大单元复习·专题讲练 专题2 一元二次方程2025-2026学年 浙教版八年级数学下册

专题2　一元二次方程 题型一　一元二次方程的有关概念 　　【典例1】 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n=0的一个根是x=－2，则n－2m－5的值为　－9　。  【解析】 把x=－2代入方程x2＋mx＋n=0，得4－2m＋n=0，整理，得n－2m=－4， ∴n－2m－5=－4－5=－9。 　　【点悟】 已知一元二次方程的根求未知系数，其方法主要有： (1)已知一根，直接代入原方程，得到一个关于待定系数的方程，解方程，求待定系数。 (2)已知两根，把两根直接代入原方程，列出关于待定系数的方程组，解方程组，求待定系数。 (3)利用根与系数的关系求解。 注意二次项系数不等于0。 　　【变式1－1】 若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=－4，则m＋n的值是(　C　) A.－10 B.－8 C.－6 D.－1 【解析】 把x1=2，x2=－4分别代入原方程，得 解得 ∴m＋n=2－8=－6。 　　【变式1－2】 已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1=0的两根之积为－4，则k的值为(　D　) A.4 B.－1 C.－4 D.－5 题型二　一元二次方程的解法 　　【典例2】 解下列方程： (1)(2x＋1)2－x2=0； (2)2x2－4x＋1=0。 解：(1)(2x＋1＋x)(2x＋1－x)=0， (3x＋1)(x＋1)=0， ∴3x＋1=0，或x＋1=0， 解得x1=－，x2=－1。 (2)2x2－4x＋1=0， 2(x－1)2－1=0， (x－1)2=， ∴x－1=±， 解得x1=，x2=。 　　【变式2－1】 若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21=0的根，则三角形的周长为　16　。  【解析】 解x2－10x＋21=0，得x1=3，x2=7。 ∵三角形的两边长分别为3和6，∴第三边长x的取值范围是6－3＜x＜6＋3，即3＜x＜9， ∴三角形的第三边长为7， ∴三角形的周长为3＋6＋7=16。 　　【变式2－2】 用指定的方法解下列方程： (1)x2=3(x＋1)(公式法)； (2)x2－2x－24=0(配方法)。 解：(1)整理，得x2－3x－3=0， ∴a=1，b=－3，c=－3， ∴b2－4ac=(－3)2－4×1×(－3)=21＞0， ∴x=， ∴x1=，x2=。 (2)x2－2x－24=0，x2－2x=24， x2－2x＋1=24＋1， (x－1)2=25，x－1=±5， ∴x1=6，x2=－4。 题型三　一元二次方程根的判别式 　　【典例3】 已知关于x的方程(k＋1)x2－(3k＋1)x＋2k=0是一元二次方程。 (1)求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况。 (2)若方程有一个根为－2，求k的值及方程的另一个根。 (3)若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值。 解：(1)∵关于x的方程(k＋1)x2－(3k＋1)x＋2k=0是一元二次方程， ∴k＋1≠0，∴k≠－1； 而Δ=[－(3k＋1)]2－4×2k(k＋1)=k2－2k＋1=(k－1)2≥0， ∴原方程有两个实数根。 (2)∵方程有一个根为－2， ∴4(k＋1)＋2(3k＋1)＋2k=0， 解得k=－， ∴原方程为x2＋x－1=0，∴x2＋x－2=0， ∴(x＋2)(x－1)=0， 解得x1=－2，x2=1， ∴方程的另一个根为1。 (3)∵(k＋1)x2－(3k＋1)x＋2k=0， ∴[(k＋1)x－2k](x－1)=0， ∴(k＋1)x－2k=0，或x－1=0， 解得x1=，x2=1。 ∵方程的一个根是另一个根的3倍， 当=3×1时，解得k=－3， 经检验，符合题意； 当3×=1时，解得k=， 经检验，符合题意。 综上所述，k=－3或。 　　【点悟】 当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)没有实数根。解这类问题前必须先分清方程是一元一次方程还是一元二次方程，是方程有实数根还是一元二次方程有实数根。 　　【变式3－1】 已知关于x的方程x2－(m＋5)x＋3m=0。 (1)求证：无论m取何值，此方程一定有实数根。 (2)若方程有一个实数根是5，求方程的另一个根。 解：(1)∵Δ=(m＋5)2－4×3m=m2＋10m＋25－12m=(m－1)2＋24≥24， ∴无论m取何值，此方程一定有实数根。 (2)将x=5代入x2－(m＋5)x＋3m=0， 得25－5(m＋5)＋3m=0，解得m=0， 解x2－5x=0，得x1=0，x2=5， ∴另一个根为0。 　　【变式3－2】 若关于x的一元二次方程为x2＋bx＋c=0，已知①b=2，c=1；②b=－2，c=－3；③b=1，c=2。请在上述三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程。 解：①b=2，c=1， ∴Δ=b2－4ac=4－4=0， ∴x=， 解得x1=x2=－1。 ②b=－2，c=－3， ∴Δ=b2－4ac=4＋12=16， ∴x= 解得x1=3，x2=－1。 ③b=1，c=2， Δ=b2－4ac=1－8=－7＜0，原方程无解。 题型四　一元二次方程的应用 　　【典例4】 某校八年级开展社会实践活动，如下是某小组的活动记录表，请根据相关信息解决问题。 社会实践活动记录表 小组 名称 ××× 活动时间 2025.6 小组 成员 ××× 地点 北岸果蔬超市 实践 内容 调查杨梅销售行情；帮助超市解决销售问题；同时思考惠民让利等事宜。 调研 信息 杨梅进价为40元/箱。 当杨梅售价为50元/箱时，每月可销售500箱。 若每箱售价每上涨1元，则月销售量将减少10箱。 解决 问题 问题1 (1)当销售单价定为每箱55元时，月销售量是多少？ 问题2 (2)设销售单价为每箱x(x≥50)元，请用含x的代数式表示月销售利润。 问题3 (3)请自行提出一个实际问题，并尝试解决。 　　解：(1)依题意，当销售单价定为每箱55元时，月销售量是500－(55－50)×10=450(箱)。 (2)依题意，设销售单价为每箱x(x≥50)元， 则月销售量为500－(x－50)×10 =(1 000－10x)箱， 每箱的销售利润为(x－40)元， ∴月销售利润=(1 000－10x)(x－40)=(－10x2＋1 400x－40 000)元。 (3)依题意，提出问题：如果该超市将当月的盈利目标定为8 000元，且尽可能让利给顾客，那么销售单价应定为每箱多少元？ 解答如下： 由题意，得(1 000－10x)(x－40)=8 000， 整理得x2－140x＋4 800=0， 解得x1=60，x2=80(不符合题意，舍去)。 答：销售单价应定为每箱60元。 　　【变式4－1】 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2023年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2025年日租金上涨到121元。 (1)求2023年至2025年日租金的年平均增长率。 (2)经市场调研发现，从2025年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆。已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元。 ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y元，则每辆汽车的日租金为　121＋y　元，实际能租出　300－2y　辆车。  ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益为28 200元？(日收益=总租金－各类费用) 解：(1)设2023年至2025年日租金的年平均增长率为x， 根据题意，得100(1＋x)2=121， 解得x1=0.1=10%，x2=－2.1(不符合题意，舍去)。 答：2023年至2025年日租金的年平均增长率为10%。 (2)②根据题意，得(121＋y)(300－2y)－31(300－2y)－10[300－(300－2y)]=28 200， 整理，得y2－50y＋600=0，解得y1=20，y2=30。 答：当每辆汽车的日租金上涨20或30元时，该租赁公司的日收益为28 200元。 　　【变式4－2】 强强为了激励自己学好数学，在白纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房。其中长方形书法作品长80 cm，宽20 cm，正方形书法作品边长为40 cm。现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸(如图1，图2)，设彩纸的宽为x(cm)。(粘贴连接处忽略不计) (1)装裱后长方形书法作品的长为　80＋2x　cm；正方形书法作品的面积为　1 600＋160x＋4x2　cm2(用含x的代数式表示)。  (2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为1 100 cm2，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积。 变式4－2图 　 解：(2)由题意得，装裱后长方形书法作品的长为(80＋2x)cm，宽为(20＋2x)cm， ∴装裱后长方形书法作品的面积为(80＋2x)(20＋2x)=(1 600＋200x＋4x2)cm2， ∴装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为1 100=1 600＋200x＋4x2－80×20，即x2＋50x－275=0， 解得x1=5，x2=－55(不符合题意，舍去)。 根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为(40＋2x)2=(1 600＋160x＋4x2)cm2， ∴装裱正方形书法作品所用彩纸的面积=1 600＋160x＋4x2－402=160×5＋4×52=900(cm2)。 答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为900 cm2。 1.下列方程中，属于一元二次方程的是(　B　) A.2x－1=3x B.x2=4 C.x2＋3y＋1=0 D.x3＋1=x 2.用配方法解方程x2－6x－4=0，配方正确的是(　A　) A.(x－3)2=13 B.(x＋3)2=13 C.(x－6)2=4 D.(x－3)2=5 3.下列解一元二次方程的变形中，正确的是(　C　) A.若x2=3x，则x=3 B.若(3x－1)2=(5x＋6)2，则3x－1=5x＋6 C.若x2＋4x＋1=0，则(x＋2)2=3 D.若x(x＋2)=6，则x=2或x＋2=3 4.写出一个二次项系数为1，解分别为2和－3的一元二次方程：　x2＋x－6=0　。  5.定义新运算“􀱋”：a􀱋b=(a＋b)b，如：2􀱋3=(2＋3)×3=15。若2􀱋x=3，则x=　－3或1　。  【解析】 ∵2􀱋x=3， ∴(2＋x)x=3，即x2＋2x－3=0， 解得x1=－3，x2=1。 6.用指定的方法解下列一元二次方程。 (1)3x2=2x(因式分解法)； (2)2x2=－4x＋1(公式法)； (3)x2＋6x＋5=0(配方法)。 解：(1)3x2=2x， 3x2－2x=0， x(3x－2)=0， ∴x1=0，x2=。 (2)∵a=2，b=4，c=－1， ∴b2－4ac=42－4×2×(－1)=24＞0， ∴x=， ∴x1=，x2=。 (3)x2＋6x=－5，x2＋6x＋9=4， (x＋3)2=4，x＋3=±2， ∴x1=－5，x2=－1。 7.已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋5=0。 (1)若方程有两个相等的实数根，求b的值。 (2)若x1，x2是方程的两个实数根，当b=6时，求x2＋x1的值。 解：(1)根据题意，得Δ=b2－4×5=0， 解得b1=2，b2=－2， 即b的值为2或－2。 (2)当b=6时，方程化为x2＋6x＋5=0。 根据根与系数的关系得x1＋x2=－6，x1x2=5， ∴x2＋x1=x1x2(x1＋x2)=5×(－6)=－30。 8.若关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2=0有两个实数根x1，x2。 (1)求m的取值范围。 (2)在(1)的条件下，若x1，x2满足|x1|=x2，求实数m的值。 解：(1)∵关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2=0有两个实数根x1，x2， ∴Δ=4(m＋1)2－4m2≥0，解得m≥－。 (2)∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=－x2。 当x1=x2时，则Δ=0，所以m=－， 当x1=－x2时，即x1＋x2=2(m＋1)=0，解得m=－1。 ∵m≥－， ∴m的值为－。 9.神舟二十一号飞船发射升空，与中国空间站顺利对接。某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型。已知该模型每件成本40元，售价为70元。 (1)若十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件。求十一、十二这两个月的月平均增长率。 (2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店能获利9 000元，每件模型应降价多少元？ 解：(1)设十一、十二这两个月销量的月平均增长率为x， 由题意得，256(1＋x)2=400， 解得x1=0.25=25%，x2=－2.25(舍去)。 答：十一、十二这两个月的月平均增长率为25%。 (2)设每件模型应降价m元， 由题意得，(70－40－m)(400＋5m)=9 000， 整理，得m2＋50m－600=0， 解得m1=10，m2=－60(舍去)。 答：每件模型应降价10元。 10.如果关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m=0有两个实数根α，β，且α2＋β2=12，那么m的值为(　A　) A.－1 B.－4 C.－4或1 D.－1或4 【解析】 ∵关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m=0有两个实数根α，β， ∴－4(m2－m)≥0，解得m≤1，α＋β=－2(m－1)，αβ=m2－m。 ∵α2＋β2=12，∴(α＋β)2－2αβ=12， ∴－2(m2－m)=12， 解得m1=4(不合题意，舍去)，m2=－1， ∴m的值为－1。 11.已知方程x2＋bx＋c=0的两个根是±α，x2＋dx＋e=0的两个根是±β。当x=β时，x2＋bx＋c的值记作y1；当x=α时，x2＋dx＋e的值记作y2。则下列结论一定成立的是(　A　) A.y1＋y2=0 B.y1－y2=0 C.y1·y2=0 D.y1－y2=1 【解析】 ∵方程x2＋bx＋c=0的两个根是±α，x2＋dx＋e=0的两个根是±β， ∴b=－[α＋(－α)]=0，d=－[β＋(－β)]=0，c=α·(－α)=－α2，e=β·(－β)=－β2， ∴y1=β2＋c，y2=α2＋e， ∴y1＋y2=β2＋c＋α2＋e=－e＋c－c＋e=0。 其他选项不一定成立，故选A。 12.定义：若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)满足b=ac，则称此方程为“蛟龙”方程。 (1)当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)解的情况，并说明理由。 (2)若“蛟龙”方程2x2＋mx＋n=0 有两个相等的实数根，请解出此方程。 解：(1)“蛟龙”方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个不相等的实数根。理由如下： ∵一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)为“蛟龙”方程，∴b=ac。 ∵b＜0，∴Δ=b2－4ac=b2－4b=b(b－4)＞0， ∴“蛟龙”方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个不相等的实数根。 (2)∵方程2x2＋mx＋n=0为“蛟龙”方程，∴m=2n。 ∵方程2x2＋mx＋n=0 有两个相等的实数根， ∴Δ=m2－4×2n=4n2－8n=0， ∴n=0或2。 ∴当n=0时，方程为2x2=0，解得 x1=x2=0； 当n=2时，方程为2x2＋4x＋2=0，解得 x1=x2=－1。 13.已知▱ABCD的两边AB，AD的长分别是关于x的一元二次方程4x2－4ax＋2a－1=0的两个实数根。 (1)当a为何值时，▱ABCD是菱形？求此时菱形的边长。 (2)当AD=2时，求▱ABCD的周长。 解：(1)当AB=AD时，▱ABCD是菱形， 易知此时(－4a)2－4×4×(2a－1)=0， 解得a1=a2=1。 将a=1代入4x2－4ax＋2a－1=0，得4x2－4x＋1=0， 即(2x－1)2=0，解得x1=x2=， ∴此时菱形的边长为。 (2)将x=2代入4x2－4ax＋2a－1=0，得4×22－4a·2＋2a－1=0， 解得a=， ∴x1＋x2=a=，即AB＋AD=， ∴▱ABCD的周长=2×=5。 14.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=16 cm，AB=20 cm，点P，Q同时从A，C两点分别出发，沿AC，CB方向向终点C，B移动(当一个点到达终点时，另一个点也停止移动)，它们的速度都是1 cm/s。 (1)经过几秒，P，Q两点相距4 cm？ (2)当P，Q两点相距4 cm时，求△PCQ的面积. 　　第14题图 解：(1)∵在△ABC中，∠C=90°， ∴BC==12 cm， ∴当移动时间为12 s时，P，Q两点停止移动。 设经过x(s)，P，Q两点相距4 cm， 由题意，得CP=(16－x)cm， CQ=x(cm)。 又∵PQ=4 cm， ∴(16－x)2＋x2=(4)2，解得x1=8－2，x2=8＋2(不合题意，舍去). 答：经过(8－2)s，P，Q两点相距4 cm. (2)当x=8－2时，CP=16－x=8＋2，CQ=x=8－2， ∴S△PCQ=CP·CQ=(8＋2)(8－2)=12(cm2). 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2　一元二次方程 题型一　一元二次方程的有关概念 　　【典例1】 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n=0的一个根是x=－2，则n－2m－5的值为。  　　【点悟】 已知一元二次方程的根求未知系数，其方法主要有： (1)已知一根，直接代入原方程，得到一个关于待定系数的方程，解方程，求待定系数。 (2)已知两根，把两根直接代入原方程，列出关于待定系数的方程组，解方程组，求待定系数。 (3)利用根与系数的关系求解。 注意二次项系数不等于0。 　　【变式1－1】 若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=－4，则m＋n的值是( ) A.－10 B.－8 C.－6 D.－1 　　【变式1－2】 已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1=0的两根之积为－4，则k的值为( ) A.4 B.－1 C.－4 D.－5 题型二　一元二次方程的解法 　　【典例2】 解下列方程： (1)(2x＋1)2－x2=0； (2)2x2－4x＋1=0。 　　【变式2－1】 若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21=0的根，则三角形的周长为。  　　【变式2－2】 用指定的方法解下列方程： (1)x2=3(x＋1)(公式法)； (2)x2－2x－24=0(配方法)。 题型三　一元二次方程根的判别式 　　【典例3】 已知关于x的方程(k＋1)x2－(3k＋1)x＋2k=0是一元二次方程。 (1)求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况。 (2)若方程有一个根为－2，求k的值及方程的另一个根。 (3)若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值。 　　【点悟】 当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)没有实数根。解这类问题前必须先分清方程是一元一次方程还是一元二次方程，是方程有实数根还是一元二次方程有实数根。 　　【变式3－1】 已知关于x的方程x2－(m＋5)x＋3m=0。 (1)求证：无论m取何值，此方程一定有实数根。 (2)若方程有一个实数根是5，求方程的另一个根。 　　【变式3－2】 若关于x的一元二次方程为x2＋bx＋c=0，已知①b=2，c=1；②b=－2，c=－3；③b=1，c=2。请在上述三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程。 题型四　一元二次方程的应用 　　【典例4】 某校八年级开展社会实践活动，如下是某小组的活动记录表，请根据相关信息解决问题。 社会实践活动记录表 小组 名称 ××× 活动时间 2025.6 小组 成员 ××× 地点 北岸果蔬超市 实践 内容 调查杨梅销售行情；帮助超市解决销售问题；同时思考惠民让利等事宜。 调研 信息 杨梅进价为40元/箱。 当杨梅售价为50元/箱时，每月可销售500箱。 若每箱售价每上涨1元，则月销售量将减少10箱。 解决 问题 问题1 (1)当销售单价定为每箱55元时，月销售量是多少？ 问题2 (2)设销售单价为每箱x(x≥50)元，请用含x的代数式表示月销售利润。 问题3 (3)请自行提出一个实际问题，并尝试解决。 　　 　　【变式4－1】 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2023年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2025年日租金上涨到121元。 (1)求2023年至2025年日租金的年平均增长率。 (2)经市场调研发现，从2025年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆。已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元。 ①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车。  ②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益为28 200元？(日收益=总租金－各类费用) 　　【变式4－2】 强强为了激励自己学好数学，在白纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房。其中长方形书法作品长80 cm，宽20 cm，正方形书法作品边长为40 cm。现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸(如图1，图2)，设彩纸的宽为x(cm)。(粘贴连接处忽略不计) (1)装裱后长方形书法作品的长为cm；正方形书法作品的面积为cm2(用含x的代数式表示)。  (2)若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为1 100 cm2，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积。 变式4－2图 　 1.下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A.2x－1=3x B.x2=4 C.x2＋3y＋1=0 D.x3＋1=x 2.用配方法解方程x2－6x－4=0，配方正确的是( ) A.(x－3)2=13 B.(x＋3)2=13 C.(x－6)2=4 D.(x－3)2=5 3.下列解一元二次方程的变形中，正确的是( ) A.若x2=3x，则x=3 B.若(3x－1)2=(5x＋6)2，则3x－1=5x＋6 C.若x2＋4x＋1=0，则(x＋2)2=3 D.若x(x＋2)=6，则x=2或x＋2=3 4.写出一个二次项系数为1，解分别为2和－3的一元二次方程：。  5.定义新运算“􀱋”：a􀱋b=(a＋b)b，如：2􀱋3=(2＋3)×3=15。若2􀱋x=3，则x=。  6.用指定的方法解下列一元二次方程。 (1)3x2=2x(因式分解法)； (2)2x2=－4x＋1(公式法)； (3)x2＋6x＋5=0(配方法)。 7.已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋5=0。 (1)若方程有两个相等的实数根，求b的值。 (2)若x1，x2是方程的两个实数根，当b=6时，求x2＋x1的值。 8.若关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2=0有两个实数根x1，x2。 (1)求m的取值范围。 (2)在(1)的条件下，若x1，x2满足|x1|=x2，求实数m的值。 9.神舟二十一号飞船发射升空，与中国空间站顺利对接。某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型。已知该模型每件成本40元，售价为70元。 (1)若十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件。求十一、十二这两个月的月平均增长率。 (2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店能获利9 000元，每件模型应降价多少元？ 10.如果关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m=0有两个实数根α，β，且α2＋β2=12，那么m的值为( ) A.－1 B.－4 C.－4或1 D.－1或4 11.已知方程x2＋bx＋c=0的两个根是±α，x2＋dx＋e=0的两个根是±β。当x=β时，x2＋bx＋c的值记作y1；当x=α时，x2＋dx＋e的值记作y2。则下列结论一定成立的是( ) A.y1＋y2=0 B.y1－y2=0 C.y1·y2=0 D.y1－y2=1 12.定义：若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)满足b=ac，则称此方程为“蛟龙”方程。 (1)当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)解的情况，并说明理由。 (2)若“蛟龙”方程2x2＋mx＋n=0 有两个相等的实数根，请解出此方程。 13.已知▱ABCD的两边AB，AD的长分别是关于x的一元二次方程4x2－4ax＋2a－1=0的两个实数根。 (1)当a为何值时，▱ABCD是菱形？求此时菱形的边长。 (2)当AD=2时，求▱ABCD的周长。 14.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=16 cm，AB=20 cm，点P，Q同时从A，C两点分别出发，沿AC，CB方向向终点C，B移动(当一个点到达终点时，另一个点也停止移动)，它们的速度都是1 cm/s。 (1)经过几秒，P，Q两点相距4 cm？ (2)当P，Q两点相距4 cm时，求△PCQ的面积. 　　第14题图 学科网（北京）股份有限公司 $