精品解析：山东省聊城市冠县三校联考2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

2025-2026学年第一学期月度学习成果汇报 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 已知，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1或3 D. 3 3. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（ ） A. B. C. D. 6. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. 1 C. D. 8. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于B，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边的边长为，以为圆心，为直径的半圆经过点，连接，相交于点，将等边从与重合的位置开始，绕着点顺时针旋转，交点运动的路径长是(　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 函数的自变量的取值范围是____________． 12. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是________． 13. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为_______． 15. 请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根． 16. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为___________． 三、解答题（本题满分72分，把解答过程写在答题卡的相应区域内） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为元件，原来售价为元件，每天可以出售件，经市场调查发现每降价元，一天可以多售出件． （1）如果每天的利润要比原来多元，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定分两次降到以上价格，每次降价的百分率均为，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点是轴上一点，且，求点坐标． 21. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积． 22. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 23. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期月度学习成果汇报 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 已知，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：∵，为锐角， ∴． 故选：C． 2. 已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1或3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可． 【详解】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2， 解得：a=-1， 故选A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 3. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理解决问题即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 4. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查方程有解的情况，解题的关键是根据题意分情况讨论．根据题意分一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论即可求解． 【详解】解：当关于x的方程是一元一次方程时， ∴， ∴方程为，有实数根，符合题意； 当关于x的方程是一元二次方程时， ∵方程有实数根， ∴，， 解得：，且， 综上所述，实数k的取值范围是． 故选：D． 5. 近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得，， 所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：， 故选：B． 6. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件的月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设该厂生产零件的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 7. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】如图，连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 8. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于B，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数y系数的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限． 【详解】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx-3可知， 当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限， 当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 10. 如图，等边的边长为，以为圆心，为直径的半圆经过点，连接，相交于点，将等边从与重合的位置开始，绕着点顺时针旋转，交点运动的路径长是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形CDM的外接圆的半径，利用弧长公式计算即可. 【详解】∵∠AOB=60°， ∴∠AOC+∠BOD=120°， ∴∠BCD+∠ADC=(∠AOC+∠BOD)=60°， ∴∠CPD =120°， ∴点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形CDM的外接圆的半径， 连接O， ∵CO=DO， ∴O⊥CD， ∵四边形CMDP是圆内接四边形， ∴∠CMD+∠CPD=180°， ∴∠CMD=60°， ∴∠CD=2∠CMD=120°， ∴∠CO=60°， 在Rt△CO中，CO=AO=, ∴C=, ∴交点运动的路径长为， 故选：B. 【点睛】此题考查等边三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的对角互补的性质，锐角三角函数求线段长，弧长公式，正确理解点P的起点为点C，终点为点D得到点P的运动路径是劣弧是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数为非负数．由此即可求解． 【详解】解：由题意知，， 解得且， 故答案为：且． 12. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，图像位于第二、四象限，则，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 故答案为：． 13. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____． 【答案】四丈五尺 【解析】 【分析】设出竹竿长度，根据同一时刻物高与影长成正比列出方程，即可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴由相似相似原理可知： 解得x=45（尺）． 故答案为：四丈五尺． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出∠B=∠DAB=90°，AD=BC=AE=2，求出BE，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AD=BC=2， ∴∠B=∠DAB=90°，AD=AE=2， ∵AB= ， ∴cos∠BAE= ∴∠BAE=30°，∠EAD=60°， ∴BE= AE=1， ∴阴影部分的面积S=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形EAD =×2- ××1-= 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出BE长和∠EAD的度数是解此题的关键． 15. 请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a， ∵要使原方程有两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴满足题意的常数可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 16. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，求反比例函数的解析式，由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设，再由正方形，建立关于a的方程，进而得解． 【详解】解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图像上， 设， ， 或， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题满分72分，把解答过程写在答题卡的相应区域内） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法和因式分解法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ∴或， 解得． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）9． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】证明：（1）略 （2）由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 19. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为元件，原来售价为元件，每天可以出售件，经市场调查发现每降价元，一天可以多售出件． （1）如果每天的利润要比原来多元，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定分两次降到以上价格，每次降价的百分率均为，求的值． 【答案】（1）降价19元 （2）10% 【解析】 【分析】（1）根据每天的利润要比原来多元，列方程求解即可； （2）利用平均变化率的等量关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可出售件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， ， 又要使顾客得到更大的优惠， ∴． 答：每件应降价元． 【小问2详解】 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用：销售和平均变化率问题．根据题意正确的列出方程是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点是轴上一点，且，求点坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴. 将，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由可知， ∵， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． 21. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴中，， ∴， ∴中，， ∴， ∴是⊙的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据和都是等腰三角形，即可得到再根据三角形的内角和得到进而得出是⊙的切线； （2）根据，，可以得到半圆的面积，即可的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）略； （2）当时，， ∵为⊙的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积=半圆的面积-的面积 =． 22. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 23. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，． ①求的面积； ②当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）①4；②或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点M作轴交直线于点N，则，根据对称性质得到，分情况计算出面积即可； ②分当时，当时两种情况分类讨论即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 又∵直线与反比例函数的图象交于点A，B 故反比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：①如图， 过点M作轴交直线于点N，则，由对称性可知， 当时， 当时， 综上所述，的面积为4 ②由题意可知，直线的函数表达式为，令，则；令，则 直线与x轴的交点为，与y轴的交点为 ， 点M在直线的第一象限图象上，当是直角三角形时，存在以下两种情况. （i）当时， 设，过点作一条直线平行轴，过点作垂线交直线于点，使． 根据坐标系可知，， 根据勾股定理可得，，， 由①得： ， 解得， ； （ii）当时，设，连接 是直角三角形，且点O是线段的中点， . 整理，得，解得，（舍去） 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $