精品解析：陕西省西安市西咸新区西安高新一中沣东中学初中校区2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

高新一中沣东中学初中校区大练习(五) 九年级 数学 一．选择题（共8小题，计24分） 1. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 如图，每个小正方形的边长均为的顶点均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点 C. 三点确定一个圆 D. 三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等 6. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.2 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；（m为任意实数）；③；④⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共6小题，计18分） 9. 已知，则______． 10. 若方程有一根是1，则另一根是______． 11. 如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为______  ． 12. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 13. 如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）图象上，已知sin∠ABO＝，则m的值为_____． 14. 如图，已知中，，，，点是边上一动点，则的最小值为 _____ ． 三．解答题（共12小题，计78分） 15. 计算：． 16. 如图，在中，，请用尺规作图法作经过A、B、C三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 17. 如图，在中，延长至点E，使，连接．若，求证：四边形矩形． 18. 如图，在化学实验中，一个底部呈球形的烧瓶，其纵截面是如右图的．瓶内液体的最大深度为，液面的宽度的长为，求的半径． 19. 中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖和小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读． （1）小颖恰好选取到《几何原本》的概率为　　 ； （2）将2本《九章算术》、1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用，，B，C表示，请用列表或画树状图的方法，求小颖和小华都选取到中国数学著作的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 21. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 22. 如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． （1）求二次函数解析式； （2）求的面积． 23. 台风破坏性极强．如图，点A是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点C处． （1）求台风移动路径的长度； （2）若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市，为什么？（结果精确到0.01，参考数据： ） 24. 如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长． 25. 根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： （1）在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 26. 在矩形中，点E为射线上一动点，连接． （1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，当，且时，求长． （2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高新一中沣东中学初中校区大练习(五) 九年级 数学 一．选择题（共8小题，计24分） 1. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 2. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解． 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C 3. 如图，每个小正方形的边长均为的顶点均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，在直角三角形中，一个角的正切值等于对边比邻边，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点D， ∴ ． 故选D． 4. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点 C. 三点确定一个圆 D. 三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．也考查了圆周角、圆心角、弧、弦的关系，三角形的内心和外心．此题比较简单，注意掌握定理的条件(在同圆或等圆中)是解此题的关键． 根据圆心角、弦、弧的关系对A进行判断；根据三角形的外心对B进行判断；根据确定圆的条件对C进行判断；根据三角形内心的定义对D进行判断． 【详解】解：A．相等的圆心角所对的弧相等，缺少条件“在同圆或等圆中”，所以选项A错误，不符合题意； B．三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，故选项B正确，符合题意； C．三点确定一个圆，缺少条件“这三点要不共线”，所以选项C错误，不符合题意； D．三角形的内心到三角形三边的距离相等，但到三个顶点的距离不一定相等，故选项D不符合题意； 故选：B 6. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD的面积之比是， 故选：A． 7. 如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和菱形性质等知识，熟记垂径定理及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 先由垂径定理得到，，则，在中，由勾股定理求出，进而由菱形性质得到，最后数形结合表示出线段求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，为的直径， ，， 则， 在中，，则由勾股定理可得， 四边形为菱形， ， 则， 故选：B． 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；（m为任意实数）；③；④⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与方程．根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据抛物线与x轴的交点得到当时，，即可判断④，根据抛物线与直线，的交点即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴． ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴，则， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴（m为任意实数）， 即，故②正确； ∵时，， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵时，， ∴根据对称性可得，当时，， 即，故④正确． ∵方程可化为，方程有4个实数根 ∴抛物线与直线有两个交点，它们关于对称轴对称， 抛物线与直线有两个交点，它们关于对称轴对称， ∴方程有两个不相等的实数根， 设这两个实数根为，，则， ∴． 同理，方程有两个不相等的实数根， 设这两个实数根为，，则， ∴， ∴， ∴若方程有四个根，则这四个根的和为．故⑤正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选：C． 二．填空题（共6小题，计18分） 9. 已知，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，，再根据比例的性质计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：． 10. 若方程有一根是1，则另一根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．设方程的另一根为n，根据根与系数的关系列出关于另一根n的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：方程有一根是1， 设方程的另一根为n， ∴， 解得：， 故答案为：2． 11. 如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出其中心角，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于， ， ， 故答案为：． 12. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 13. 如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，已知sin∠ABO＝，则m的值为_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】解直角三角形求得＝2，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上求出S△BDO＝|m|，S△AOC＝，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△ACO，根据相似三角形的性质得出＝＝4，即＝4，解得即可． 【详解】解： 过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D， 则∠BDO＝∠ACO＝90°， Rt△AOB中，sin∠ABO＝， ∴＝， 设AB＝a，则OA＝a， ∴OB＝＝＝a， ∴＝＝2， ∵顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上， ∴S△BDO＝|m|，S△AOC＝， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∴△BDO∽△OCA， ∴＝， ∴＝4， ∴|m|＝4， ∵在第二象限， ∴m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，关键是根据相似三角形的性质与判定得到线段的长，然后可直接进行求解． 14. 如图，已知中，，，，点是边上一动点，则的最小值为 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质和运用点到直线的距离垂线段最短是解决此题的关键． 延长至，使，连接，过点作于点，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于点， ∵中，，，， ∴， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与共线时，为最小值， 此时， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共12小题，计78分） 15. 计算：． 【答案】1． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及整数指数幂的计算，特殊角的三角函数及二次根式的化简等知识，掌握这些知识是解题的关键；依次计算特殊角三角函数，零次幂，化简二次根式及负整数指数幂，最后化简即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在中，，请用尺规作图法作经过A、B、C三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作垂直平分线得到的中点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查了作图—三角形的外接圆，掌握尺规作线段垂直平分线，直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点处是解决本题的关键． 17. 如图，在中，延长至点E，使，连接．若，求证：四边形是矩形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合平行四边形的性质，以及，得，故四边形是平行四边形，再根据，，所以，四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 18. 如图，在化学实验中，一个底部呈球形的烧瓶，其纵截面是如右图的．瓶内液体的最大深度为，液面的宽度的长为，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．设的半径为，即，进而表示出的长，由垂径定理可知，在中，由勾股定理可得，列式解方程即可得解． 【详解】解：设的半径为，即， ， 由垂径定理可知， 在中，，即， 解得， 即的半径为． 19. 中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖和小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读． （1）小颖恰好选取到《几何原本》的概率为　　 ； （2）将2本《九章算术》、1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用，，B，C表示，请用列表或画树状图的方法，求小颖和小华都选取到中国数学著作的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，以及概率公式的应用， （1）根据题意共有4种可能的结果，满足题意的只有1种，利用概率公式求解即可； （2）利用列表法将所有可能的结果列出，找到满足题意得6种结果，结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《几何原本》的结果有1种，则小颖恰好选取《几何原本》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： B C B C 共有12种等可能的结果，其中小颖、小华都选取到中国数学著作的结果有6种，则小颖、小华都选取到中国数学著作的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题： （1）画出关于轴的轴对称图形； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，位似图形的性质及作图，掌握作图方法是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 即为所求图形； 【小问2详解】 解：根据相似比为，得到， 在平面直角坐标系中描点，连线即可作图， ∴即为所求作图形． 21. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是 （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 22. 如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标与相关线段的长度． （1）运用待定系数法求解即可； （2）作直线交轴于点，将二次函数解析式化为顶点式可得顶点的坐标，令，可得点的坐标，令，可得点的坐标，运用待定系数法可求直线的函数解析式，从而可得点的坐标，根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入中得： ，解得， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：作直线交轴于点． 对于， ， 令，则， ， 令，即， 解得，， ． 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， 令，即，解得， ， ， ， 的面积为． 23. 台风破坏性极强．如图，点A是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点C处． （1）求台风移动的路径的长度； （2）若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市，为什么？（结果精确到0.01，参考数据： ） 【答案】（1）台风移动的路径的长度为240千米 （2）这次台风不会影响该城市，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰三角形的判定与性质． （1）过C作于H，根据题意得出，求得，根据等腰三角形的性质得到（千米），根据三角函数的定义得到（千米）； （2）过A作于E，求得，根据直角三角形的性质得到（千米），于是得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 如图，过C作于H， ∴， ∴， ∴（千米）， ∴（千米）， 即台风移动的路径的长度为240千米． 【小问2详解】 解：这次台风不会影响该城市， 理由：如图，过A作于E， ∴， ∵， ∴（千米）， ∵， ∴这次台风不会影响该城市． 24. 如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由OB=OD及BD平分∠ABC可得OD∥BF，则由EF⊥BD可得结论； （2）连接OD、AD，由可得，从而可得，由此在Rt△ABD中，可分别求得AD、AB；由（1）中所证易得△EAD∽△EDB，， 从而得AE=BE，最后可求得AE的长． 【详解】（1）如图，连接OD 则OB=OD ∴∠ABD=∠BDO ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠FBD ∴∠ABD=∠BDO ∴OD∥BF ∵EF⊥BC ∴OD⊥EF ∴EF为⊙O的切线 （2）如图，连接AD、OD ∵在Rt△BFD中， ∴BF=2DF ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得： ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90° 由（1）知，OD为⊙O的切线 ∴∠ODB=90° ∴∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90° ∴ ∠EDA=∠BDO ∵∠ABD=∠BDO ∴∠EDA=∠ABD ∵∠E=∠E ∴△EAD∽△EDB ∴ ∴AE=DE，DE=BE ∴AE=BE，即BE=4AE ∵AB=BE-AE=3AE ∴ 【点睛】本题主要综合考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角形函数、勾股定理等知识． 25. 根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： （1）在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】（1） （2）火球会落在城墙内 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：火球会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球会落在城墙内． 26. 在矩形中，点E为射线上一动点，连接． （1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，当，且时，求的长． （2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】（1）①120°；②4 （2）4+4或4﹣4 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质得，利用特殊角的三角函数值得，再根据等边三角形的判定及性质即可求解． ②根据折叠的性质得，再根据矩形的性质及相似三角形的判定及性质即可求解． （2）分类讨论：i如图3，利用矩形的性质及全等三角形的判定及性质得，再利用勾股定理即可求解，ii如图4，根据矩形的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， 是等边三角形， ， ； ②由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ∵四边形矩形， ，， ，， ， ， ， ，， 解得：或（舍去）， 即的长为 【小问2详解】 当点E，，D三点共线时，分两种情况： i如图3： 由②可知，， ∵四边形是矩形， ，，，， ，， 由折叠的性质得：，， ，， ， ， ， ； ii如图4： 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等边三角形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值求锐角、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $