精品解析：湖北省黄冈市浠水实验中学2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟试卷

浠水实验中学2025-2026年度上学期期末模拟试卷 九年级数学 一、选择题 1. 习总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”下列有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. “若是有理数，则”是必然事件 B. 成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件 C. “景德镇市明天降雨的概率为”，表示景德镇市明天一定降雨 D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 3. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A. 12 B. 10 C. 7 D. 5 4. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 5. 小小气球也蕴含着大学问，已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．其图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 与之间的关系式为 B. 当时， C. 当越来越大时，也越来越大 D. 当时， 6. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 7. 如图，在中，点D，E分别在和上，，M为边上一点（不与点B，C重合），连接交于点N，则错误的结论为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，点E在边上，交于点F，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 9. 如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 12. 为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为_______． 13. 如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为_____． 14. 如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 15. 如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段，连接交于点F，若，则________，________． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 18. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 19. 项目式学习： 项目主题 劳动实践基地菜地设计 项目情境 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为21米．菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为1米的小门，方便同学们出入．边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆． 活动任务一 （1）若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； 活动任务二 （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 活动任务三 （3）小辉认为菜地的最大面积可以达到192平方米，他的说法对吗？通过计算说明理由． 20. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点． （1）填空：______，______． （2）连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 21. 素材一：如图（1），施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． 素材二：施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为1米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高4米的特种车辆？请通过计算说明； （3）为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 22. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求的长． 23. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：______． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，求当四边形关于直线对称、四边形为矩形这两种情况时，线段的长度分别是多少？简述理由． 24. 已知抛物线的图像经过点，与x轴交于另一点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）直接写出a的值，及B，C两点坐标； （2）如图1，若点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q，求的值； （3）如图2，若，点P是抛物线上任意一点，且点P的横坐标为m ①当，求面积的最大值； ②过点P作轴，交抛物线于另一点Q，轴交直线于点D，轴交直线于点E，当的值为14，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水实验中学2025-2026年度上学期期末模拟试卷 九年级数学 一、选择题 1. 习总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”下列有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，故该选项不符合题意； B、能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，故该选项符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，故该选项不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. “若是有理数，则”是必然事件 B. 成语“刻舟求剑”所描述的事件是随机事件 C. “景德镇市明天降雨的概率为”，表示景德镇市明天一定降雨 D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件的分类和概率的意义进行解答即可，此题考查了事件的分类、概率的意义，熟练掌握事件的分类、概率的意义是解题的关键． 【详解】解：A、“若是有理数，则”是必然事件，故A说法正确，符合题意； B、成语“刻舟求剑”所描述的事件，是不可能事件，故B说法错误，不符合题意； C、“景德镇市明天降雨的概率为”，表示景德镇市明天降雨的可能性是，故C说法错误，不符合题意； D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次不一定中奖次，故D说法错误，不符合题意； 故选：A ． 3. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A. 12 B. 10 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，即，然后根据根与系数的关系得到，，再利用整体代入的方法计算可得：． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，同时也考查了一元二次方程的解． 4. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 小小气球也蕴含着大学问，已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．其图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 与之间的关系式为 B. 当时， C. 当越来越大时，也越来越大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数图象的性质， 先根据图象经过点求出关系式，判断A；再将代入关系式可判断B；观察图象结合反比例函数图象的性质解答C；最后求出当时，，结合图像的性质解答D即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴反比例函数的关系式为； 当时，； 根据图象可知，当越来越大时，p也越来越小； 当时，， 观察图象可知， 当时，， 所以A，B正确，C不正确，D正确． 故选：C． 6. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 7. 如图，在中，点D，E分别在和上，，M为边上一点（不与点B，C重合），连接交于点N，则错误的结论为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质． 根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质，逐项判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B正确，不符合题意； ∴，，故C正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意；A错误，符合题意； 故选：A 8. 如图，菱形中，，点E在边上，交于点F，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先结合菱形的性质，得出，再结合，故，运用勾股定理得，又因为，则是等腰直角三角形，则，结合，证明最后把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】解：过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵的延长线， ∴， 则， ∴， ∵，的延长线， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，30度角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9. 如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，则，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 10. 如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，再证明，得出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，， ， ， ， ． 在中， ． 作关于对称的图形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 把代入中得， ． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，概率公式，列表或画树状图可得出所有等可能的结果以及这两人选择同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 由表知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一部电影的有3种结果， 小明和小红两位同学恰好选择看同一部电影的概率为， 故答案为：． 13. 如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形及三角形的外角定理即可求解． 【详解】∵圆内接四边形， ∴， ∵点关于的对称点在边上， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题主要考查圆内的角度计算，解题的关键是熟知圆周角定理与三角形的外角定理． 14. 如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 如图，连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵轴 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵由图像可知， ∴． 故答案为：10． 15. 如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段，连接交于点F，若，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 过点作于点，如图，先根据等腰直角三角形的性质得到，再在中，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，进而可利用勾股定理计算出，接着根据旋转的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后证明，利用相似比可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 为等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， 线段逆时针旋转到线段， ， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， 即， ． 故答案为：，． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算和解一元二次方程，掌握几个特殊角的三角函数值和选择合适的一元二次方程解法解方程是解答本题的关键． （1）将特殊角的三角函数值分别求出再代入求解即可； （2）运用公式法求解一元二次方程，先得出，再用求根公式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ，，， ， ， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 18. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 【答案】乙楼的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 19. 项目式学习： 项目主题 劳动实践基地菜地设计 项目情境 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为21米．菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为1米的小门，方便同学们出入．边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆． 活动任务一 （1）若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； 活动任务二 （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 活动任务三 （3）小辉认为菜地的最大面积可以达到192平方米，他的说法对吗？通过计算说明理由． 【答案】（1），； （2）10米； （3）错误；理由： 设菜地的面积为S，由题意得： ． ，抛物线的对称轴为直线． ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，S取得最大值，最大值为189（平方米）． ， ∴小辉的说法是错误的． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由（1）及题意可列方程，然后进行求解即可； （3）设菜地的面积为S，由（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵墙最大可利用长度为21米， ∴， 解得：； 故答案为； （2）由题意得：， 整理得：，解得：． ， ． 答：此时的宽为10米． （3）略 20. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点． （1）填空：______，______． （2）连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入直线中，即求出m的值，即可得出A点坐标，将A点坐标打代入反比例表达式，求出k即可； （2）令直线，求出C点坐标，再将一次函数和反比例函数联立构造方程组求出B点坐标，直接利用，即可求出结果； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，再结合点A、点B的坐标和图象即可得出结果． 【小问1详解】 将点坐标代入直线，得： 故 将代入，得 ， 故答案为：6 6 【小问2详解】 令直线中，得 故 两个函数联立成方程组，得： 解得或 故 ； 【小问3详解】 根据图像可知：当或时， 【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键． 21. 素材一：如图（1），施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． 素材二：施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为1米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高4米的特种车辆？请通过计算说明； （3）为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】（1）解析式 （2）能，说明见解析 （3）20米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论； （3）设，则，根据矩形的性质得出，，设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为． 把点，点代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 能同时并行两辆宽米、高4米的特种车辆． 【小问3详解】 解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则 ∴ ∵， ∴当时，l有最大值为． 答：三根木杆的长度和的最大值是米． 22. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若的半径，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，是的切线，即，则有，所以，证明是等腰直角三角形，从而求证； （）先证明是等腰直角三角形，所以，由（）得，连接，然后通过勾股定理得，最后根据线段的和与差即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（）得， 如图所示，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 23. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：______． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，求当四边形关于直线对称、四边形为矩形这两种情况时，线段的长度分别是多少？简述理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当四边形关于直线对称时，；当四边形为矩形时，；理由如下： ①当四边形关于所在直线对称时，如图3，此时交于点， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴ ，， ∴， ∴， ②当四边形为矩形时，如图4， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 综上所述，当四边形关于直线对称时，；当四边形为矩形时，． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，由可证，可得； （2）根据矩形的性质，通过证明，可证，即可求解； （3）①当四边形关于所在直线对称时，根据矩形的性质和轴对称的性质，证明，②当四边形为矩形时，根据矩形的性质和轴对称的性质，证明；然后根据相似三角形的性质和勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 24. 已知抛物线的图像经过点，与x轴交于另一点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）直接写出a的值，及B，C两点坐标； （2）如图1，若点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q，求的值； （3）如图2，若，点P是抛物线上任意一点，且点P的横坐标为m ①当，求面积的最大值； ②过点P作轴，交抛物线于另一点Q，轴交直线于点D，轴交直线于点E，当的值为14，直接写出m的值． 【答案】（1），， （2）4 （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法可求得a值和函数解析式，进而可求得B、C坐标； （2）先由二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，设，根据坐标与图形性质得到，进而可得,，即可求解； （3）①先求得直线的函数解析式， 由题意，，则，又，利用坐标与图形性质得到，然后根据二次函数的性质求解即可； ②分当点P在Q右侧时和当点P在Q左侧时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的图像经过点， ∴，解得； ∴， 当时，， ∴； 当时，由得，， ∴； 【小问2详解】 解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 设， ∵点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q， ∴ ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：①设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由题意知，，则， 又∵，即点在点的上方， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②当点P在Q右侧时，由题意，当点P在点B处时，点Q在点A处，此时P、D重合，，，， ∴， ∴点P在点B右侧，此时点P、Q都在直线下方，如图， 由题意，，，，，， ∴，，， ∴ ， 由得， 解得或（舍去）； 同理，当点P在Q左侧时，根据抛物线的对称性，，即， 综上，满足条件的m值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $