精品解析：湖南省湘西土家族苗族自治州龙山县皇仓华鑫学校2025-2026学年八年级上学期12月能力测试数学试题

2025年秋皇仓华鑫学校能力测试卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ） A. ，4，5 B. ，， C. ，， D. 1，，3 3. 已知，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 4. 如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小到原来的倍 C. 扩大到原来的3倍 D. 缩小到原来的倍 5. 若，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是等边三角形，，则的度数为( ) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 7. 如图，是锐角，点A在上，，点C在上，点A到直线的距离为3，当时，的形状、大小唯一确定，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 9. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF等于（ ） A. 58° B. 68° C. 78° D. 32° 10. 已知a，b，c，d是四个不同的实数，且，，求的值（ ） A. 4 B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 12. 已知．则的值为_________． 13. 已知，，那么的值是______． 14. 对于正数x，规定，如：则的值为_______ 15. 若关于x的方程无解，则m的值是________． 16. 如图，中，，将折叠，使得点B与点A重合，折痕交于D，交于E，若，则的度数为 _______． 17. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为____． 18. 如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是_____． 19. 如图，在五边形中，，，在、上分别找一点M、N，使得的周长最小，则此时 的度数为_______． 20. 在中，，平分交于点D，作交直线于点E．若，则的度数为 _________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，于点C，于点F，与交于点O，且，．求证：． 23. 如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． （1）求证：平分； （2）若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 24. 某加工厂加工一批定长板材，已知若采用方案一：用4台A型设备和8台B型设备，每天可加工136件；若采用方案二：用7台A型设备和6台B型设备，每天可加工142件． （1）求1台A型设备和1台B型设备每天分别可以独立加工多少件？ （2）该工厂计划采购A，B两种设备共15台，要求A型设备数量不低于B型设备的，且每天加工的数量不少于168件，共有几种采购方案？哪种方案最省钱？（已知A型设备单价1万元，B型设备单价0.8万元） 25. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 26. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； （1）仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）若分式的值为整数，请求出整数x的值． 27. 如图，在正方形中，的中点为E，F为的中点，求证： 28. 如图，在中，，，点D在边BC上运动（点D不与点重合），连接AD，作，DE交边AC于点E． （1）当时， ， （2）当DC等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由． 29. 若互不相等的实数a，b，c满足，，求的值． 30. 问题背景：如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、． （1）探究图中线段，，之间的数量关系是______． （2）探究延伸：如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，，线段，，的数量关系； （3）实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）正东海里的处．舰艇乙在指挥中心（处）北偏东且距离指挥中心海里的处，两舰接到指挥中心行动指令后，舰艇甲向北偏西以海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿西偏南的方向以海里小时的速度前进，在指挥中心（处）在东偏南的方向有一观测站，且到指挥中心（处）与到舰艇甲起始位置处的距离相等，小时后，观测站观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且观测站测得两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋皇仓华鑫学校能力测试卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）． 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字； B选项中的汉字能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字； 故选：B． 2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ） A. ，4，5 B. ，， C. ，， D. 1，，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，4，5的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为，，的三条线段能组成直角三角形，符合题意； C、∵且不能组成三角形， ∴长为，，的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵且不能组成三角形，， ∴长为1，，3的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 已知，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查求代数式的值，熟练掌握整体代入的数学思想是解决问题的关键； 利用已知条件 可得，将所求表达式 通过代数变形转化为含 的形式，整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故选B． 4. 如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小到原来的倍 C. 扩大到原来的3倍 D. 缩小到原来的倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．将x、y同时扩大为原来的3倍后，代入原分式计算，比较新分式与原分式的关系即可． 【详解】解：∵原分式为 ， 将x和y分别替换为 和 ， 得新分式 ， 而原分式为 ， ∵ ∴新分式是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍． 故选C． 5. 若，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式，积的乘方，零指数幂等知识将各数进行计算求出结果进行比较即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，平方差公式，积的乘方，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键． 6. 如图，是等边三角形，，则的度数为( ) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形三边相等，结合已知BC=BD，易证、都是等腰三角形，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键． 7. 如图，是锐角，点A在上，，点C在上，点A到直线的距离为3，当时，的形状、大小唯一确定，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，点到直线的距离，关键是要分三种情况讨论． 当时，，的形状、大小唯一确定；当时，有两个；当时，的形状、大小唯一确定，于是得到m的取值范围． 【详解】解：当时，，由判定的形状、大小唯一确定； 当时，C的位置有两个，有两个； 当时，的形状、大小唯一确定； ∴m的取值范围是或． 故选：C． 8. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF等于（ ） A. 58° B. 68° C. 78° D. 32° 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】∵FD⊥BC，∠AFD=158°， ∴∠CFD=180°﹣∠AFD=180°﹣158°=22°， 则∠C=180°﹣∠FDC﹣∠CFD=180°﹣90°﹣22°=68°． ∵∠B=∠C，DE⊥AB， ∴∠EDB=180°﹣∠B﹣∠DEB=180°﹣68°﹣90°=22°， 则∠EDC=∠B+∠DEB=∠B+90°． ∵∠EDC=∠EDF+90°， ∴∠EDF=∠B=68°． 故选B． 10. 已知a，b，c，d是四个不同的实数，且，，求的值（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解在整式的求值中的运用，本题涉及了等式的恒等变形，提公因式法的运用及数学的整体思想． 先将原式条件变形为：①，②，再由可以得到，就可以求出，得到代入就可以求出结论． 【详解】解：∵，， ∴①, ②， 由，得， ∴， ∴， ∵a，b，c，d是四个不同的实数， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选D． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可； 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 12. 已知．则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 13. 已知，，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．解答本题的关键是灵活运用完全平方公式的变形，将、作为整体代入，根据立方和公式，需要先求出的值，再利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 由立方和公式， 代入得， 故答案为． 14. 对于正数x，规定，如：则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据已知规定，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 15. 若关于x的方程无解，则m的值是________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 由分式方程无解可知，分式分式方程去分母后把x的值代入即可求出m的值． 【详解】解：∵分式方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴， 把代入得， ， ∴； 另外当，即时，此方程也无解； 综上分析可知，m的值是或1． 故答案为：或1． 16. 如图，中，，将折叠，使得点B与点A重合，折痕交于D，交于E，若，则的度数为 _______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠AEC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠的性质知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为____． 【答案】60°. 【解析】 【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60° 【详解】解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题关键． 18. 如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．证明△CMN是等边三角形，再根据DE≤DM+MN+EN，当D，M，N，E共线时，DE的值最大． 【详解】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE． 由题意AD＝EB＝4，AC＝CB＝4，DM＝CM＝CN＝EN＝4， ∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC， ∵∠DCE＝120°， ∴∠ACD+∠BCE＝60°， ∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN， ∴∠ACM+∠BCN＝120°， ∴∠MCN＝60°， ∵CM＝CN＝4， ∴△CMN是等边三角形， ∴MN＝4， ∵DE≤DM+MN+EN， ∴DE≤12， ∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 19. 如图，在五边形中，，，在、上分别找一点M、N，使得的周长最小，则此时 的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】取点作点A关于的对称点P，关于的对称点Q，连接与相交于点M，与相交于点N， 则，，然后求出周长，根据轴对称确定最短路线问题，的长度即为的周长最小值，根据三角形的内角和等于求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，，然后求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点P，关于的对称点Q， 连接与相交于点M，与相交于点N， 则，， ∴，， ∴周长， 由轴对称确定最短路线，的长度即为的周长最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 20. 在中，，平分交于点D，作交直线于点E．若，则的度数为 _________． 【答案】105度或15度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题可知需要分类讨论，当点E在点B左侧时，当点E在点C右侧时，根据可利用截长补短思路作辅助线，延长到点K，使，连接，证，即可得解． 【详解】解：①如图，当点E在点B左侧时， 延长到点K，使，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点E在点C右侧时， 延长到点K，使，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，又， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，根据整式的加减运算法则以及整式的乘除法则进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， ，， 原式． 22. 如图，于点C，于点F，与交于点O，且，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵于点C，于点F， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据等式的性质得出，先证明，得出，再证明，即可得证． 【详解】略 23. 如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． （1）求证：平分； （2）若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【答案】（1） 证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）17.5 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． 24. 某加工厂加工一批定长板材，已知若采用方案一：用4台A型设备和8台B型设备，每天可加工136件；若采用方案二：用7台A型设备和6台B型设备，每天可加工142件． （1）求1台A型设备和1台B型设备每天分别可以独立加工多少件？ （2）该工厂计划采购A，B两种设备共15台，要求A型设备数量不低于B型设备的，且每天加工的数量不少于168件，共有几种采购方案？哪种方案最省钱？（已知A型设备单价1万元，B型设备单价0.8万元） 【答案】（1）1台A型每天加工件，1台B型每天加工件 （2）共有两种方案，方案 1：A型5台，B型10台； 方案 2：A型6台，B型9台；方案1最省钱 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件，根据题意列二元一次方程组解答即可； （2）设采购A型m台，则B型台，根据题意列一元一次不等式组解答即可； 【小问1详解】 解：设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件， 根据题意得方程组：， 解得 答：1台A型每天加工件，1台B型每天加工件． 【小问2详解】 解：设采购A型m台，则B型台， 得不等式组：， 解得，， ∴ ∵m为整数，则或， 共 2 种方案，方案 1：A型5台，B型10台，费用万元； 方案 2：A型6台，B型9台，费用万元； 故方案 1最省钱． 25. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，平方的非负性，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先分组，并根据完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）将化为，再根据平方的非负性，得到则，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． 26. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； （1）仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）若分式的值为整数，请求出整数x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形与运算，因式分解等，掌握分式的拆分技巧，即对分子进行凑整或因式分解等方法是解题的关键． （1）参照范例求解即可； （2）参照范例得到，根据题意得到为整数，从而或，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵ ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数， ∴或， ∴． 27. 如图，在正方形中，的中点为E，F为的中点，求证： 【答案】 证明：如图，作的平分线交的延长线于H，则， ∴． 设正方形边长为a，在中， ， ∴． ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的判定和对应边相等的性质，正确构建全等三角形是解题的关键； 作的平分线交的延长线于H，设正方形边长为a利用勾股定理求出，证明得再证即可解答． 【详解】略 28. 如图，在中，，，点D在边BC上运动（点D不与点重合），连接AD，作，DE交边AC于点E． （1）当时， ， （2）当DC等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）30，100； （2）当时，，理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ （3）可以，或 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义，可求出 ∠EDC 的度数，根据三角形内和定理，即可求出 ∠DEC ； （2）当 AB=DC 时，利用 AAS 可证明 ΔABD≅ΔDCE ，即可得出 AB=DC=3 ； （3）假设 ΔADE 是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当 DA=DE 时，求出 ∠DAE=∠DEA=70° ，求出 ∠BAC ，根据三角形的内角和定理求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠BDA 即可；②当 AD=AE 时， ∠ADE=∠AED=40° ，根据 ∠AED>∠C ，得出此时不符合；③当 EA=ED 时，求出 ∠DAC ，求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠ADB ． 【详解】（1）在 △BAD 中， ∵∠B=50°,∠BDA=100° ， ∴， ． 故答案为，． （2）略 （3）可以，理由如下： ∵， ∴ 分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ②当时， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴点D与点B重合，不合题意． ③当时， ∴ ∵ ∴ 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 29. 若互不相等的实数a，b，c满足，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，由题设条件移项通分可得，，，将三式相乘即可求解． 【详解】解：∵，， 两式相加得， 化简得， ∴①， ②， ③， ①×②×③，得， ∵a，b，c是三个互不相等的实数， ∴， 解得 30. 问题背景：如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、． （1）探究图中线段，，之间的数量关系是______． （2）探究延伸：如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，，线段，，的数量关系； （3）实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）正东海里的处．舰艇乙在指挥中心（处）北偏东且距离指挥中心海里的处，两舰接到指挥中心行动指令后，舰艇甲向北偏西以海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿西偏南的方向以海里小时的速度前进，在指挥中心（处）在东偏南的方向有一观测站，且到指挥中心（处）与到舰艇甲起始位置处的距离相等，小时后，观测站观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且观测站测得两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）； （2） ，理由如下： 如图，延长至使得，连接， 由于得， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴ （3）两舰艇之间的距离是海里． 【解析】 【分析】（）延长至使得，连接，证明，则，，再证明，即可得出； （）延长至使得，连接，证明，则 ，，再证明，即得； （）根据题意分析，符合图的条件，代入求解即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 如图，延长至使得，连接， 在与中， ∴， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 易知，， 由题意得：，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴此图符合图的条件， 根据（）的结果，（海里）， 故此时两舰艇之间的距离是海里． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $