多项式分解因式 提公因式法：ma十mb-mc=⑧ 平方差公式：a2-b2=© 基本方法公式法 因式分解 完全平方公式：a2士2ab+b2=四 般步骤：一提公因式，二套公式，三查分解是否彻底 如果多项式各项式有公因式，应先提公因式 如果没有公因式，考虑用当多项式为两项时，考虑用平方差公式 般步骤 公式法来分解因式当多项式为三项时，考虑用完全平方公式 检查因式分解是否彻底：必须分解到每一个多项式都不能再分解为止 第二节整式 5 基础考点讲练 名师讲解Q, 【解析】 根据整式的运算法则化简后代入求值 即可. 典例1 【答案】解：原式=a2-4b2-(a2+b2-2ab)+ 已知a=7-3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为 5b2=a2-4b2-a2-b2+2ab+5b2=2ab.当 a= 【解析】方法一：直接将a=7-3b代入代数式， 26=3时，原式=2× 3=-15. 进行整式运算，可得出答案.即原式=(7一3b)2+ 方法急结 6(7-3b)b+962=49-42b+9b2+42b-18b2+ 在整式的化简求值中，一般先按运算顺序把 9b2=49.方法二：如果注意到所求式子可以因 整式化简，再把对应字母的值代入求整式的 式分解，将已知式子适当变形，整体代入，即可 值.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘 解答本题.a=7一3b,.a十3b=7,a2十 方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数 6ab+9b2=(a+3b)2=72=49. 的混合运算顺序类似。 【答案】49 方法总待 当堂检测 整体思想是我们在代数式求值中经常要加以 1.若等式2a2·a+☐=3a3成立，则☐内填写 应用的重要数学思想，其关键是通过对待求 的单项式可以是 ) 值的代数式进行变形，使其中所含的未知量 A.a B.a? C.a3 D.a' 都转化为已知代数式的形式，从而将已知代 2.多项式2ab一ab3的次数及最高次项的系数 数式作为一个整体，将其值代入，求得结果， 分别是 ( 典例2 A.3,-1 B.4,-1 分解因式：a2(a-b)+4(b-a)= C.6,-1 D.4,1 【解析】本题的结构可以看成“两个部分”，每 3.计算(a2)3·a3的结果是 ( 部分均含有因式(a一b),故需先提公因式，进而能 A.a2 B.a3 C.a5 D.a 够利用平方差公式进行分解因式.故a2(a一b)+ 4.(2024·通辽)分解因式：3ax2-6axy十 4(b-a)=(a-b)(a2-4)=(a-b)(a+2)(a-2). 3ay2= 【答案】(a-b)(a+2)(a-2) 5.(2024·乐山)已知a一b=3,ab=10,则a2+ …方法总结 b2= 分解因式关键是选择合适的方法.分解因式 6.(2024·济宁)先化简，再求值：x(y一4x)+ 的步骤是一提（提公因式）、二套（套公式）、 (2z+y2红-》其中x=y=2. 三验（检验分解是否彻底）. 典例3(2024·毫州模拟) 先化简，再求值：(a一2b)(a+2b)一(a-b)2+ 5b2,其中a= 26=3. 6 第一章数与式 安徽十年精选 考点①幂的运算性质 2018年的年增长率保持不变，2016年和2018 1.(2024·安徽)下列计算正确的是 年我省有效发明专利分别为a万件和b万 A.a3+a3=a6 B.a6÷a3=a2 件，则 ) C.(-a)2=a2 D.√a=a A.b=(1+22.1%×2)a 2.(2023·安徽)下列计算正确的是 B.b=(1+22.1%)2a A.a4十a4=a8 B.a4·a4=a16 C.b=(1+22.1%)2a C.(a)'=a6 D.a8÷a4=a2 D.b=22.1%X2a 考点③因式分解 3.(2022·安徽)下列各式中，计算结果等于a9 8.(2020·安徽)分解因式：ab2-a= 的是 ( 9.(2018·安徽)下列分解因式正确的是（) A.a3+a B.a3·a A.-x2+4x=-x(x+4) C.a10-a D.a18÷a2 B.x2+xy+x=x(x+y) 4.(2020·安徽)计算(-a)°÷a3的结果是( C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2 A.-a3 B.-a2 C.a3 D.a2 D.x2-4x+4=(x+2)(x-2) 5.(2017·安徽)计算（一a3)2的结果是( 10.(2017·安徽)因式分解：a2b-4ab+4b= A.a B.-a6 C.-a5 D.a 【变式训练】 【变式训练】 某正方形广场的边长为4×10m,其面积用 已知实数a,b满足a+b=6,ab=7,则 科学记数法表示为 ( a2b十ab2的值为 A.4×104m B.16×104m2 考点④规律探究 C.1.6×105m2 D.1.6×104m2 11.(2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动， 考点②代数式及其求值 研究了“正整数N能否表示为x2一y2(x,y 6.[数学文化](2023·安 均为自然数)”的问题 徽)清初数学家梅文鼎在 (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分 著作《平三角举要》中，对 信息如下(n为正整数)： 南宋数学家秦九韶提出 DC 的计算三角形面积的“三 奇数 4的倍数 斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程 1=12-02 4=22-02 中创造性地设计直角三角形，得出了一个结 3=22-12 8=32-12 论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD= 表示 5=32-22 12=42-22 C+AAC.当AB=,C=6 结果 7=42-32 16=52-32 9=52-42 20=62-42 AC=5时，CD= .oa 7.(2018·安徽)据省统计局发布，2017年我省 有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定 般结论2n一1=n2-(n一1)2 4n=? 第二节整式 按上表规律，完成下列问题： 【规律发现】 (1)24=(。)2-( )2 请用含n的式子填空： （i)4n= (1)第n个图案中“回”的个数为 (2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14…这些 (2)第1个图案中“★”的个数可表示为 形如4n一2(n为正整数)的正整数N不 1×2 2 ,第2个图案中“★”的个数可表示 能表示为x2-y2(x,y均为自然数).师 生一起研讨，分析过程如下： 为2X3 °，第3个图案中“★”的个数可表 假设4n一2=x2一y2,其中x,y均为自 示为 ,第4个图案中“★”的个数可 然数. 分下列三种情形分析： 表示为 …第n个图案中“★”的个 ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m, 其中，m均为自然数， 数可表示为 则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2) 【规律应用】 为4的倍数， (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规 而4n一2不是4的倍数，矛盾.故x,y不 律，求正整数n,使得连续的正整数之和 可能均为偶数 1十2十3十…十+n等于第n个图案中“回” ②若x,y均为奇数，设x=2k十1，y= 的个数的2倍. 2m+1,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=(2k十1)2-(2m十1)2= 为4的倍数 而4n一2不是4的倍数，矛盾.故x,y不 可能均为奇数 ③若x,y一个是奇数一个是偶数，则x2 13.(2021·安徽)某矩形人行道由相同的灰色 -y2为奇数. 正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形 而4n一2是偶数，矛盾.故x,y不可能 地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排 个是奇数一个是偶数。 列方式，其中正方形地砖为连续排列： 由①②③可知，猜测正确. 【观察思考】 阅读以上内容，请在情形②的横线上填 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形 写所缺内容. 地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块 12.(2023·安徽) 时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以 【观察思考】 此类推。 ◎ 9e6 *回 区X区.XX☒ ☒☒ ◎*◎ *回 ⊙O 0。e 图1 图2 图3 ◎*◎ 回@@ 回o*回*回 @*@*回*@*回 【规律总结】 第1个 第2个 第3个 第4个 图案 图案 图案 图案 (1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则 等腰直角三角形地砖增加 块； 第一章数与式 (2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整 此规律再建一条人行道，要求等腰直角 数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地 三角形地砖剩余最少，则需要正方形地 砖的块数为 (用含n的代数式 砖多少块？ 表示)； 【问题解决】 (3)现有2021块等腰直角三角形地砖，若按 全国真题汇编 考点① 代数式的值 考点⑤ 数式的规律探究 1.(2024·苏州)若a=b十2，则(6一a)2= 9.(2024·青海)如图是由火柴棒摆成的图案， 2.(2024·广安)若x2一2x一3=0，则2x2 按此规律摆放，第7个图案中有 个 4x+1= 火柴棒。 考点②幂的运算性质 3.(2024·眉山)下列运算中正确的是（ A.a2-a=a B.a·a2=a3 图1 图2 图3 ● C.(a2)3=a D.(2ab2)3=6a3b6 10.(2024·凉山州)阅读下面 ●● ●●● 考点③因式分解 材料，并解决相关问题： ●●●● ●●●●● 4.（2024·山东)因式分解：x2y+2xy= 如图是一个三角点阵，从 ●●●●●● 上向下数有无数多行，其···●●●● 5.(2024·威海)因式分解：(x十2)(x+4)+1= 中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第 n行有n个点…容易发现，三角点阵中前 考点④ 整式运算 4行的点数之和为10. 6.（2024·福建)下列运算正确的是 (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ( A.a3·a3=a B.a4÷a2=a2 ,前15行的点数之和为 C.(a3)2=a5 D.2a2-a2=2 那么，前n行的点数之和为 7.(2024·德阳)若一个多项式加上y2十3xy (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 4,结果是3xy十2y2一5，则这个多项式为 (选填“能”或“不能”)为500； (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景， 8.(2024·甘肃)先化简，再求值：[(2a+b)2- 其中一种造型要用420盆同样规格的 (2a十b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1. 花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排 6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成， 则一共能摆放多少排？ 第二节整式 9