精品解析：广东省 佛山市顺德区勒流富安初级中学2023-2024学年上学期12月月考七年级数学试卷

2023-2024学年第一学期初一数学 一、选择题（共8小题） 1. 如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在同一平面内，，平分，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 高速公路建设带动我国经济的快速发展，在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程.这样做包含的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 两条直线相交，只有一个交点 D. 直线是向两个方向无限延伸的 4. 金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 5. 如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为(　　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（ ） A B. C. D. 8. 如图，，是线段上的两点，若，，那么与的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（共10小题） 9. 的余角等于_______． 10. 有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，则线段的长是___． 11. 如图：线段，线段，点M是中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为__________． 12. 在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，这样可以使得课桌排成整齐一行，其中所依据的是数学基本事实：_________． 13. A、B两地之间弯曲的公路改直，能够缩短路程，其根据的道理是_____． 14. 如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为．其中正确的是______．（只填序号） 15. 如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒 （1）当时，则_________ （2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为________． 16. 如图，点在线段上，、分别为、的中点，若，则的长为___________． 17. 完全相同的6个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a，b的大长方形，则图中阴影部分的周长是_________.(用含a，b的式子表示) 18. 在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为6，则x的值为 ________ ． 三、解答题（共10小题） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 解方程 （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 定义一种新运算，例如：． （1）计算：； （2）请根据上述定义解不等式． 23. 解不等式（组） （1） （2） 24. 如图，，，平分，平分． （1）求出及其补角的度数； （2）求出和的度数，并判断与是否互补； （3）若,,则与是否互补? 请说明理由． 25. 【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点 A，B的位置如图1所示，． 【问题解决】 （1）已知，则x的值为________． （2）代数式的最小值为________． （3）代数式的最大值为________． （4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为，若的值是一个定值，试确定m的值． 26. 全民开展体育运动，人们对足球的需求量增加．某经理做市场调研，了解到如下信息： 信息一：成都某体育用品商城从厂家购进了A品牌足球30个，B品牌足球20个，共付款4400元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵20元． 信息二：成都某体育用品商城将A品牌足球按信息一中进价提高后标价，B品牌足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时信息一中所购进的足球全部销售完后可获利860元，已知A品牌足球打八折．求： （1）每个A品牌足球和每个B品牌足球进价分别为多少元？ （2）求出信息二中B品牌足球实际销售时打几折？ （3）在（1）（2）条件下，该经理共购进A、B品牌的足球共50个，每售出一个B品牌足球，再返顾客a元，A品牌足球售价不变．若无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，求a的值． 27. 某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． （1）求出总利润（用含a的代数式表示）； （2）若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 28. 【问题情境】 苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数． （1）请你先完成这个简化后的问题的解答； 【变式探究】 小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究： （2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝　 　°； 【变式拓展】 小明继续探究： （3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第一学期初一数学 一、选择题（共8小题） 1. 如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离、线段中点的定义等知识点，熟练掌握线段中点的定义是本题的关键．根据两点之间的距离、线段中点的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：∵C是的中点，D是的中点， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，在同一平面内，，平分，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即，所以①正确； ， 所以②正确； ， 而，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴，所以④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 3. 高速公路的建设带动我国经济的快速发展，在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程.这样做包含的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 两条直线相交，只有一个交点 D. 直线是向两个方向无限延伸的 【答案】B 【解析】 【分析】本题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短． 故选B． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题关键． 4. 金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短，由线段的性质即可得到答案． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 5. 如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，如图可知，的度数正好是两直角相加减去的度数，进而即可解出答案． 【详解】解：，， ， 故选：A． 6. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为(　　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线的定义和角的和差关系计算即可． 【详解】∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， ∴∠COD=∠COE，∠BOC=∠AOB=∠AOC， 又∵∠AOB=40°，∠COE=60°， ∴∠BOC=40°，∠COD=30°， ∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°， 故选C． 【点睛】本题考查了角与角之间的运算和角平分线等知识，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解． 7. 如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，，是线段上的两点，若，，那么与的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段之间的数量关系，线段的和与差． 由线段的和与差，结合已知即可得与的关系． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题（共10小题） 9. 的余角等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．根据余角的定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，则线段的长是___． 【答案】8或32 【解析】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分点D在上和点D在上两种情况，根据线段中点的定义求出的长，再根据“折中点”的定义找到线段之间的关系，从而求出线段的长即可． 【详解】解：如图所示，当点D在上时， ∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 如图所示，当点D在上时， ∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，线段的长是8或32． 故答案为：8或32． 11. 如图：线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为__________． 【答案】或13 【解析】 【分析】本题主要考查线段中点的性质，线段和差的数量关系；根据点是中点，可得的值，根据点N为线段的三等分点分两种情况求解得的值，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 又∵点N为线段三等分点，， 当点N靠近点C的三等分点时，， 此时， 当点N靠近点B的三等分点时，， ∴， 故答案为：或13． 12. 在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，这样可以使得课桌排成整齐一行，其中所依据的是数学基本事实：_________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的相关特性是解题的关键． 根据题意及直线的性质即可直接得出答案． 【详解】解：由题意得，其中所依据的是数学基本事实：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 13. A、B两地之间弯曲的公路改直，能够缩短路程，其根据的道理是_____． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：A、B两地之间弯曲的公路改直，能够缩短路程，其根据的道理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 14. 如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为．其中正确的是______．（只填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】直接利用角平分线的定义，余角与补角的定义逐个结论分析验证即可． 【详解】解：∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即∠COE与∠AOE互补，故②正确； 若OC平分∠BOD，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴∠BOE的余角可表示为，故④正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及余角与补角，熟练掌握余角与补角的定义是解题的关键． 15. 如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒 （1）当时，则_________ （2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为________． 【答案】 ①. ②. 3或21 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，当时求出旋转角为，即可求解； （2）根据所在直线恰好平分，则或，结合图形列出方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，旋转角为， ∴， 故答案为：； （2）当直线恰好平分时，如图， ∴或， ∴ ， 当射线恰好平分时，如图， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3或21． 【点睛】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，周角度数，列出正确的方程是解本题的关键． 16. 如图，点在线段上，、分别为、的中点，若，则的长为___________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了线段和差，线段中点的定义；设，则，根据中点的定义可得，，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：设， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ， 故答案为：． 17. 完全相同的6个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a，b的大长方形，则图中阴影部分的周长是_________.(用含a，b的式子表示) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减、列代数式、长方形的周长，解答本题的关键是明确整式的加减运算的计算方法和整体代入的思想． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y（），根据图形可得， ，， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的周长是． 故答案为：． 18. 在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为6，则x的值为 ________ ． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题考查数轴上两点距离的表示方法及绝对值方程的求解．根据数轴上两点距离公式，列出方程并求解即可． 【详解】解：由题意，A、B两点的距离为， ∴或， 解得或． 故答案为：7或1． 三、解答题（共10小题） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据乘法运算律计算即可； （3）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得：， 去括号，得： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母的时候，不要漏乘，去括号，移项时，注意符号的变换． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键；先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可． 详解】解：原式， 当，时， 原式． 22. 定义一种新运算，例如：． （1）计算：； （2）请根据上述定义解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 23. 解不等式（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式（组）； （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，． 24. 如图，，，平分，平分． （1）求出及其补角的度数； （2）求出和的度数，并判断与是否互补； （3）若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】（1）， （2），，与互补，详见解析 （3）与不一定互补，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角定义即可做出判断． 【小问1详解】 解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． 【小问2详解】 解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． 【小问3详解】 解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 25. 【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点 A，B的位置如图1所示，． 【问题解决】 （1）已知，则x的值为________． （2）代数式的最小值为________． （3）代数式的最大值为________． （4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为，若的值是一个定值，试确定m的值． 【答案】（1）或（2）3（3）16（4）的值为 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）分3种情况进行讨论求解即可； （2）根据表示数轴上数到数之间的距离之和，进而得到当在和之间时，最小，为数轴上数到数的距离，求解即可； （3）表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （4）时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】解：（1）当时，不符合题意； 当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （2）代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 故当在和之间时，最小，最小值为：； 故答案为：3； （3）表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （4）点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 26. 全民开展体育运动，人们对足球的需求量增加．某经理做市场调研，了解到如下信息： 信息一：成都某体育用品商城从厂家购进了A品牌足球30个，B品牌足球20个，共付款4400元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵20元． 信息二：成都某体育用品商城将A品牌足球按信息一中的进价提高后标价，B品牌足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时信息一中所购进的足球全部销售完后可获利860元，已知A品牌足球打八折．求： （1）每个A品牌足球和每个B品牌足球进价分别为多少元？ （2）求出信息二中B品牌足球实际销售时打几折？ （3）在（1）（2）的条件下，该经理共购进A、B品牌的足球共50个，每售出一个B品牌足球，再返顾客a元，A品牌足球售价不变．若无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，求a的值． 【答案】（1）每个A品牌足球的进价是80元，每个B品牌足球的进价是100元 （2）八五折 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个A品牌足球进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元，利用总价=单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A品牌足球的进价），再将其代入中，即可求出每个B品牌足球的进价； （2）设信息二中B品牌足球实际销售时打y折，利用总利润=每个A品牌足球的销售利润×销售数量+每个B品牌足球的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，可得出A，B两种品牌足球的销售利润相同，进而可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元， 根据题意，得， 解方程，得， ∴． 答：每个A品牌足球的进价是80元，每个B品牌足球的进价是100元； 【小问2详解】 解：设信息二中B品牌足球实际销售时打y折， 根据题意，得， 解方程，得． 答：信息二中B品牌足球实际销售时打八五折； 【小问3详解】 解：∵无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同， ∴A，B两种品牌足球的销售利润相同， ∴， 解方程，得． 答：a的值为3． 27. 某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． （1）求出总利润（用含a的代数式表示）； （2）若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 【答案】（1） （2）方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出代数式和一元一次不等式组是解此题的关键． （1）设购买A商品a件，则购买B商品件，根据总利润 A商品利润 B商品利润，列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【小问1详解】 解：设购买A商品a件，则购买B商品件， 由题意可得：总利润（元）； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴或或或， ∴共有四种方案：方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品62件，B商品38件． 28. 【问题情境】 苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数． （1）请你先完成这个简化后的问题的解答； 【变式探究】 小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究： （2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝　 　°； 【变式拓展】 小明继续探究： （3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）． 【答案】（1）45°；（2）；（3）或 【解析】 【分析】）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可； （2）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可； （3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE， 【详解】解：（1）设∠AOC＝a°， 则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°， ∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC， ∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE ＝∠AOB﹣∠AOC ＝（a°+90°）﹣a° ＝ ＝45°； （2）设∠AOC＝a°， 则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°， ∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC， ∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC ＝（a°+m°）﹣a°＝， 故答案为：； （3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间， 设∠AOC＝a°， 则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°， ∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC， ∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE ＝∠AOB﹣∠AOC ＝（a°+m°）﹣a° ＝； ②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时， ∠BOC＝∠AOC＝m°， ∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD ＝∠AOC+∠AOB ＝∠BOC ＝； ③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时， 由②得，∠BOC＝m°， ∠DOE＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝； 综上所述，∠DOE＝或． 【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是引入参数a，即设∠AOC=a°，然后在计算中消掉a． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $