2.4二元一次方程组的应用（1）同步练习 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

数学七年级下册第2章二元一次方程组 2.4二元一次方程组的应用（1） 【知识重点】 1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程. 2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为： (1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)； (2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)； (3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)； (4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意). 【经典例题】 例题1、在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示.（单位：cm） （1）每张原材料板材可以裁得A型纸板　 　张或裁得B型纸板　 　张： （2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？ 例题2、某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器(加工时接缝材料不计). （1）根据题意可列出以下表格： 　 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则a=　 　，b=　 　； （2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个? （3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个.若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器(两种容器都要有)，则有哪几种方案可供选择? 【基础训练】 1．某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2． 某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 3．一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱.问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中x表示的是（　　） A．鸡的数量 B．鸡的单价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 5．如图，每只蝴蝶有6条腿，2对翅膀，每只鸟有2条腿，1对翅膀，现有x只蝴蝶和y只鸟，共有70条腿，25对翅膀，则可列出方程组　 　. 6．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用　 　张铁皮做盒身，　 　张铁皮做盒底，恰巧配套． 7．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有　 　个． 8．根据以下对话，可以求得嫒嫒所买的笔和笔记本的价格分别是　 　． 9．某商场用6600元购进甲、乙两种节能灯共100只.甲种进价60元/只，售价80元/只；乙种进价70元/只，售价100元/只. （1）甲、乙两种节能灯各进了多少只? （2）全部售完这100只节能灯后，该商场获利多少元? 10．某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变． （1）求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个； （2）第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售？ 11． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计门票购买方案？ 素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛． 问题解决 任务1 求档和档门票的单价． 任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元． 任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 12．某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱． （1）问苹果、橙子各购买了多少箱？ （2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？ 【培优训练】 13．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面。做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2025张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盆若干个，恰好使库存的纸板用完。则n的值可能是（　　） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 14．用如图 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则 的值可能是（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 15．在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料）），方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形.现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则： （1）两种方式共裁出长方形 　 　张，正方形 　 　张（用m、n的代数式表示）； （2）当10＜m＜15时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是 　 　个. 16． 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入　 　个大铁球和　 　个小铁球.（写出一组符合要求的值即可） 17．如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影外，其余3块都是正方形，若阴影周长为10，下列结论：①的值为5；②若阴影的周长为8，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是　 　． 18．用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒. （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板　 　张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有a张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做　 　个竖式纸盒． 19．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和■张长方形纸板．若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完．小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字是2001，2002，2003，2004，2005中某个数，则这个数字是 　 　，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多　 　个． 20．我国传统数学著作中有这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何?大意是：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问：每头牛、每只羊分别值多少两银子?根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子. （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法?列出所有的购买方法. 21．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面。设甲木板有x块，乙木板有y块。 （1）已知丙木板有12块。 ①根据题意填写下表： 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 ▲ / x 乙 / ▲ y 丙 12 12 / 合计 ▲ ▲ x+y ②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求x，y的值。 （2）已知三种木板共有m块（100<m<120），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？ 22． 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒. （1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【期末常考】 23．某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是(　　) A． B． C． D． 24． 《九章算术》中有一问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，则根据题意，可列出方程组（　　） A． B． C． D． 25．为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。 （1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。 （2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）. ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系. 【课后作业】 1． 现用186张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或15个盒底，且一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可得方程组（　　） A． B． C． D． 2．劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料28张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 3．劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料28张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 4．“鸡兔同笼”是我国古代算术名著孙子算经中的第题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足问鸡兔各几何？”小亮同学设出未知数，后列出了正确的方程组，小颖也设出未知数后，列了和小亮不同的方程组：，则横线上应填的方程是　 　写一个即可． 5．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为　 　． 6． 某校七年级的数学竞赛共有 30 道题： 答对一题得 5 分， 不答得 0 分， 答错扣 4 分． 学生小王有 5 题未答，最后得 71 分， 那么他答对了　 　道题． 7． 列二元一次方程． （1） 买 5 本笔记本和 2 支钢笔共需 24 元， 设每本笔记本 元，每支钢笔 元， 则方程可列为　 　 （2） 甲数的 2 倍与乙数的相反数的和等于 3 ， 设甲数为 ， 乙数为 ， 则方程可列为　 　 8．古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯结构就是其中最为华丽的一点．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．已知有若干个相同的木构件，其形状如图1所示．当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为，如图2所示，则图1中的木构件长度为　 　． 9．把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为　 　cm2. 10．某服装店用6200元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3300元．这两种服装的进价、标价见下表． 单价（元/件） A种 B种 进价 200 320 标价 300 500 （1）这两种服装各购进多少件？ （2）如果A种服装按标价的8折售出、B种服装按标价的7.5折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？ 11．根据以下信息，探索完成任务： 如何设计租车方案? 素材1 13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售，若用3辆A型车和2辆B型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆A型车和3辆B型车载满杨梅一次可运走18吨. 素材2 杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用A型车ａ辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅 素材3 A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次. 问题解决 任务一： 分析数量关系 1辆A型车和1辆B型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？ 任务二： 确定可行方案 请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案. 任务三： 选取最优方案 请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学七年级下册第2章二元一次方程组 2.4二元一次方程组的应用（1） 【知识重点】 1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程. 2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为： (1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)； (2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)； (3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)； (4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意). 【经典例题】 例题1、在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示.（单位：cm） （1）每张原材料板材可以裁得A型纸板　 　张或裁得B型纸板　 　张： （2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？ 【答案】（1）9；15 （2）解：设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，则根据题意得：， 整理得，解得 . ∴， ∴ 用 200 张原材料板材裁剪 A 型纸板，用 60 张原材料板材裁剪 B 型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒 180 个，横式无盖长方体纸盒 360 个. 【解析】（1） 每张原材料板材可以裁得A型纸板张，或裁得B型纸板张. 故答案为：9、15. 【分析】（1） 原材料板材的规格是 150cm×90cm，结合由图1中A、B型纸板的尺寸，可计算得到答案； （2）设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，根据题意列出二元一次方程组并求解出x、y，然后再进行相关计算即可. 例题2、某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器(加工时接缝材料不计). （1）根据题意可列出以下表格： 　 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则a=　 　，b=　 　； （2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个? （3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个.若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器(两种容器都要有)，则有哪几种方案可供选择? 【答案】（1）3；1 （2）解：设加工x个竖式容器，y个横式容器，可得方程组： 解得 答：可以加工20个竖式容器，30个横式容器. （3）解：设可以加工a个竖式容器，b个横式容器，可得方程： ，可得 答：有两种方案选择，即①购买10个竖式容器、5个横式容器；②购买4个竖式容器、10个横式容器. 【解析】（1）由图片可知，1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片以及1张正方形铁片，而1个横式无盖容器需要3张长方形铁片以及2张正方形铁片. 即a=3，b=1. 故答案为：3、1. 【基础训练】 1．某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】该班男生有人，女生有人．根据题意，， 故选：D 2． 某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子17张或椅子32把，决定用25天时间生产一批这样的餐桌椅，其中，安排x天只生产桌子，剩余y天只生产椅子．若使生产的桌子和椅子恰好配套，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可列方程组为： 故答案为： C. 3．一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， 根据题意，得， 故答案为：D． 4．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几个人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱.问人数和鸡价各多少？小温同学根据题意，列得方程组，则方程组中x表示的是（　　） A．鸡的数量 B．鸡的单价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 【答案】D 【解析】 ∵每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱，且所列方程组为， ∴x表示买鸡的人数，y表示鸡的钱数. 故答案为：D. 5．如图，每只蝴蝶有6条腿，2对翅膀，每只鸟有2条腿，1对翅膀，现有x只蝴蝶和y只鸟，共有70条腿，25对翅膀，则可列出方程组　 　. 【答案】 【解析】设x为蝴蝶数量，y为鸟数量， ∴ 故答案为：. 6．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用　 　张铁皮做盒身，　 　张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】15；20 【解析】设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得； 故答案为：15，20． 7．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有　 　个． 【答案】50 【解析】设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，由题意得， 解得， ∴设个纸杯叠放在一起的高度为， 则，解得：， 故答案为： 8．根据以下对话，可以求得嫒嫒所买的笔和笔记本的价格分别是　 　． 【答案】1.2元、3.6元 【解析】设笔的单价为x元/支，笔记本单件为y元/本， 根据题意，得： ， 解得：， ∴笔的单价为1.2元/支，笔记本单件为3.6元/本， 故答案为：1.2元、3.6元． 9．某商场用6600元购进甲、乙两种节能灯共100只.甲种进价60元/只，售价80元/只；乙种进价70元/只，售价100元/只. （1）甲、乙两种节能灯各进了多少只? （2）全部售完这100只节能灯后，该商场获利多少元? 【答案】（1）解：设甲种节能灯进x只，乙种节能灯进y只， 根据题意得， 解得， 甲种节能灯进了40只，乙种节能灯进了60只． （2）解：（元）， 全部售完这100只节能灯后，该商场获利2600元． 10．某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变． （1）求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个； （2）第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售？ 【答案】（1）解：设A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元， 根据题意，可列方程组得：， 解得：， 答：A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元 （2）解：设A品牌篮球打a折出售， 根据题意可列方程，得：（140-100）×40+（50-40）×（140×-100）+80×30%×30=2440， 解得：m=8， 答：A品牌篮球打八折出售 11． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计门票购买方案？ 素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛． 问题解决 任务1 求档和档门票的单价． 任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元． 任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【答案】解：(任务1)设A档门票的单价是x元，B档门票的单价是y元， 根据题意得： 解得： 答：A档门票的单价是300元，B档门票的单价是200元； (任务2)根据题意得： 。 答：公司购买门票至少需要4980元； (任务3)设购买m张A档门票，n张B档门票，则购买 张C档门票， 根据题意得： 又∵m， n， ( )均为非负整数， 或 ∴共有两种购买方案， 方案1：购买4张A档门票，9张B档门票，13张C档门票； 方案2：购买10张A档门票，2张B档门票，8张C档门票. 12．某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱． （1）问苹果、橙子各购买了多少箱？ （2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？ 【答案】（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱， 根据题意得，， 解得，， 答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱． （2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元）， 整理得，2a＋3b＝100， 销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b） ＝950－10a－15b ＝950－5（2a＋3b） ＝950－5×100 ＝450（元）， 即在乙店获利450元． 答：在乙店获利450元． 【培优训练】 13．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面。做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒，仓库里现有2025张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盆若干个，恰好使库存的纸板用完。则n的值可能是（　　） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 【答案】B 【解析】设制作竖式纸盒x个，横式纸盒y个， ∴ 解得： ∵y为非负整数，且 ∴ ∴n的取值范围为：且n为5的倍数， 选项只有B符合， 故答案为：B. 14．用如图 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则 的值可能是（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】B 【解析】设做竖式的无盖纸盒为 个，横式的无盖纸盒为 个， 由题意得： ， 两个方程相加得： ， 、 都是正整数， 是5的倍数， ∵2018、2019、2020、2021四个数中只有2020是5的倍数， 的值可能是2020， 故答案为：B. 15．在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料）），方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形.现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则： （1）两种方式共裁出长方形 　 　张，正方形 　 　张（用m、n的代数式表示）； （2）当10＜m＜15时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是 　 　个. 【答案】（1）3m+2n；m+2n （2）12 【解析】（1）∵方式一：裁成3个长方形与一个正方形， ∴m张硬纸板用方式一裁剪的长方形有3m张，正方形有m张； ∵方式二：裁成2个长方形与2个正方形n张硬纸板用方式二裁剪， ∴n张硬纸板用方式一裁剪的长方形有2n张，正方形有2n张； ∴两种方式共裁出长方形（3m+2n）张，正方形有（2n+m）张； 故答案为：3m+2n，m+2n. （2）由题意得：(3m+2n)：(m+2n)=7：3，解得： m=4， ∵m， n为正整数，且10<m< 15，∴m=12， n=3， ∴两种方式共裁出长方形3×12+2×3=42 (张) ，正方形12+2×3=18 (张)， 设做成竖式盒子x个，横式盒子y个， 根据题意得， 解得. ∴做成的两种无盖纸盒一共可能是6+6-12(个)， 故答案为：12. 16． 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入　 　个大铁球和　 　个小铁球.（写出一组符合要求的值即可） 【答案】3；2 【解析】设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，， 故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） . 17．如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影外，其余3块都是正方形，若阴影周长为10，下列结论：①的值为5；②若阴影的周长为8，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是　 　． 【答案】①② 【解析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ， 阴影的长为，宽为， 阴影的长为，宽为， ∵阴影的周长为10， ， ， 即，故①正确； ∵阴影周长为8， ， 解得：， ， ， 即正方形的面积为1，故②正确； ∵大长方形的面积为30， ， ， ， ， 假设三个正方形的周长为24， ， ， （不成立）， ∴若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．故③错误， 故答案为：①②． 18．用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒. （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板　 　张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有a张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做　 　个竖式纸盒． 【答案】（1）7 （2）10 【解析】（1） 制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板4+3=7. 故答案为：7. （2）设生产竖式纸盒x个，生产横式纸盒y个，由题意得， 解得x=a-12，即a=30+x， ∵a≤55，∴30+x≤55， 解得x≤10， ∵x为整数， ∴x的最大整数为10， ∴最多能做10个竖式纸盒． 故答案为：10. 19．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和■张长方形纸板．若做了竖式纸盒个，横式纸盒个，恰好将库存的纸板用完．小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字是2001，2002，2003，2004，2005中某个数，则这个数字是 　 　，按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多　 　个． 【答案】2005；197 【解析】设张长方形纸板，根据题意列得，， ①②得， ， ， 是5的倍数， ． ， 解得， 横式纸盒比竖式纸盒多个． 故答案为：2005；197． 20．我国传统数学著作中有这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何?大意是：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问：每头牛、每只羊分别值多少两银子?根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子. （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法?列出所有的购买方法. 【答案】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子. 由题意，得 解得 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子 （2）解：设购买a头牛，购买b只羊. 由题意，有3a+2b=19，∴ ∵a，b都是正整数， ∴或 或 ∴共有3种购买方法： 方法1：购买1头牛，购买8只羊； 方法2：购买3头牛，购买5 只羊； 方法3：购买5头牛，购买2只羊 21．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面。设甲木板有x块，乙木板有y块。 （1）已知丙木板有12块。 ①根据题意填写下表： 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 ▲ / x 乙 / ▲ y 丙 12 12 / 合计 ▲ ▲ x+y ②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求x，y的值。 （2）已知三种木板共有m块（100<m<120），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？ 【答案】（1）解：① 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 x / x 乙 / 2y y 丙 12 12 / 合计 12+x 12+2y x+y ②， 解得， ； （2）解：设甲木板有x块，乙木板有y块，则丙木板有（m-x-y）块， 此时长侧面有(m-y)块，短侧面有(m-x+y)块，箱底有(x+y)块， 根据题意，， 由①得，x=2y ③， 将③代入②得，m=7y， ∵ 100<m<120， ∴ y=15或16或17， 对应的x分别为30， 32，34， 即 x+y=45 或 48 或 51， 答：能做45个或48个或51个长方体木箱. 22． 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒. （1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒. （2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步 由题意可得 ∴ 因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍， 当 完成接力任务的时间为 秒 当 完成接力任务的时间为 秒 当 完成接力任务的时间为 秒 答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒. 【期末常考】 23．某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得， . 故答案为：C . 24． 《九章算术》中有一问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，则根据题意，可列出方程组（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】题目中设有x人，该物品价值y元： 1.每人出8元，多3元可得：； 2.每人出7元，少4元可得： 得 故答案为：D . 25．为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。 （1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。 （2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）. ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系. 【答案】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； （2）解：①甲：元， 乙： 答：甲商场付款金额为元， 乙商场付款金额为元； ②由题意得：48a+20b=36a+15b+510， 则12a+5b=510. 【课后作业】 1． 现用186张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或15个盒底，且一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可得方程组（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底， 由题意得， 故答案为： B. 2．劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料28张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】∵ 用x张制作盒身，y张制作盒底 ， 有材料28张铁皮 ， ∴x+y=28； ∵ 每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒 ， ∴2×4x=6y， 即 故答案为：C . 3．劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身4个，或制作盒底6个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料28张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得， 故答案为：C. 4．“鸡兔同笼”是我国古代算术名著孙子算经中的第题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足问鸡兔各几何？”小亮同学设出未知数，后列出了正确的方程组，小颖也设出未知数后，列了和小亮不同的方程组：，则横线上应填的方程是　 　写一个即可． 【答案】答案不唯一 【解析】小颖如果设的未知数是笼子里鸡有x只足，兔有y只足，则可得方程组为：. 故答案为：（答案不唯一）. 5．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为　 　． 【答案】 【解析】图2所示的算筹图所表示的方程组为，解得：； 故答案：． 6． 某校七年级的数学竞赛共有 30 道题： 答对一题得 5 分， 不答得 0 分， 答错扣 4 分． 学生小王有 5 题未答，最后得 71 分， 那么他答对了　 　道题． 【答案】19 【解析】设小王答对x题，答错y题，则根据题意有， 将①×4+②得9x=171，解得x=19， 即小王答对了19到题. 故答案为：19. 7． 列二元一次方程． （1） 买 5 本笔记本和 2 支钢笔共需 24 元， 设每本笔记本 元，每支钢笔 元， 则方程可列为　 　 （2） 甲数的 2 倍与乙数的相反数的和等于 3 ， 设甲数为 ， 乙数为 ， 则方程可列为　 　 【答案】（1） （2） 【解析】（1）、5本笔记本共需5x元，2支钢笔共需2y元，而5本笔记本和 2 支钢笔共需 24 元， 即有 故答案为：； （2）、甲数x的2倍为2x，乙数y的相反数为-y，两者之和为3，即. 故答案为：. 8．古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯结构就是其中最为华丽的一点．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．已知有若干个相同的木构件，其形状如图1所示．当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为，如图2所示，则图1中的木构件长度为　 　． 【答案】 【解析】设图1中，去掉凸起的木构件长度为，凸起部分的长度为， 由题意得：，解得：， 图1中的木构件长度为， 故答案为：． 9．把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为　 　cm2. 【答案】24 【解析】设大长方形长为x，小长方形长为y.根据题意，得 解得 ∴大长方形的宽为4，小长方形的宽为1. 4 ×8-1×2×4=24. 所以未被覆盖部分的面积为24. 故答案为：24. 10．某服装店用6200元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3300元．这两种服装的进价、标价见下表． 单价（元/件） A种 B种 进价 200 320 标价 300 500 （1）这两种服装各购进多少件？ （2）如果A种服装按标价的8折售出、B种服装按标价的7.5折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？ 【答案】（1）解：设购进A种服装x件，B种服装y件， 依题意得：解得： 答：购进A种服装15件，B种服装10件． （2）解：300×（1-0.8）×15+500×（1-0.75）×10=300×0.2×15+500×0.25×10=900+1250=2150（元）． 答：服装店比按标价售出少收入2150元． 11．根据以下信息，探索完成任务： 如何设计租车方案? 素材1 13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售，若用3辆A型车和2辆B型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆A型车和3辆B型车载满杨梅一次可运走18吨. 素材2 杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用A型车ａ辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅 素材3 A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次. 问题解决 任务一： 分析数量关系 1辆A型车和1辆B型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？ 任务二： 确定可行方案 请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案. 任务三： 选取最优方案 请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费 【答案】解：任务一： 设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物，一次可运货y吨，依题意得： 解得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物，一次可运货4吨。 任务二： 解：依题意租用A型车a辆，B型车b辆得： 3a+4b=35， 3a=35-4b， ∵a、b都是正整数， 当或或 答：共有3中租车方案。分别是： 方案1：租用A型车1辆，B型车8辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车5辆； 方案3：租用A型车9辆，B型车2辆. 任务三： 解：方案1费用为：1×300+8×320=2860（元)； 方案2费用为：5×300+5×320=3100（元)： 方案3费用为：9×300+2×320=3340（元)； ∵3340>3100>2860 ∴选择方案1. 答：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $