专题06 导数的应用-单调性、极值及综合问题（热点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题06 导数的应用——单调性、极值、最值及综合问题 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：考查聚焦解答题核心板块，形式稳定且层次清晰。命题以单调性、极值、最值为基础，深度融合不等式证明、零点分析、三角函数等模块，常通过分层设问（基础运算→综合推理→创新应用）梯度推进。函数构造是高频技巧，多服务于不等式证明或双变量问题，凸显分类讨论、转化化归等通性通法，避免孤立命题，强调知识关联性与逻辑连贯性。 核心考查内容围绕导数工具性本质，涵盖单调区间求解、极值点判定、最值计算及构造函数建模。能力要求上，既侧重求导运算的精准性，也强调数形结合、逻辑推理与复杂问题拆解能力，需灵活处理含参讨论、隐零点代换等难点，充分体现对数学运算、逻辑推理等核心素养的综合检验。 预测2026年： 导数应用将延续分层设问模式，以解答题为主。基础问聚焦单调性、极值最值求解，压轴问大概率融合不等式证明、零点分析或双变量问题，强化构造函数、隐零点代换等技巧。可能结合三角函数、实际情境跨模块命题，突出分类讨论、转化化归思想，检验逻辑推理与运算精准性，保持“稳中有新”的命题特点。 题型01函数单调区间或单调性 解｜题｜策｜略 （1）求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. ③由 (或),解出相应的x的范围， 当时, 在相应的区间上是增函数;当时, 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. （2）求含参数函数的单调区间的步骤 ①确定函数的定义域；②求导数；③解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:一为二次项系数a:二为判别式Δ:三为方程f′(x)=0根的大小: ④结合定义域,画数轴、标根；⑤判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 【例1】已知函数，则的单调增区间为 【例2】已知函数． (1) 讨论的单调区间； 【变式训练】 【变式1-1】已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【变式1-2】讨论函数的单调性. 【变式1-3】已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 题型02根据函数的单调性求参数 解｜题｜策｜略 已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 【例3】设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【例4】已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 【变式2-1】若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【变式2-2】已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【变式2-3】已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 题型03求函数的极值或极值点 【例5】函数的极小值是 . 【例6】已知有两个极值点，，则 ． 【变式训练】 【变式3-1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【变式3-2】已知函数.判断函数在区间上极值点的个数并证明. 【变式3-3】已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 题型04根据函数的极值求参数范围 解｜题｜策｜略 由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 【例7】已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8】若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 【变式4-1】已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【变式4-2】已知函数有极大值，则实数c 的值为 【变式4-3】已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在大于零的极大值，求实数a的取值范围． 题型05利用导数求函数的最值 解｜题｜策｜略 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 【例9】已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例10】晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径 .    【变式训练】 【变式5-1】已知函数  . (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在上的最大值和最小值. 【变式5-2】如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【变式5-3】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 题型06根据函数的最值求参数范围 解｜题｜策｜略 已知函数最值求参数的步骤：（1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； （2）通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值； （3）结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用 【例11】已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【例12】已知函数．若在上的最小值为，求的取值范围． 【变式训练】 【变式6-1】已知实数，函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围是 ． 【变式6-2】已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【变式6-3】已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在内的最大值为2，求的值. 题型07零点问题 解｜题｜策｜略 导函数处理零点个数问题较复杂综合，涉及单调性、特殊位置函数值符号、隐零点探索、参数分类讨论等多类特征，需整合多种基本方法、思想和技能，常通过极值与单调性判断走势，分类讨论不可或缺。 【例13】已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是 【例14】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【变式训练】 【变式7-1】设为正实数，若实数是关于的方程的解，则 【变式7-2】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【变式7-3】已知函数，． (1)求的图像在处的切线方程； (2)若，证明：，； (3)探究函数的零点个数． 题型08不等式的证明 解｜题｜策｜略 利用导数证明或判定不等式问题有多种方法：一是构造新函数，通过导数研究其单调性与极值（最值）得出不等关系；二是分离变量构造函数转化为最值问题；三是适当放缩构造；四是构造“形似”函数，对不等式变形构造辅助函数。 【例15】已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【例16】已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 【变式训练】 【变式8-1】已知函数，． (1)若在上单调递增，，求实数的值； (2)证明：． 【变式8-2】设函数． (1)求的单调区间； (2)证明：当时，； 【变式8-3】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，证明：． 题型09极值点偏移 解｜题｜策｜略 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.2 【例17】已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点，求的取值范围； (2)当，，且，求证：. 【例18】已知函数. (1)证明：. (2)若函数，若存在使，证明：. 【变式训练】 【变式9-1】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【变式9-2】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【变式9-3】已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. （建议用时：40分钟） 1．（2025·26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高三上·福建福州·月考）已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·26高三上·安徽阜阳·月考）已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知曲线，则（   ） A．直线与的公共点数不等于直线与的公共点数 B．所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点 C．直线与的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．上横坐标的差为的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 5．（2025·陕西西安·三模）（多选）设为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·一模）函数在上的最小值为 . 7．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则函数的解析式为 ；若函数有唯一零点，则实数的值为 . 8．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 9．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若在上存在极大值，求的取值范围. 10．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)函数有两个零点，． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数的应用——单调性、极值、最值及综合问题 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：考查聚焦解答题核心板块，形式稳定且层次清晰。命题以单调性、极值、最值为基础，深度融合不等式证明、零点分析、三角函数等模块，常通过分层设问（基础运算→综合推理→创新应用）梯度推进。函数构造是高频技巧，多服务于不等式证明或双变量问题，凸显分类讨论、转化化归等通性通法，避免孤立命题，强调知识关联性与逻辑连贯性。 核心考查内容围绕导数工具性本质，涵盖单调区间求解、极值点判定、最值计算及构造函数建模。能力要求上，既侧重求导运算的精准性，也强调数形结合、逻辑推理与复杂问题拆解能力，需灵活处理含参讨论、隐零点代换等难点，充分体现对数学运算、逻辑推理等核心素养的综合检验。 预测2026年： 导数应用将延续分层设问模式，以解答题为主。基础问聚焦单调性、极值最值求解，压轴问大概率融合不等式证明、零点分析或双变量问题，强化构造函数、隐零点代换等技巧。可能结合三角函数、实际情境跨模块命题，突出分类讨论、转化化归思想，检验逻辑推理与运算精准性，保持“稳中有新”的命题特点。 题型01函数单调区间或单调性 解｜题｜策｜略 （1）求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. ③由 (或),解出相应的x的范围， 当时, 在相应的区间上是增函数;当时, 在相应区间上是减函数； ④结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. （2）求含参数函数的单调区间的步骤 ①确定函数的定义域；②求导数；③解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:一为二次项系数a:二为判别式Δ:三为方程f′(x)=0根的大小: ④结合定义域,画数轴、标根；⑤判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 【例1】已知函数，则的单调增区间为 【答案】 【分析】【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 【例2】已知函数． (1)讨论的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式训练】 【变式1-1】已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【分析】 【详解】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 【变式1-2】讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】【详解】由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式1-3】已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 题型02根据函数的单调性求参数 解｜题｜策｜略 已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立. 【例3】设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 【例4】已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】【详解】 设 ，易知在上单调递增，则， ， 由复合函数的单调性法则：同增异减，可得： 要使在上单调递增，只需在上也单调递增， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即，由于条件也是“”， 所以“”是“ 在 上单调递增”的充要条件. 故答案为：C 【变式训练】 【变式2-1】若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】【详解】由题意得， 因为在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-2】已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 【变式2-3】已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1），则， 令，可得，解得或， 则的变化如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得的单调增区间是和，单调减区间是； 函数的极大值为，极小值为； （2）因为 当，即时，，单调递增，故无极值点； 当，即或时，有两个根， ，， 由题意可得，①，或②， ①式无解，②式的解为， 故的取值范围是； （3）由已知，得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，故，所以， 即的取值范围为. 题型03求函数的极值或极值点 【例5】函数的极小值是 . 【答案】 【分析】【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得或， 当时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值. 故答案为：-6 【例6】已知有两个极值点，，则 ． 【答案】 【分析】【详解】，由题意是方程的两个根， 所以，是关于的方程的两个根， 所以故 因此． 故答案为： 【变式训练】 【变式3-1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【分析】 【详解】（1）由函数，可得， 令，可得或；令，可得， 则函数的增区间为和，减区间为. （2）解：由（1）可得 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数的极大值为，极小值为. 【变式3-2】已知函数.判断函数在区间上极值点的个数并证明. 【答案】有两个极值点，证明见解析 【分析】【详解】因为，， 设，则， 当时，，可得， 可知在上单调递减，则， 所以在内无零点； 当时，，可得， 可知在上单调递增，且，， 所以在上有唯一零点； 当时，，可得， 可知在上单调递减，且，， 所以在上有唯一零点. 综上所述：函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变， 故函数在区间内恰有两个极值点. 【变式3-3】已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为， 即； （2）由，得，， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调递增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． 题型04根据函数的极值求参数范围 解｜题｜策｜略 由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 【例7】已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 【例8】若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得，设，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且，，当时，，当时，， 当 时，直线 与 的图象仅在 区间有1个交点， 且该交点为变号零点（ 在 单调递减），则只有1个极值点， 当 时，直线 与 的图象有3个交点，则有3个极值点， 当 时，直线 与 的图象无交点，无极值点， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数 的取值范围是. 故选：A． 【变式训练】 【变式4-1】已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【分析】【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 【变式4-2】已知函数有极大值，则实数c 的值为 【答案】6 【分析】【详解】， 求导得，令，解得或， 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极大值，在处取得极小值， ，即，解得； 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极小值，在处取得极大值， ，不符合题意； 若，则，函数单调递增，无极值，不合题意； 综上，实数． 故答案为：6． 【变式4-3】已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在大于零的极大值，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）时，，， 则，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）定义域为， ，若，则恒成立， 故在上单调递增，不存在极值点，舍去； 若，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值， 极大值为， 令，解得， 故实数a的取值范围为. 题型05利用导数求函数的最值 解｜题｜策｜略 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 【例9】已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】【详解】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 【例10】晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径 .    【答案】 【分析】【详解】由题意知正方体的棱长为，故该正方体的体对角线长为， 设A原子的半径为r，B原子的半径为R， 依题意有，则， 8个A原子与1个B原子的体积之和为， 令，则， 由，得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 即当时，取得最小值， 即当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时， 原子A的半径为． 故答案为：． 【变式训练】 【变式5-1】已知函数  . (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)的极大值是2，极小值是-2. (3)在上的最大值为2，最小值为-2. 【分析】 【详解】（1）对函数求导得. 当或时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，令，解得或. 由（1）知，的单调递增区间为，单调递减区间为. 所以当时，取极大值为，当时，取极小值为. （3）由（1）知，的单调递增区间为，单调递减区间为. 因为，所以在上的单调递增区间为，单调递减区间为. 而， 所以在上的最大值为2，最小值为-2. 【变式5-2】如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【答案】(1)； (2)（i），；（ii）答案见解析. 【分析】 【详解】（1）由题设，则， 所以，而， 所以，则，故； （2）（i）由（1），，且， 所以，且； （ii）由（i）得，， 令， 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 【变式5-3】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由，可得， 令，得或. 因为，则当时，；当时，. 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. （2）当时，由（1）可知，在单调递减，在单调递增，所以在的最小值为，最大值为或. 所以， 所以. 当时，设，，单调递减， 因为，，所以的取值范围是. 当时，单调递增，所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 题型06根据函数的最值求参数范围 解｜题｜策｜略 已知函数最值求参数的步骤：（1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； （2）通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值； （3）结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用 【例11】已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【分析】【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 【例12】已知函数．若在上的最小值为，求的取值范围． 【答案】 【分析】【详解】因为，所以， 当时，因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递增，所以，故符合题意； 当时，令，解得或， 若，则，则在上单调递减， 若，则，则在上单调递增， 所以，故不符合题意； 当时，因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，故不符合题意； 综上所述，的取值范围是. 【变式训练】 【变式6-1】已知实数，函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】【详解】由题设知，且， ∵，，∴恒成立， 令，则；令，则； ∴在上递增，在上递减， ∴，即的值域为， 令，则， ∵，∴， ∴要使的值域也为，则需使，解得. 则实数a的取值范围是． 故答案为: . 【变式6-2】已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1)有极小值，无极大值； (2)答案见详解； (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 【变式6-3】已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在内的最大值为2，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为. (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 则， 当时， 令，解得：；令，解得：， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2） ①当时，在内恒成立，在内单调递增， 则，解得与矛盾； ②当时，有，时；时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 令，则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 题型07零点问题 解｜题｜策｜略 导函数处理零点个数问题较复杂综合，涉及单调性、特殊位置函数值符号、隐零点探索、参数分类讨论等多类特征，需整合多种基本方法、思想和技能，常通过极值与单调性判断走势，分类讨论不可或缺。 【例13】已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是 【答案】 【分析】【详解】令函数，可得有两个不等实根， 当时，，整理得， 令，则， 令，解得或0（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，； 当时，，整理得， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，， 作出、与图象，如下图所示： 因为函数有两个零点，且， 所以与和图象一共有两个交点， 由图象得，则正数m的取值范围是. 故答案为： 【例14】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以. 又，， 所以在点处的切线方程为：. （2）因为函数定义域为，， 因为时，，所以在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增. 所以，当时，有极小值，且. 且当时，， 时，， 所以若关于的方程有两个不相等的实数解，. 【变式训练】 【变式7-1】设为正实数，若实数是关于的方程的解，则 【答案】0 【分析】【详解】由方程，变形可得， 即， 令，则，所以为单调递增函数， 因为，可得，可得，即， 又因为实数是关于的方程的解， 可得，可得，所以0. 故答案为：0 【变式7-2】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，则， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）令，可得， 因为，记，， 原题意等价于在内恰有一个零点， 因为， 当时，则，可知在单调递减， 且，所以在区间上无零点，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，当趋近于时，趋近于， 则，解得； 综上所述：的取值范围为． 【变式7-3】已知函数，． (1)求的图像在处的切线方程； (2)若，证明：，； (3)探究函数的零点个数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）解：由函数，可得， 所以，且，即切线的斜率为，切点为， 所以的图像在处的切线方程为，即． （2）证明：当时，函数， 要证明，，即证，， 设，则，问题转化为，， 设，则， 所以在区间上单调递减，所以， 即，，即，， 所以，． （3）解：由，可得或， 即或， 设，则或， 设，可得， 所以单调递增，且，所以方程有唯一的根为1， 设，则， 当时，，单调递增， 方程有唯一的根1，只有1个零点； 当时，令，得， 则在区间，上单调递增， 在区间上单调递减， 且，，， 所以，， 由，， 且，， 所以在区间，上各有1个零点． 综上得，当时，有1个零点；当时，有3个零点． 题型08不等式的证明 解｜题｜策｜略 利用导数证明或判定不等式问题有多种方法：一是构造新函数，通过导数研究其单调性与极值（最值）得出不等关系；二是分离变量构造函数转化为最值问题；三是适当放缩构造；四是构造“形似”函数，对不等式变形构造辅助函数。 【例15】已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题知，则，又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以：. （2）由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 【例16】已知函数． (1)求的极值； (2)求证：． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 且， 因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，又， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）， 令， 则在上恒成立， 可知为上的增函数，且， 当时，，则； 当时，，则． 当时，． 综上所述：，即． 【变式训练】 【变式8-1】已知函数，． (1)若在上单调递增，，求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 即，即在区间上恒成立， 设，，因为与在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减， 所以，则， 由可得， 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以的最小值为，则， 综上可得． （2）证明：要证成立，需证成立， 令，则， 再令，显然在上是增函数， 当时，，当时，， 所以，即，即， 当时，，，当，． 所以，得证． 【变式8-2】设函数． (1)求的单调区间； (2)证明：当时，； 【答案】(1)单调增区间为；单调减区间为； (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 导函数为， 由，可得；由，可得． 即有的单调增区间为；单调减区间为； （2）当时，要证明，只需证明． 由（1）可得在递减， 可得当时，，即有； 设， 当时，，可得在单调递增，即有， 即有，则原不等式成立； 即当时，． 【变式8-3】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，，单调递增区间为 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，则． 令，解得或． 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增． 故当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为． （2）要证，即证． 当时，，又，所以，则． 令，则． 令，则， 当时，，故只需讨论的正负即可． 所以在上单调递增． 又， 所以存在唯一零点，使得，即． 故当时，即单调递减； 当时，即单调递增， 所以，所以． 故当时，． 题型09极值点偏移 解｜题｜策｜略 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.2 【例17】已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点，求的取值范围； (2)当，，且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】【详解】（1）令，即，则 函数在上有零点等价于方程在上有解， 设，则， 故函数在上是减函数，在上是增函数，故 所以a的范围是. （2）因为，故， 因为，所以得， 故在上是减函数，在上是增函数 因为，， 所以不妨设，， 设（）， 故， 所以在上是增函数， 所以，即， 故，即， 因为，，且， 所以， 因为在上是减函数， 所以，故. 【例18】已知函数. (1)证明：. (2)若函数，若存在使，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）令，，， 令，解得：；令，解得：， ∴在递增，在递减，则， ∴恒成立，即. （2）∵，，∴， 令，解得：；令，解得：； ∴在递增，在递减. 又∵，，，，且，. 要证，即证. ∵，∴， 又∵，∴只证即可. 令，， 恒成立， ∴在单调递增. 又∵，∴，∴， 即，∴. 【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断，，再转化为证明，根据的单调性可以将其转化为证明，构造函数后利用导数证明不等式即可. 【变式训练】 【变式9-1】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由可知，，， 即在上恒成立，， 令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增， 故只需，解得； （2）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（1）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， 由（1）知有两根，即有两根， 则有， 欲证，即证，， 令，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 又，，结合在单调递增，， 所以，则. 【变式9-2】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 【变式9-3】已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）（i）函数，求导得， 令，得， 设，求导得，， 令，得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 于是，由有两个极值点，得方程有两个实根， 即有两个实根，则. （ii）由（i）知，是方程的两个实根，即，且， 设，求导得， 令，则当时，， 即函数在上单调递增，则，即当时，， 于是函数在上单调递增，则，因此， 则，即，而，又在上单调递减， 因此，所以. （建议用时：40分钟） 1．（2025·26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为 ，， 由题意，得， 所以． 若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． ②若，由，得， 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以是函数的极大值点，不满足题意． 当时，即 ， ，此时单调递增，无极值点，不满足题意． 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极小值点，满足题意． ③若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． 综上 的取值范围是即． 故选：A． 2．（2025·26高三上·福建福州·月考）已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 3．（2025·26高三上·安徽阜阳·月考）已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 当 时， 单调递增，值域为 ； 当 时，，所以在上单调递增， 且 ，，可画简图，如图所示， 要使 有两个零点，即与有两个交点， 结合图象可知，即， 故选：C. 4．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知曲线，则（   ） A．直线与的公共点数不等于直线与的公共点数 B．所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点 C．直线与的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．上横坐标的差为的两点中至少有一个点的纵坐标的绝对值大于2 【答案】BC 【详解】选项A：设，则， 令，则或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值是，极小值是， 故直线与有2个公共点，直线与也有2个公共点，故A错误； 选项B：设， 则，则单调递增， 且当时，，当时，， 故有且仅有一个零点，即所有斜率为的直线都与有且仅有一个公共点，故B正确； 选项C：由上可知直线与有3个公共点，设它们的横坐标分别为，，， 则， 展开得， 故有，且， 所以，故C正确； 选项D：因为，且，此时这两点的纵坐标的绝对值均为2， 不符合题意，故D错误. 故选：BC 5．（2025·陕西西安·三模）（多选）设为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，取，，则，，则，故A错误； 对于B，由于，所以，由于，当且仅当时取等号； 所以，则；故B正确； 对于C，由于，则， 由于在上单调递增，所以；故C正确； 对于D，令，则， 所以在上单调递减；由于， 所以，即，则，故D错误； 故选：BC 6．（2025·浙江杭州·一模）函数在上的最小值为 . 【答案】2 【详解】由题可得：，解得：， 所以，则，令,解得：， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 故答案为： 7．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则函数的解析式为 ；若函数有唯一零点，则实数的值为 . 【答案】 或 【分析】 【详解】因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以， 因为①， 所以，即②， ①②联立，可解得. 令，则，所以为偶函数， 所以图象关于直线对称， 因为有唯一的零点，所以的零点只能为， 即，解得或. 当时，若，，则， 所以在上单调递增，根据偶函数性质可知在上单调递减， 所以是唯一零点，则满足条件， 当时，若，， 则， 由于，，，则， 所以， 所以在上单调递增，根据偶函数性质可知在上单调递减， 所以是唯一零点，则满足条件， 综上实数的值为或； 故答案为：；或 8．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 9．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若在上存在极大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由. 所以. 由. 设，. 则，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立. 即不等式的解集为. （2）因为，. 所以. 当即时，在上恒成立， 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在上只有极小值，无极大值； 当即时， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 当即时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，无极值； 当即时， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 综上，当时，函数在上存在极大值. 10．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数． (1)求函数的极值； (2)函数有两个零点，． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为（），所以. 当时，在上恒成立，所以在上单调递减，无极值； 当时，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）（i）. 设，则问题转化为与函数的图象有两个交点. 因为. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. ，且当时，；；当时，. 所以当时，与函数的图象有两个交点. 所以实数的取值范围为. （ⅱ）由（i）可知，. 由. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，当时，. 当时，与函数的图象有两个交点，且. 所以，且. 又，，，， 结合（i），，. 由，由. 所以. 因为，所以，， 所以，即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $