2.2 一元二次方程的解法（同步练习）2025-2026学年浙教版数学八年级下册

数学八年级下册第2章一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（4） 【知识重点】 一、公式法  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.  一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：(b24ac≥0). 二、使用求根公式的条件：求根公式是专门用来解一元二次方程的. 1.把方程化成一般形式；2.要求a≠0； 3. b24ac≥0因为开平方运算时，被开方数必须是非负数；即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0. 三、判别式与一元二次方程的根的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b24ac的值来决定，因此b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，判别式的值与一元二次方程的根的关系是： 1. b24ac>0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； 2. b24ac=0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 3. b24ac<0 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 【经典例题】 例题1、用公式法解下列方程． （1）4x2-x=1； （2）3x2-5x-1=0． 例题2、用公式法解下列方程： （1）．（2）．（3）．（4）． 例题3、关于 的方程 有两个不相等的实数根， 求 的取值范围． 例题4、已知关于x的一元二次方程x2+kx-k-3=0（k为常数）. （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根. 【基础训练】 1．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 2．关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 3． 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（　　） A．， B．， C．， D．， 4．若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根，则c的取值范围是　 　. 5．方程：的解为　 　. 6．用公式法解下列方程： （1） ． （2） ． 7．解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 8．用公式法解下列方程： （1） （2） （3） 9．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）. （1）若方程的一个根为2，求的值， （2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根. 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 11．已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 12．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则． （1）代数式的不变值是______，______． （2）说明：代数式没有不变值； （3）已知代数式，若，求的值． 【培优训练】 13．如图，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0，b>0）的方程的图解法：作出Rt△ABC，使两条直角边 AC和 BC的长分别为b和，再在斜边 AB上截取 BD=，则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD 的长 C．BC的长 D．CD 的长 14．关于的一元二次方程，下列说法：若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程没有实数根；若是方程的一个根，则；若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是(　　) A． B． C． D． 15．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 16．已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中.以下说法中错误的是（　　） A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解 B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解 C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解 D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1 17．已知等腰三角形的一边长为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一元二次方程x2-6x+m=0 的两个实数根，则m的值为　 　. 18． 将关于 的一元二次方程 变形为 ， 就可以将 表示为关于 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的， 又如 ， 我们将这种方法称为 “降次法”， 通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”， 已知： ，且 ， 则 的值为　 　. 19．如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则　 　． 20．已知关于 的方程 ． （1） 求证： 无论 取何值， 方程总有实数根． （2） 若 的两边 的长是这个方程的两个实数根， 第三边 的长为 4 ， 当 是直角三角形时，求 的值． 21．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b2的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”． （1）“友好方程”的“超强代码”是　 　； （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值. 22．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是______． （2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【期末常考】 23．已知方程x2-6x+9=0，那么这个方程（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 24．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 25．若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（　　） A．-b B．c C．b+c D．0 【课后作业】 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 2． 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（　　）. A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0 3． 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或2 4．关于x的一元二次方程x2+x-2=m，下列说法正确的是（　　） A．当m=0时，此方程有两个相等的实数根 B．当m<0时，此方程没有实数根 C．当m>0时，此方程有两个不相等的实数根 D．此方程的根的情况与m的值无关 5．已知一元二次方程和.在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若＜0，则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根，则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（　　） A．甲乙都正确 B．甲乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 6． 已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为　 　． 7．定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是　 　． 8．用公式法解一元二次方程，得x= ，则该一元二次方程是　 　。 9．已知x2-2 x+1=0，则x- =　 　。 10．用公式法解方程 （1）x2+4x-1=0 （2）5x2- x-6=0 （3） x2-2x-6=0 11．已知关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-2=0（m为常数）. （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根. 12．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学八年级下册第2章一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（4） 【知识重点】 一、公式法  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.  一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：(b24ac≥0). 二、使用求根公式的条件：求根公式是专门用来解一元二次方程的. 1.把方程化成一般形式；2.要求a≠0； 3. b24ac≥0因为开平方运算时，被开方数必须是非负数；即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0. 三、判别式与一元二次方程的根的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b24ac的值来决定，因此b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，判别式的值与一元二次方程的根的关系是： 1. b24ac>0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； 2. b24ac=0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 3. b24ac<0 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 【经典例题】 例题1、用公式法解下列方程． （1）4x2-x=1；（2）3x2-5x-1=0． 【答案】（1）解：4x2-x=1 4x2-x-1=0 ∴∴ （2）解：3x2-5x-1=0 ∴ 例题2、用公式法解下列方程： （1）．（2）．（3）．（4）． 【答案】（1）解：∵a=1，b=2，c=-3， ∴b2-4ac=22-4×1×(-3)=16， ∴， ∴x1=-3，x2=1. （2）解：原方程可化为：2m2-3m-4=0， ∵a=2，b=-3，c=-4， ∴b2-4ac=（-3）2-4×2×(-4)=41， ∴， ∴x1=，x2=. （3）解：∵a=，b=-1，c=， ∴b2-4ac=（-1）2-4××()=， ∴=， ∴a1=，a2=. （4）解：∵a=2，b=，c=-1， ∴b2-4ac=()2-4×2×(-1)=10， ∴， ∴y1=，y2=. 例题3、 关于 的方程 有两个不相等的实数根， 求 的取值范围． 【答案】解：∵关于x 的方程（ 有两个不相等的实数根. 解得：k>-3且k≠1. 例题4、已知关于x的一元二次方程x2+kx-k-3=0（k为常数）. （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根. 【答案】（1）解：把代入方程 x2+kx-k-3=0 ，得，∴； 把代入方程 x2+kx-k-3=0 ，得，∴，，即另一个根为-1. （2）证明：∵ x2+kx-k-3=0 ， ∴， ∴无论k取何值，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根. 【基础训练】 1．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 则k的取值范围是且， 故答案为：B． 2．关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】A 【解析】∵ x2+kx+k-1=0， ∴b2-4ac=k2-4（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2， 当k为任意实数时，（k-2）2≥0即b2-4ac≥0， ∴方程有两个实数根. 故答案为：A 3． 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】∵已知ax2-ax+c=0没有实数根， ∴Δ=(-a)2-4ac=a2-4ac=a(a-4c)<0， ∴当a>0时，a-4c<0， 当a<0时，a-4c>0， 故答案为：D. 4．若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根，则c的取值范围是　 　. 【答案】c＞1 【解析】由条件可知Δ=(-2)2-4c<0， 解得c>1. 故答案为：c>1. 5．方程：的解为　 　. 【答案】 【解析】用求根公式解一元二次方程 时， 先要把方程化成一般形式： 用求根公式可求得： 故答案为： 6．用公式法解下列方程： （1） ．（2） ． 【答案】（1）解： ∴ ∴ （2）解： ∴ ∴ 7．解下列方程 （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）解：， ∴， ∴，. （2）解：∵a=2，b=-4， c=-1 ∴， ∴，. （3）解：∵， ∴， ∴， ∴a=5，b=-18，c=9， ∴， ∴， （4）解：∵， ∴， ∴a=1，b=8，c=-16， ∴， ∴，. 8．用公式法解下列方程：（1）（2）（3） 【答案】（1）解： 用求根公式可求得： 方程的根为： （2）解： 用求根公式可求得： 方程的根为： （3）解：方程可化为： 用求根公式可求得： 方程的根为： 9．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）. （1）若方程的一个根为2，求的值， （2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根. 【答案】（1）解：把代入，得， ∴， ∴ （2）证明：∵，∴， ∴， ∴方程有两个实数根 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【答案】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 整理得，且， 解得：且； （2）解：∵且； ∴满足条件的最小正整数值是， 此时方程为， 解得：，． 11．已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ， 把代入一元二次方程中，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 12．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则． （1）代数式的不变值是______，______． （2）说明：代数式没有不变值； （3）已知代数式，若，求的值． 【答案】（1）和4，7 （2）解：依题意，得：即， ， 没有实数根， 代数式没有不变值； （3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根， ， 整理得：， 解得． 【解析】（1）解：依题意，得：，即 解得：，， ， 故答案为：和4，7； 【培优训练】 13．如图，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0，b>0）的方程的图解法：作出Rt△ABC，使两条直角边 AC和 BC的长分别为b和，再在斜边 AB上截取 BD=，则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD 的长 C．BC的长 D．CD 的长 【答案】B 【解析】∵ ∴ ∴ 用求根公式得：， ∴ 方程的正根为： 对比AD的表达式可知，AD的长度恰好等于方程的正根。 故答案为：B. 14．关于的一元二次方程，下列说法：若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程没有实数根；若是方程的一个根，则；若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 当时， 方程一定有两个不相等的实数根，故结论正确； 当时， 当时，，方程没有实数根； 当时，，方程有两个实数根；故结论错误； 是方程的一个根 或，即，故结论正确； 是方程的一个根且 利用方程解的概念把代入到方程中得： 即是方程的一个根 故结论正确； 故答案为：C. 15．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 【答案】A 【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意． ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意． ③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意． ④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意． 综上：正确的有①②④，共3个． 故答案为：A． 16．已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中.以下说法中错误的是（　　） A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解 B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解 C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解 D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1 【答案】D 【解析】设方程甲的判别式为，乙的判别式为 若甲有两个不相等的实数解，则 即4a2<4b2此时 则乙没有实数解，故A不符合题意； 若甲有两个相等的实数解，则即4a2=4b2 此时则乙也有两个相等的实数解，故B不符合题意； 若x=1是甲的解，代入方程甲得2a+2b=0 将x=1代入方程乙，可得2b+2a=0，所以x=1也是乙的解，故C不符合题意； 将x=n分别代入甲，乙方程，得 ①-②得： ∵a≠b两边同时约去a-b ∴n2-2n+1=0 （n-1）2=0 ∴n=1 故D符合题意. 故答案为：D. 17．已知等腰三角形的一边长为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一元二次方程x2-6x+m=0 的两个实数根，则m的值为　 　. 【答案】9 【解析】当2为腰长时，将x=2代入x2-6x+m=0， 得：22-6×2+m=0， 解得：m=8， 当m=8时，原方程为x2-6x+8-0， 解得：x1=2，x2=4， ∵2+2=4， ∴2，2，4不能组成三角形， ∴m=8舍去； 当2为底边长时，关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根， ∴∆=(-6)2-4×1×m=0， 解得：m=9， 当m=9时，原方程为x2-6x+9=0， 解得：x1=x2=3， ∵2，3，3能组成三角形， ∴m=9符合题意， ∴m的值为9. 故答案为：9. 18． 将关于 的一元二次方程 变形为 ， 就可以将 表示为关于 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的， 又如 ， 我们将这种方法称为 “降次法”， 通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”， 已知： ，且 ， 则 的值为　 　. 【答案】 【解析】∵ ∴ ∵= = = = = = ∵ ∴ ∵ ∴ ∴原式= 故答案为. 19．如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则　 　． 【答案】3或6或11 【解析】∵ 一元二次方程有两个有理根， ∴， ∵该方程有2个有理根，其中为自然数， ∴是完全平方数， 令（m为整数）， ∴， ∴将该方程看作关于的一元二次方程， ∴， ∴为完全平方数， 令（k为整数）， ∴， ∴或 解得：或 当，，解得：或（舍）； 当，，解得或， 综上：或或， 故答案为：3或6或11． 20．已知关于 的方程 ． （1） 求证： 无论 取何值， 方程总有实数根． （2） 若 的两边 的长是这个方程的两个实数根， 第三边 的长为 4 ， 当 是直角三角形时，求 的值． 【答案】（1）证明：△=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×3(m-1) =m2-8m+16 =(m-4)2， ∵无论m取何值，(m-4)2≥0， ∴ 无论 取何值， 方程总有实数根． （2）解：x==， x1=m-1，x2=3， 当BC为直角边时，32+42=52， ∴m-1=5，解得：m=6； 当BC为斜边时，32+（m-1）2=42， 解得：m1=1+，m2=1-（不合题意，舍去）， 答：m的值为6或1+. 21．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b2的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”． （1）“友好方程”的“超强代码”是　 　； （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值. 【答案】（1）-25 （2）∵是“友好方程”， ∴由题意可知，且为完全平方数， ∵，∴， ∴=36或49或64，∴或或， ∵为整数，∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超级代码”为； （3）方程①：的“超级代码”为： ， 由∵， ∴ ∴ 方程②：的“超级代码”为： ， ∴ ∴ ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴，∴，即， 又∵方程①的一个解是方程②的一个解的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，. 【解析】（1），故答案为-25； 22．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是______． （2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】（1） （2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ∴，解得：； （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于方程，，，， ， ， ． ∵方程是方程的“全整根伴侣方程”， ， ， ∴， ∴， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， ∴的值为2． 【解析】（1）在关于x的一元二次方程中，，， ， ， ， “全整根方程”的“最值码”是． 故答案为：． 【期末常考】 23．已知方程x2-6x+9=0，那么这个方程（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【解析】∵ x2-6x+9=0， ∴a=1，b=-6，c=9， ∴判别式， ∴当时，方程有两个相等的实数根. 故答案为：B. 24．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以∆=0， 即(-2)2- 4×1×(k + 1)=0 ，解得k = 0 ， 故答案为： A， 25．若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（　　） A．-b B．c C．b+c D．0 【答案】D 【解析】∵b2=4c， ， ∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为0． 故答案为：D. 【课后作业】 1． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【解析】由题意可知： m+1≠0，解得m≠-1， ∆=b2 −4ac=4-4（m+1）=4-4m-4=-4m＞0，解得m＜0， 综上所述答案为：A. 2． 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（　　）. A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0 【答案】B 【解析】∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2， ∴ac<0， ∴a≠0. 在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0， ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， 故答案为：B. 3． 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【解析】∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+2=0的两个实数根相等， ∴a≠0，Δ=（-2a）2-4×a×2=0， 解得：a=2． 故答案为： C. 4．关于x的一元二次方程x2+x-2=m，下列说法正确的是（　　） A．当m=0时，此方程有两个相等的实数根 B．当m<0时，此方程没有实数根 C．当m>0时，此方程有两个不相等的实数根 D．此方程的根的情况与m的值无关 【答案】C 【解析】x2+x-2=m，即x2+x-2-m=0 ∴ 当9+4m=0，即时，方程有两个相等的实数根，A错误 当9+4m>0，即时，方程有两个不相等的实数根，C正确 当9+4m<0，即时， 方程没有实数根，D错误 故答案为：C 5．已知一元二次方程和.在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若＜0，则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根，则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（　　） A．甲乙都正确 B．甲乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【解析】甲同学：一元二次方程 和 的根的判别式 即 ∴两个方程都有两个不相等的实数根，甲同学的看法正确； 乙同学： 不是两方程的解， 当m是一元二次方程 的解时，将 代入原方程得： ∵方程两边同时除以 得： 是一元二次方程 的根， 乙同学的看法正确； 当m是一元二次方程 的解时，将 =m代入原方程得： ∵方程两边同时除以 得： 是一元二次方程 的根， 乙同学的看法正确. 综上所述， 甲乙都正确. 故答案为：A. 6． 已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为　 　． 【答案】且 【解析】关于x的方程(k-2)x2-x+1=0(k为常数)有两个实数根， ∴Δ=(-1)2-4(k-2)x1≥0且k-2≠0， 解得且k≠2， 故答案为：且k≠2. 7．定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是　 　． 【答案】 【解析】∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程， ∴a-b+c=0， ∴b=a+c， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴a=c， 故答案为：a=c 8．用公式法解一元二次方程，得x= ，则该一元二次方程是　 　。 【答案】3x²+5x+1=0 【解析】∵ 用公式法解一元二次方程，得x= ， ∴x= ∴2a=2×3，-b=-5，4ac=4×3×1 ∴a=3，b=5，c=1 ∴这个一元二次方程是：3x²+5x+1=0. 故答案为：3x²+5x+1=0. 9．已知x2-2 x+1=0，则x- =　 　。 【答案】±4 【解析】 ∴ ∴ 当x=5+2，时； 当x=5-2，时 综上：x-1x=±4 故答案为： ±4 . 10．用公式法解方程 （1）x2+4x-1=0 （2）5x2- x-6=0 （3） x2-2x-6=0 【答案】（1）解：∵a=1，b=4，c=-1， ∴b2-4ac=42-4×1×（-1）=20>0 ∴x= = ， ∴x=-2± ， 即x1=-2+ ，x2=-2- （2）解：∵a=5，b=- ，c=-6， ∴b2-4ac=5-4×5×（-6）=125>0， ∴x= = ∴x1= ，x2=- . （3）解：化简方程，得x2-4x-12=0则a=1，b=-4 ∴b2-4ac=（-4）2-4×1×（-12）=64>0 ∴x= = ， ∴x=-2±4， 即x1=6，x2=-2 11．已知关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-2=0（m为常数）. （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根. 【答案】（1）解：把x=1代入方程可得1-(m+1)+2m-2=0， 解得m=2， 当m=2时，原方程为x2-3x+2=0， ∴(x-1)(x-2)=0， 解得x1=1，x2=2， 即方程的另一根为2 （2）证明：∵a=1， b=-(m+1)， c=2m-2， ∴△=[-(m+1)]2-4×1×(2m-2) =m2-6m+9 =(m-3)2 ≥0， ∴不论m为何值时，方程总有两个实数根. 12．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】（1） （2）解：方程， ∴， ∵，∴， 又方程是“快乐方程”， ∴4m+13是完全平方数，∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为可化为：， ∴， 故其“快乐数”数是； （3）解：∵为“快乐方程”， ∴是完全平方数， 设，a为整数， 则， ∴或或或或或或或 解得或或（舍）或(舍)，∴方程为：或； ∵为“快乐方程”， ∴是完全平方数， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，∴， 解得：或（舍）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：， 综上，n的值为0或3． 【解析】（1）由定义可得：方程的“快乐数为：， 故答案为：； www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $