精品解析：广西柳州市柳江区名校协作体2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

广西2025~2026学年度上学期第四阶段素质评价 八年级数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组数分别是三条线段的长度，其中可以构成三角形的是（   ） A. 1，3，4 B. 1，2，3 C. 6，6，10 D. 1，4，6 3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短 6. 如图，是的一个外角，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图表示下列式子正确的是（） A. B. C. D. 10. 如图，平分，在上取一点P，过P作，若，则点P到的距离为（ ） A. B. C. D. 11. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是用黑白两种颜色的正六边形地面砖铺成的图案，依此规律，第n个图案中有（　　）个白色地面砖（用含有n的代数式表示）． A. n B. 4n－2 C. 4n+2 D. 4n+6 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图，在中，，是边的中点．连接．若，则的度数为______． 14. 分解因式：_________． 15. 当分式的值为0时，的值是___________， 16. 如图，内一点P，、分别是点P关于、的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. （1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，F、C是上的两点，且．求证： （1）； （2）． 20. 如图是一个8×10的网格，每个小正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1． （2）求出△OCC1的面积． 21. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1680元，购买乙种用了2646元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.4倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 22. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）若，求的值； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板()如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，，若，，求一块直角三角板的面积． 23. 在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）【操作判断】如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，则，的数量关系是_____． （2）【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形内部一点，满足点到等腰三角形的两端点、的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰中，，于点，于点，点为三角形内部一点．求证：． （3）【拓展应用】已知是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，若点在外部，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西2025~2026学年度上学期第四阶段素质评价 八年级数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母含有未知数且不为0，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；        B、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；        C、是分式，故该选项符合题意；        D、是多项式，是整式，不是分式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 以下各组数分别是三条线段的长度，其中可以构成三角形的是（   ） A. 1，3，4 B. 1，2，3 C. 6，6，10 D. 1，4，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三条边的关系计算即可． 【详解】根据三角形的三边关系，得 A、1+3=4，不能组成三角形； B、1+2=3，不能组成三角形； C、6+6>10，能组成三角形； D、1+4<6，不能组成三角形；． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4. 世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故：C． 5. 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解． 【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符， 故选：B． 6. 如图，是的一个外角，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 7. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质找出对应角即可作答． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ∴， 故选：D． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括乘法、乘方、除法和加法，掌握整式的运算法则是解题的关键，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误； B．，故原计算正确； C．，故原计算错误； D．与不是同类项，不能合并，故原计算错误， 故选：B． 9. 如图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图表示下列式子正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．用“两种”方法分别用代数式表示裁剪后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积即可． 【详解】解：将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），剩余部分的面积为两个正方形的面积差，即， 将剩余部分沿着虚线剪开，拼成的长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以有， 故选：C． 10. 如图，平分，在上取一点P，过P作，若，则点P到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，在上取一点P，过P作，， 则：点到的距离等于，点到的距离等于点到的距离， ∴点P到的距离为； 故选B． 11. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 12. 如图是用黑白两种颜色的正六边形地面砖铺成的图案，依此规律，第n个图案中有（　　）个白色地面砖（用含有n的代数式表示）． A. n B. 4n－2 C. 4n+2 D. 4n+6 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形分析可得规律：每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形，即可得：第n个图案中共有6＋4（n−1）个白色六边形． 【详解】解：其中左边第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻， 即每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形，则 第n个图案中共有白色六边形6＋4×（n−1）＝4n＋2个， 故第n个图案中有白色地面砖（4n＋2）块， 故选C． 【点睛】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是发现规律：多一个黑色六边形，多4个白色六边形． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图，在中，，是边的中点．连接．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得，然后利用直角三角形两锐角互余的性质即可解答． 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】∵中，，是边的中点， ∴是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解． 先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解． 【详解】解：观察多项式，两项均含有公因式， 将公因式提取出来，得：， 故答案为：． 15. 当分式的值为0时，的值是___________， 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0．分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， 解得； 当 时，分母 ，满足条件， 故答案为：2． 16. 如图，内一点P，、分别是点P关于、的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】由轴对称的性质得到，，则，即可求解． 【详解】解：∵、分别是点P关于、的对称点， ，， ， ∴的周长是， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、零次幂，解分式方程等知识点，掌握求解方法是解题的关键． （1）先计算乘除法和零指数幂，再计算乘除法即可． （2）根据解分式方程的方法步骤求解即可． 【详解】解：（1） = ． （2）， 两边同时乘以得：， 去括号得：， 解得：， 经检验，当时， ∴原分式方程的解为． 18. （1）因式分解：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），8 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，分式的混合运算及化简求值．熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据提公因式法和公式法分解因式即可； （2）先化简分式，然后代入计算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 19. 已知：如图，F、C是上的两点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2） 证明：， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得，由，可得，通过即可证明； （2）由全等三角形的性质得，从而． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图是一个8×10的网格，每个小正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1． （2）求出△OCC1的面积． 【答案】 （1）如图，△A1B1C1为所作； （2）6． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质画出A、B、C关于直线OM的对称点A1、B1、C1即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）△OCC1的面积4×3＝6． 【点睛】本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始． 21. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1680元，购买乙种用了2646元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.4倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 【解析】 【分析】（1）设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1680元，购买乙种用了2646元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.4倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； 【小问2详解】 解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． ∵m为整数， ∴m的最小值为67， 答：该校最少购买67个甲种滑动变阻器． 22. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）若，求的值； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板()如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，，若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键． （1）用完全平方公式展开，代入已知代数式即可得出答案； （2）利用完全平方公式由可得，化简再将代入即可得出答案； （3）设，，由得，据此可得，然后再由得，由此利用完全平方公式可求出，最后再利用三角形的面积公式可求出一块直角三角板的面积． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）设，， ∵，A，O，D在一直线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴． ∴一块直角三角板的面积为． 23. 在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）【操作判断】如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，则，的数量关系是_____． （2）【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形内部一点，满足点到等腰三角形的两端点、的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰中，，于点，于点，点为三角形内部一点．求证：． （3）【拓展应用】已知是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，若点在外部，请求出的度数． 【答案】（1）相等 （2） 证明：， ． 点到点、的距离相等， ． ． , 即． ，， ． ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了三线合一，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题的关键是掌握与三角形有关的性质． （1）证明是的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由和是等腰三角形，证明，从而证明，即可证明结论； （3）结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【小问1详解】 解：相等，理由如下： ，点为的中点， 是的角平分线． ，， ． 故答案为：相等． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 是等边三角形， ． ，是等腰直角三角形， ． ,． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $