精品解析：内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2023-2024学年上学期 期中考试九年级数学试题

九年级数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，不是中心投影的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 对于反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数图象分布在第一、三象限 B. 函数图象经过点（﹣3，﹣2） C. 函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 5. 如图所示，满足函数和的大致图象是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 6. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形 7. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形 中， 为 的中点，连接 ， 交于点 ，那么 的值为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两实数根之和为，两根之积为； ③已知一元二次方程，若，则； ④若一元二次方程，方程两根为和，则． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，∠B＝30°，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过OB边上的点C和AB的中点D，连接AC．已知S△OAC＝4，则实数k的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 12. 若三角形的两边长分别为5和7，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长为______． 13. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，E为边的中点，，，则菱形的面积为_____． 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 15. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 16. 如图，中，轴，顶点C在x轴上，的中点D在y轴上，反比例函数的图像经过的中点E，的面积为8，则k的值为______． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫卫生，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假，为了解全校参加各项目的学生人数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，解答下列问题： （1）本次接受抽样调查的总人数是_______人； （2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； （3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有_______人； （4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d），很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求出抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB：与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”，据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”． （1）求平均每月的增长率是多少？ （2）已知某商店“宸宸”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“宸宸”应降价多少元？ 21. 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，PC＝PD，∠CPD＝70°，且△ACP∽△APB． （1）求证：△ACP∽△PDB （2）求∠APB的度数； （3）若AC＝4，CD＝5，BD＝9，求△PCD的周长． 22. 学完了图形的相似这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树的高度，如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，眼睛处看到标杆顶，树顶在同一条直线上人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上已知米，米，米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 23. 如图，正方形的边长为，动点P由点B以的速度沿方向向点D运动，动点Q由点A以的速度沿方向向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为． （1）连接，当t为何值时，的面积为? （2）当点P在上运动时，是否存在这样的t值，使得是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，不是中心投影的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心投影的定义，由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的定义逐一判断各选项，即可得答案． 【详解】解：A．影子在物体异侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； B．影子在物体同侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； C．影子在物体同侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； D．影子在物体同侧，作投影线时互相平行，不是中心投影，符合题意． 故选：D． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据题意得到，，则所求式子为，约分即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 4. 对于反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数图象分布在第一、三象限 B. 函数图象经过点（﹣3，﹣2） C. 函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可． 【详解】解：A、∵k＝6＞0，∴图象在第一、三象限，故A选项正确； B、∵反比例函数，∴xy＝6，故图象经过点（-3，-2），故B选项正确； C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项正确； D、∵不能确定x1和x2大于或小于0 ∴不能确定y1、y2的大小，故错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 5. 如图所示，满足函数和的大致图象是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【详解】解：， 函数过点， 故不合题意； 当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限； 当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限； 故符合题意； 故选：． 6. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的判定方法，即可得出结论． 【详解】解：A. 一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意； C. 对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意； D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了特殊四边形的判定方法，解题关键在于掌握各特殊四边形的判定方法． 7. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长比宽多步，则长为步，宽为步，再根据矩形面积公式，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意得到宽与长是关键． 【详解】解：设长比宽多步， 由题意得，， 故选B． 8. 如图，在平行四边形 中， 为 的中点，连接 ， 交于点 ，那么 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，即得，进而由即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 下列说法： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两实数根之和为，两根之积为； ③已知一元二次方程，若，则； ④若一元二次方程，方程两根为和，则． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系及根的判别式的应用，注意代数关系不要求实根． 根据根与系数关系判断可判定①正确；根据根的判别式得出方程没有实数根，可判定②错误；由可得，得出，可判定③错误；④根据根与系数的关系得出，可得，可判定④正确，综上所述，即可得答案． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴两根之和为，两根之积为，故①正确； ∵方程中，，，， ∴， ∴方程没有实数根，故②错误； ∵， ∴， ∴，不一定大于，故③错误； ∵一元二次方程的两根为和， ∴两根之积为， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有个． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，∠B＝30°，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过OB边上的点C和AB的中点D，连接AC．已知S△OAC＝4，则实数k的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据含30°的直角三角形的性质，可设OA＝a，则AB＝OA＝a，从而可用含a的式子表示出点B和点D的坐标以及k，再根据△OAC面积为和点C在反比例函数图象上得出k． 【详解】解：在Rt△OAB中，∠B＝30°， ∴可设OA＝a，则AB＝OA＝a， ∴点B的坐标为（a，a）， ∴直线OB的解析是为． ∵D是AB的中点， ∴点D的坐标为（a，a）， ∴k＝， 又∵S△OAC＝4， ∴OA•yc＝4，即•a•yc＝4， ∴yc＝，∴C（，）， ∴k＝＝， ∴＝， ∴a2＝16， ∴k＝＝8． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练运用30°直角三角形的性质与反比例函数k的几何意义是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 12. 若三角形的两边长分别为5和7，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系可判断三角形第三边长为3，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 当三角形第三边长为3时，此三角形的周长为； 当三角形第三边长为2时．，不符合三角形三边的关系，舍去， 综上所述，三角形的周长为15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 13. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，E为边的中点，，，则菱形的面积为_____． 【答案】96 【解析】 【分析】根据菱形的性质和已知条件可得是Rt的中位线，由此可以求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】∵菱形的对角线、交于点O，， ∴，，， ∵E为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 96． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，三角形中位线的性质及勾股定理的知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键． 14. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 15. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ①设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ②设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 16. 如图，中，轴，顶点C在x轴上，的中点D在y轴上，反比例函数的图像经过的中点E，的面积为8，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，则，再根据三角形的面积公式可得，然后将点代入反比例函数的解析式即可得． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， ， ， 的面积为8， ， 解得， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解： 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 【小问3详解】 解： ， ∴或， ∴，． 18. 党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫卫生，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假，为了解全校参加各项目的学生人数，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，解答下列问题： （1）本次接受抽样调查的总人数是_______人； （2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； （3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有_______人； （4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d），很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求出抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的概率． 【答案】（1）120 （2） 补全两个统计图如下： （3）390 （4） 【解析】 【分析】1）用参加B项目的学生人数除以其所占的百分比可得本次接受抽样调查的总人数； （2）用本次接受抽样调查的总人数乘以参加C项目的人数所占的百分比，可求出参加C项目的学生人数，补全条形统计图即可；用参加A项目的人数除以本次接受抽样调查的总人数再乘以，可得参加A项目的人数所占的百分比，补全扇形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用2600乘以本次抽样调查中参加A项目的学生人数所占的百分比，即可得出答案； （4）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次接受抽样调查的总人数是（人）． 故答案为：120． 【小问2详解】 解：参加C项目的人数为（人）， 参加A项目的人数所占的百分比为：． 【小问3详解】 解：估计该校参加A项目的学生有（人）． 故答案为：390． 【小问4详解】 解：画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的有2种情况， ∴抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的概率为：． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法或树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB：与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）点代入直线，得出点的坐标为：，即可求得反比例函数的解析式为； （2）根据解析式得出点的坐标为：，结合函数图象即可求解； （3）首先求得，根据题意，，即可得出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 把点代入直线得：， 解得：， ∴点的坐标为：， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 把点代入直线得：，解得：， ∴点的坐标为：， 观察得出，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 把代入得：，点的坐标为：， 即， 结合点的坐标为：， ∴， ∵， 即：， 令点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴ 当点的纵坐标为时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，交点问题，面积问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物为“宸宸”，据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”． （1）求平均每月的增长率是多少？ （2）已知某商店“宸宸”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“宸宸”应降价多少元？ 【答案】（1）平均每月的增长率是 （2）每个“宸宸”应降价元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程得实际应用． （1）设平均每月的增长率是，根据二月份共生产500个“宸宸”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“宸宸”，列出方程进行求解即可； （2）设每个“宸宸”应降价元，根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 读懂题意，找准等两关系，正确得列出方程，是解题的关键． 【小问1详解】 解：设平均每月的增长率是，由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 答：平均每月的增长率是； 【小问2详解】 设每个“宸宸”应降价元，由题意，得： ， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：每个“宸宸”应降价元． 21. 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等腰三角形，PC＝PD，∠CPD＝70°，且△ACP∽△APB． （1）求证：△ACP∽△PDB （2）求∠APB的度数； （3）若AC＝4，CD＝5，BD＝9，求△PCD的周长． 【答案】（1） 证明：∵△ACP∽△APB ∴∠APC＝∠B ∵PC＝PD ∴∠PCD＝∠PDC ∵∠PCD＋∠ACP＝180°，∠PDC＋∠PDB＝180° ∴∠ACP＝∠PDB ∴△ACP∽△PDB （2）125° （3）17 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠APC＝∠B，再由PC＝PD，可得∠PCD＝∠PDC，从而得到∠ACP＝∠PDB，即可求证； （2）根据等腰三角形的性质，可得∠PCD＝∠PDC＝55°，从而得到∠A＋∠APC＝55°再由∠APC＝∠B，可得∠A＋∠B＝55°，即可求解； （3）根据相似三角形的性质可得PC2＝AC×BD，从而得到PC＝PD＝6，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵∠CPD＝70° ∴∠PCD＝∠PDC＝55° ∴∠A＋∠APC＝55° ∵∠APC＝∠B ∴∠A＋∠B＝55° ∴∠APB＝180°－(∠A＋∠B)=125° 【小问3详解】 解：∵△ACP∽△PDB ∴ ∵PC＝PD ∴PC2＝AC×BD ∵AC＝4，BD＝9， ∴PC＝PD＝6 ∴PC＋PD ＋CD＝17 ∴△PCD的周长为17 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 学完了图形的相似这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树的高度，如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，眼睛处看到标杆顶，树顶在同一条直线上人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上已知米，米，米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【答案】树高为米 【解析】 【分析】过作交于点，交于点，可证明四边形为长方形，可得的长；可证明∽，故可求得的长，所以树高的长即可知． 【详解】解：过作交于点，交于点， 由已知得，，，， ，， 四边形为矩形， 米，米，米， 米， ，， ， ∽， ， ， 解得：， 米， 答：树高为米． 【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形． 23. 如图，正方形的边长为，动点P由点B以的速度沿方向向点D运动，动点Q由点A以的速度沿方向向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为． （1）连接，当t为何值时，的面积为? （2）当点P在上运动时，是否存在这样的t值，使得是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）没有符合的t值，使的面积为． （2）当t为秒或秒时，是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明． 【小问1详解】 解：如图，当点P在上时，此时， 根据题意，得： ∵的面积为， ∴， ∴， 整理，得：， 解得： (舍去)，（舍去）． 如图，当点P在上时，此时， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴没有符合的t值，使的面积为． 【小问2详解】 存在． 如图，当点P在上时， ①当时，可得： 解得：（不合题意，舍去）， ②当时，可得： 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）， 如图，当点P在上时，此时， 可知：， ∴不存在以为腰的等腰． ∴当t为秒或秒时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，割补法求面积．解题的关键是分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $