第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组（单元自测·提升卷）数学新教材北京版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．主要依据不等式的定义来判断． 【详解】解：①是等式； ②是多项式； ③是多项式； ④符合不等式的定义； ⑤符合不等式的定义； 所以，不等式是④⑤，共2个， 故选：A． 2．（24-25七年级下·北京·期末）三个非零数a，b，c，满足，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不一定大于b， 故本选项不符合题意； B、∵，∴， 故本选项不符合题意； C、∵，∴， 故本选项不符合题意； D、∵，∴， 故本选项符合题意； 故选：D． 3．不等式组的非负整数解为（　　） A．、、0、1 B．1、2 C．1 D．0、1 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有非负整数解是：， 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得，． 故选：B． 5．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组：一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 先解两个不等式得到和，然后根据同小取小可确定n的范围． 【详解】解：由，得， 根据已知条件，不等式组的解集为， ∴， 故选：A． 6．（24-25七年级下·北京密云·期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，已知每个足球60元，每个篮球90元，学校最多可以购买的篮球个数是（    ） A．115 B．116 C．117 D．118 【答案】B 【分析】设学习可以购买x各篮球，根据要求足球和篮球的总费用不超过15500元列不等式求解． 【详解】解：设学习可以购买x各篮球， 由题意得，90x+60（200-x）≤15500， 解得x≤， ∵x为正整数， ∴x≤116，即学校最多可以购买的篮球116个， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 7．（25-26七年级下·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解：由不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得：， ∴此时 综上，实数m的取值范围是， 故选：C． 8．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）满足不等式的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集后，然后在解集范围内找出最小整数解即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， 所以最小整数解是， 故答案为：． 10．关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，解题的关键是表示出各不等式的解集，再根据不等式组的解集求得参数．表示出各不等式的解集后，再根据口诀“同小取小”得出的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得，， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·北京丰台·期末）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据只有四个整数解的条件确定a的取值范围． 【详解】解：∵， 由①得： ； 由②得： ，即 ． ∴不等式组的解集为 ． 由于只有四个整数解，且，因此整数解为 1， 0， ， ． 为确保解集包含 但不包含 ， ∴． 故答案为： 13．（24-25七年级下·北京海淀·期末）已知整数x满足不等式和，且满足方程，代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后确定出整数x的值，代入方程求出a的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵x为整数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解不等式，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元一次不等式的方法和步骤． 根据题目所给新定义，进行分类讨论，先求出x的取值范围，再去除y的取值范围即可． 【详解】解：当，即时，， ∴； 当，即，， ∴， 综上：的取值范围为． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）将长为、宽为（大于且小于）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作：再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作：如此反复操作下去，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止当时，的值为 ．    【答案】或 【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为，另一边长为；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为、，根据第次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：第次操作，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的长宽分别为、， 由，得， 第次操作，剪下的正方形边长为， ∴剩下的长方形的两边分别为、， ①当，即时， 则第次操作时，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的两边分别为、， 则，解得； ②，即时 则第次操作时，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的两边分别为、， 则，解得； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 16．（24-25七年级下·北京大兴·期末）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有 （填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a b（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算、不等式的性质，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后利用已知判断化简式子与0的大小关系即可得到答案； （2）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后根据已知得到化简式子与0的大小关系即可得到答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则成立， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则， ∴成立， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·北京石景山·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是求出各个不等式的解集． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 18．（5分）（24-25七年级下·北京房山·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴表示不等式的解集，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 先去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：． 数轴表示为： 19．（6分）（24-25七年级下·北京怀柔·期末）下面是小明同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答过程： 第一步：； 第二步： ； 第三步： ； 第四步：； 第五步：； 第六步：． (1)请将第二、三步和在数轴上表示解集补充完整； (2)第二步变形的依据是 ； (3)第三步变形的目的是 ． 【答案】(1)；4；数轴上表示见解析； (2)去括号法则； (3)去分母． 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解不等式的步骤求出解集，再用数轴表示即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】（1）解：第一步：； 第二步：， 第三步：； 第四步：； 第五步：； 第六步：， 数轴上表示如图， ， （2）根据题意可知：去括号法则， 故答案为：去括号法则； （3）根据题意可知：去分母， 故答案为：去分母． 20．（6分）已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先得出该不等式组的解集为．再结合“有5个整数解”这个条件得这5个整数解为3，2，1，0，，再列出，即可作答． 【详解】解：解不等式， 得． 解不等式， 得， 该不等式组的解集为． 这个不等式组有5个整数解， 这5个整数解为3，2，1，0，， ， ∴解得， 的取值范围为． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)有5种购买方案； (2)最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的应用． （1）设购买型设备x台，型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过220万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案； （2）根据型、型的产量和公司要求每月的产量不低于6120吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买型设备x台，型设备台， 根据题意，得，解得， 因为每一种新设备至少买1台， 所以，2，3，4，5， 所以有5种购买方案； （2）解：根据题意，得， 解得， 则x为4或5， 当时，购买资金为(万元)， 当时，购买资金为 (万元)， 因为， 所以最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 22．（8分）（24-25七年级下·北京石景山·期末）在某市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，已知每台电脑、每台电子白板各0.5和1.5 万元，根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元．但不低于28万元．请你通过计算求出有哪几种购买方案． 【答案】方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．方案三费用最低． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，正确得出不等关系列出不等式组是解题关键． 设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设需购进电脑a台，则购进电子白板台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答即可． 【详解】解：设需购进电脑a台，则购进电子白板台， 则， 解得：，即，16，17． 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元； 方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元； 方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元． ∴方案三费用最低． 23．（8分）（2024七年级下·北京·专题练习）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，， 又， ， ， 又，①， 同理得：②， 由①②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，且，，则的取值范围是　 　． (2)已知，，若成立，求的取值范围．（结果用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式，掌握不等式的应用，整体思想是解题关键． （1）先把，化为，再根据，，求出，①同理得，②①②得，进而求出的取值范围； （2）解题方法同（1）类似，不同就是当，即，注意的取值范围． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ，① 同理得，② ①②得， ； 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ①， 同理得②， ②得． 24．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． (1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； (2)对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①且 ②或 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及不等式组，新定义，不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义． （1）根据定义得到“逆不等式”是，“否不等式”为，再联立得到不等式组，再求解即可； （2）①由于和有相同的解集，则为一正一负，分两种情况讨论，分别解不等式即可； ②设，当时，当时，均不成立；当时，解集为，即：；当时，解集为，即：，由于存在唯一的负整数，则或，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，不等式，它的“逆不等式”是，“否不等式”为， ∴， 解得不等式组的解集为：， 故答案为：； （2）解：①由题意得：和有相同的解集， ∵解集的不等号发生了改变， ∴为一正一负， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的数量关系为：且； ②设， 当时，由解得：；由解得， 则解集有无数负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集无负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：， ∵存在唯一的负整数， ∴或， ∴或， ∴或． 25．（10分）（24-25七年级下·北京·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 【答案】(1)①，；② (2)， (3) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用； （1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可． （2）建立关于a，b的方程组计算即可． （3）根据甲乙两商场费用一样得出，进而得出，根据题意解不等式组，进而即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：， ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，． （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为 26．（10分）（25-26七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D B A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12． 13．/ 14． 15．或 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是求出各个不等式的解集． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得．····························2分 解不等式②，得．···························4分 ∴原不等式组的解集为．···························5分 18．（5分） 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴表示不等式的解集，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 先去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， 解得：，···························3分 ∴原不等式的解集为：． 数轴表示为： ···························5分 19．（6分） 【答案】(1)；4；数轴上表示见解析； (2)去括号法则； (3)去分母． 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解不等式的步骤求出解集，再用数轴表示即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】（1）解：第一步：； 第二步：， 第三步：； 第四步：； 第五步：； 第六步：， 数轴上表示如图， ，···························4分 （2）根据题意可知：去括号法则， 故答案为：去括号法则；···························5分 （3）根据题意可知：去分母， 故答案为：去分母．···························6分 20．（6分） 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先得出该不等式组的解集为．再结合“有5个整数解”这个条件得这5个整数解为3，2，1，0，，再列出，即可作答． 【详解】解：解不等式， 得．···························1分 解不等式， 得，···························2分 该不等式组的解集为． 这个不等式组有5个整数解， 这5个整数解为3，2，1，0，，···························4分 ， ∴解得， 的取值范围为．···························6分 21．（6分） 【答案】(1)有5种购买方案； (2)最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的应用． （1）设购买型设备x台，型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过220万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案； （2）根据型、型的产量和公司要求每月的产量不低于6120吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买型设备x台，型设备台， 根据题意，得，解得， 因为每一种新设备至少买1台， 所以，2，3，4，5， 所以有5种购买方案；···························3分 （2）解：根据题意，得， 解得， 则x为4或5，··························4分 当时，购买资金为(万元)， 当时，购买资金为 (万元)， 因为， 所以最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台．···························6分 22．（8分） 【答案】方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．方案三费用最低． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，正确得出不等关系列出不等式组是解题关键． 设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设需购进电脑a台，则购进电子白板台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答即可． 【详解】解：设需购进电脑a台，则购进电子白板台， 则，···························2分 解得：，即，16，17．···························4分 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元； 方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元； 方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元． ∴方案三费用最低．···························8分 23．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式，掌握不等式的应用，整体思想是解题关键． （1）先把，化为，再根据，，求出，①同理得，②①②得，进而求出的取值范围； （2）解题方法同（1）类似，不同就是当，即，注意的取值范围． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ，① 同理得，② ①②得， ； 故答案为：；···························3分 （2）， ， ， ， ， ， ， ①，···························5分 同理得②，···························7分 ②得．···························8分 24．（8分） 【答案】(1) (2)①且 ②或 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及不等式组，新定义，不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义． （1）根据定义得到“逆不等式”是，“否不等式”为，再联立得到不等式组，再求解即可； （2）①由于和有相同的解集，则为一正一负，分两种情况讨论，分别解不等式即可； ②设，当时，当时，均不成立；当时，解集为，即：；当时，解集为，即：，由于存在唯一的负整数，则或，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，不等式，它的“逆不等式”是，“否不等式”为， ∴， 解得不等式组的解集为：， 故答案为：；···························2分 （2）解：①由题意得：和有相同的解集， ∵解集的不等号发生了改变， ∴为一正一负， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，由解得：；由解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的数量关系为：且；···························5分 ②设， 当时，由解得：；由解得， 则解集有无数负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集无负整数，不符合题意，舍； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：； 当时，由解得：；由解得， 则解集为， 即：， ∵存在唯一的负整数， ∴或， ∴或， ∴或．···························8分 25．（10分） 【答案】(1)①，；② (2)， (3) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用； （1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可． （2）建立关于a，b的方程组计算即可． （3）根据甲乙两商场费用一样得出，进而得出，根据题意解不等式组，进而即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：，···························2分 ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：；···························4分 （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，．···························7分 （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为···························10分 26．（10分） 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①；···························2分 （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：；···························5分 （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：．···························10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·北京·期末）三个非零数a，b，c，满足，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的非负整数解为（　　） A．、、0、1 B．1、2 C．1 D．0、1 4．（24-25八年级上·北京·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京密云·期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，已知每个足球60元，每个篮球90元，学校最多可以购买的篮球个数是（    ） A．115 B．116 C．117 D．118 7．（25-26七年级下·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）满足不等式的最小整数解为 ． 10．关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 11．（24-25七年级下·北京丰台·期末）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 12．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 13．（24-25七年级下·北京海淀·期末）已知整数x满足不等式和，且满足方程，代数式的值为 ． 14．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ． 15．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）将长为、宽为（大于且小于）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作：再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作：如此反复操作下去，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止当时，的值为 ．    16．（24-25七年级下·北京大兴·期末）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有 （填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a b（填“”，“”或“”）． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·北京石景山·二模）解不等式组：． 18．（5分）（24-25七年级下·北京房山·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（6分）（24-25七年级下·北京怀柔·期末）下面是小明同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答过程： 第一步：； 第二步： ； 第三步： ； 第四步：； 第五步：； 第六步：． (1)请将第二、三步和在数轴上表示解集补充完整； (2)第二步变形的依据是 ； (3)第三步变形的目的是 ． 20．（6分）已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 22．（8分）（24-25七年级下·北京石景山·期末）在某市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，已知每台电脑、每台电子白板各0.5和1.5 万元，根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元．但不低于28万元．请你通过计算求出有哪几种购买方案． 23．（8分）（2024七年级下·北京·专题练习）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，， 又， ， ， 又，①， 同理得：②， 由①②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，且，，则的取值范围是　 　． (2)已知，，若成立，求的取值范围．（结果用含的式子表示） 24．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． (1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； (2)对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 25．（10分）（24-25七年级下·北京·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 26．（10分）（25-26七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·北京·期末）三个非零数a，b，c，满足，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的非负整数解为（　　） A．、、0、1 B．1、2 C．1 D．0、1 4．（24-25八年级上·北京·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京密云·期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，已知每个足球60元，每个篮球90元，学校最多可以购买的篮球个数是（    ） A．115 B．116 C．117 D．118 7．（25-26七年级下·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）满足不等式的最小整数解为 ． 10．关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 11．（24-25七年级下·北京丰台·期末）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 12．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围 ． 13．（24-25七年级下·北京海淀·期末）已知整数x满足不等式和，且满足方程，代数式的值为 ． 14．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ． 15．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）将长为、宽为（大于且小于）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作：再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作：如此反复操作下去，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止当时，的值为 ．    16．（24-25七年级下·北京大兴·期末）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有 （填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a b（填“”，“”或“”）． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·北京石景山·二模）解不等式组：． 18．（5分）（24-25七年级下·北京房山·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（6分）（24-25七年级下·北京怀柔·期末）下面是小明同学求不等式解集并在数轴上表示解集的解答过程： 第一步：； 第二步： ； 第三步： ； 第四步：； 第五步：； 第六步：． (1)请将第二、三步和在数轴上表示解集补充完整； (2)第二步变形的依据是 ； (3)第三步变形的目的是 ． 20．（6分）已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表： 型 型 价格（万元/台） 24 20 产量（吨/月） 720 540 (1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）； (2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案． 22．（8分）（24-25七年级下·北京石景山·期末）在某市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，已知每台电脑、每台电子白板各0.5和1.5 万元，根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元．但不低于28万元．请你通过计算求出有哪几种购买方案． 23．（8分）（2024七年级下·北京·专题练习）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，， 又， ， ， 又，①， 同理得：②， 由①②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，且，，则的取值范围是　 　． (2)已知，，若成立，求的取值范围．（结果用含的式子表示） 24．（8分）（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”． (1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________； (2)对于的不等式（其中）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 25．（10分）（24-25七年级下·北京·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 26．（10分）（25-26七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $