精品解析：2026年湖北省老河口市5月中考适应性测试数学试题

2026年5月中考适应性测试 数 学 试 题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1. 手机信号的强度（单位：）的值越接近0信号越强，则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，信号强度的值越接近0信号越强，只需比较四个数的绝对值，绝对值越小的数越接近0，即可得到信号最强的选项． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∵ ， ∴最接近0，信号最强． 2. 如图，这是一款品茗杯，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 左视图与俯视图相同 C. 主视图与左视图相同 D. 三视图都相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：根据三视图的定义可得： 这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同． 故选：C． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方的法则逐一判断选项，得到正确结果． 【详解】解：A、，A错误． B、，B错误． C、，C错误． D、，D正确． 4. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的含义，根据两直线平行，内错角相等得到，进而求解即可. 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∴． 5. “明天下雨”这个事件是（ ） A. 确定事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 不确定事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的相关概念可进行判断即可． 【详解】解：“明天下雨”，这个事件是不确定事件． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键． 6. 以的对角线交点为原点建立平面直角坐标系，若点A的坐标为，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标的特征，熟练掌握平行四边形中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线交点为坐标原点， ∴ 点与点关于原点对称， ∵ 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，点的坐标为 ， ∴ 点C的坐标为 ． 7. 计算的结果是（ ） A. 3 B. a C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，解题思路是先变形统一分母，再根据同分母分式加法法则计算，约分后得到结果 【详解】解：∵ ∴ 8. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，若有x家公司共签订了45份合同，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为：明确每家公司的签约数量，去掉重复计算的部分，根据总签约合同数列出等量关系即可得到方程． 【详解】解：∵共有家公司参加商品交易会，每两家公司之间签订一份合同， ∴每家公司要和除自身外的家公司签订合同， ∵同一份合同会被两家公司各重复计算一次， ∴所有公司签订合同的总份数为， 已知总合同数为45份，因此可列方程． 9. 如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图可得，根据垂径定理可得得出，进而得出，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 10. 古代数学文化 《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸（1尺=10寸）；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺．问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇．瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）与生长时间x（单位：天）的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标是（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则： ， 解得， 两图象交点的横坐标是， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 代数式ab可以表示不同实际问题中的数量关系，请举例说明：________． 【答案】每小时加工a个零件，b小时一共加工个零件（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：结合实际数量关系，举例如下：每小时加工a个零件，b小时一共加工个零件． 12. 关于x的方程的两根分别为和，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式得到两根之积与的关系，代入已知条件即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和， ∴ ， ∵ ， ∴． 13. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国4位著名数学家祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉之中，随机选取两位介绍其生平事迹，小明选中赵爽的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，先确定所有等可能结果的总数，再确定所求事件包含的结果数，代入公式计算即可． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉分别记为、、、， 画树状图如图： 故共有12种可能的结果，其中选中赵爽的结果有6种， 因此小明选中赵爽的概率为． 14. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．如果该司机原路返回甲地用时不超过，他返程的平均速度不能小于________． 【答案】70 【解析】 【分析】先根据去程的平均速度和时间计算甲乙两地的总路程，再设返程平均速度，根据返程用时不超过 列一元一次不等式求解，得到返程平均速度的最小值． 【详解】解：根据路程公式，甲乙两地的路程 ， 设司机返程的平均速度为 ，由速度的实际意义可知， 根据题意列不等式得 ， 解得 ， 故他返程的平均速度不能小于． 15. 如图，在菱形中，点E是的中点，连接交于点F，点G是的中点，连接并延长交于点H．（1）______；（2）若，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由菱形性质得且，利用求出，从而得． 先由菱形与等边三角形性质求出，，再过点作构造相似三角形求出，最后解直角三角形求． 【详解】（1）解：∵ 四边形为菱形， ∴ ，， ∵ 点为中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）∵ 四边形为菱形，，， ∴ ，， ∵ ，， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 由（1）知， 过点作交于点， ∵ 点为中点，， ∴， ∴为中点，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 过点作于点， 在中，，， ∴ ， ， ∴ ， 在中， ， ∴ ． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平方、零指数幂、立方根、二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 已知：如图，在△中，是的平分线，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ． ， ． ． ， 平行四边形是菱形． 18. 实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2是其侧面抽象示意图．立柱，且立柱垂直水平桌面，C为摄像头，可绕点B旋转．当与水平桌面平行时，投影线，摄像头的广角．求拍摄区域的宽度．（结果精确到，参考数据：，，． 【答案】拍摄区域的宽度约为 【解析】 【分析】通过作辅助线构造矩形和等腰三角形，利用三角函数即可求出拍摄区域的宽度． 【详解】解：如图，作于点F． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． 则拍摄区域的宽度约为． 19. 某校引入赋能的体育打卡平台，为全校学生打造良好的运动氛围．现随机抽取数名七年级学生，统计其使用该平台后某天运动打卡时长t（单位：小时），结果分为六组 (A：；B：；C：；D：；E：；F：)，整理数据后，绘制了如下不完整的统计图和统计表． 平均数 众数 中位数 方差 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：抽取的学生人数是________，________，抽取的F组的人数是________； （2）全校七年级共有600名学生，估计该天七年级学生运动打卡时长不少于小时的至少有____人；估计该天七年级学生运动打卡时长不少于2小时的有____人； （3）若该校八年级学生这天运动打卡时长的平均数、众数、中位数、方差分别为，，，，请结合统计数据对七、八年级学生的运动提出建议． 【答案】（1）200，30，20 （2）300，150 （3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）由条形图知D组人数为50，扇形图知D组占比，即可求出总人数；根据C组人数为60，即可求出占比；根据F组占比，即可求出人数； （2）根据中位数的定义和用样本估计总体即可解答； （3）结合统计量的意义，给出合理建议即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为：人； C组人数为60，占比为，因此； F组占比，因此F组人数：人． 【小问2详解】 解：样本中位数为，说明200个数据从小到大排列后，至少有100个数据不小于小时，占比， 估计全校600人中不少于小时的至少有：人； 不少于2小时为E组组，样本中人数为，占比， 估计七年级600名学生中不少于2小时的人数为：人． 【小问3详解】 解：八年级运动时长方差更大，说明不同学生运动时长差异较大，建议运动时长较短的同学加强锻炼； 七年级平均运动时长高于八年级，整体运动情况更好，同时八年级中位数更高，说明有一半以上八年级学生运动时长更长，鼓励七、八年级学生都向运动时长更长的同学学习，坚持运动．（合理即可） 20. 综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】活动一 定义“漂亮数”：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． （1）判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”. ①1，4，16____；②4，16，25____；③3，9，12____；④3，12，48____； 活动二 将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． （2）1，4，9是“漂亮数”， 2，8，18____（填“是”或“不是”）“漂亮数”． （3）结论：若a，b，c是“漂亮数”，则，，(，且k是整数) ____（填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 【答案】（1）是，是，否，是 （2）是 （3）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题为新定义综合题，根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可． 【小问1详解】 解：①∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． ②∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． ③∵不是整数， ∴这三个数不是“漂亮数”． ④∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． 【小问2详解】 解：∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． 【小问3详解】 解：∵，且k是整数， ∴，，， ∵a，b，c是“漂亮数”， ∴是整数， ∴是整数， ∴若a，b，c是“漂亮数”，则，，（，且k是整数）是“漂亮数”． 21. 如图，是的直径，C，D是上两点，是的切线，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是的切线和证明，从而得到，再利用外角关系和等边对等角证明，则求证可证； （2）作于点F，根据已知条件证明四边形是矩形．的半径为r，分别表示，在中，利用勾股定理构造方程求．再求出圆心角，求弧长即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图，作于点F． 则，． ∴四边形是矩形． ∴，． 设的半径为r，则，． 在中， ， ， 解得． ∴． ∴． ∴． ∴的长==． 22. 五一小长假前，某景区内一文创商店购进A，B两种文创产品各50件进行售卖，这两种产品的进货总价为7250元，B种产品的进货单价比A种产品的进货单价少15元． （1）求A，B两种产品的进货单价各是多少元； （2）商店将A种产品每件的售价定为120元，若商店销售这两种产品的利润不低于3500元，B种产品每件的售价最低定为多少元？ （3）由于这两种产品备受青睐，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两种产品共100件进行销售．若A种产品每件的售价仍定为120元，B种产品每件的售价按（2）中的最低定价．销售完这100件产品能否获利3700元?请说明理由． 【答案】（1）A，B两种产品的进货单价分别是80元、65元 （2）B种产品每件的售价最低定为95元 （3）销售完这100件产品不能获利3700元 【解析】 【分析】（1）设A种产品的进货单价是元，则B种产品的进货单价是元．根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设 B种产品每件的售价定为元．根据题意，列出不等式，解不等式即可求解． （3）设购进A种产品件，则购进B种产品件．根据题意得出一元一次方程求得的值，进而根据总费不超过7400元，列出一元一次不等式，求得的范围，比较大小即可求解． 【小问1详解】 解：设A种产品的进货单价是元，则B种产品的进货单价是元． 根据题意，得 ． 解得，． 所以． 答：A，B两种产品的进货单价分别是元、元． 【小问2详解】 解：设 B种产品每件的售价定为元． 根据题意，得 ． 解得， ． 答：B种产品每件的售价最低定为元． 【小问3详解】 解：设购进A种产品件，则购进B种产品件． 根据题意，得 ． 解得，． 根据题意，得 ， 解得，． 因为． 所以销售完这件产品不能获利元． 23. 在矩形中，点E是边上一动点，过点D作于点P，与边交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图1，若，，，求的长； （3）如图2，延长至点Q，使，连接，若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再结合角度的关系可得，由此可证明相似； （2） 根据三角形相似可得，可得，再设，结合勾股定理可求解m的值，由此可解的长度，结合可求解； （3）先证明与全等，由此可得， ，利用边相等可得 ，再证明与全等，可得．设 ，结合勾股定理可求解k的值，由此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴ ， ∴． 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 设，则， ． 在中，， 在中，． ∴． 解得，（不合题意，舍去）． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：如图3，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴ ． 又∵， 在与中， ∴． ∴， ． ∵ ， ∴． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴． ∴ ． ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， 在与中， ， ， ∴． 设 ，则 ， ． 在中，， ∴． ∴，即 ． 解得，（舍去）． ∴ ， ． ∴． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，抛物线的顶点为，点为轴下方抛物线上一动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图1，当点在直线下方且在点的右侧时，连接交于点，当时，求的值； （3）将此抛物线平移得到的新抛物线记为，设的顶点为，过点作轴的垂线交直线于点，交于点，设两点间的距离为． ①求关于的函数解析式； ②若点与点关于原抛物线的对称轴对称，连接，当随的增大而减小时，是否存在？若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线得，即可得抛物线解析式，再配方得顶点坐标 即可； （2）根据抛物线解析式得点坐标，结合点的坐标运用待定系数法求出直线表达式，由题意得，，结合表示出点的横纵坐标，并将其代入直线表达式 求出的值，注意验证的值是否符合题意； （3）①由题意得抛物线的解析式是，过点作轴的垂线方程是，，，由，结合得关于的函数解析式； ②由题意得，得，分段分析关于的函数的增减性，确定随的增大而减小时的取值范围，分情况计算时 的值，验证的值是否符合题意． 【小问1详解】 解：将代入抛物线， 得，， 解得，， 抛物线的解析式为：， ， ； 【小问2详解】 解：令得，， ， 设直线的表达式为：， 将，代入得，， 解得：， 直线的表达式为：， 由题意得，， 点在直线下方且在点的右侧， ， ， ，， 点在直线上， ， 整理得，， 解得，（舍）， ； 【小问3详解】 解：①新抛物线是由抛物线平移得到的，的顶点为， 抛物线的解析式为：， 过点作轴的垂线方程为：， 过点作轴的垂线交直线于点，交于点， ，， ， 点在轴下方， ， ； ②存在， 理由：点与点关于原抛物线的对称轴对称，原抛物线的对称轴为：直线， , ， 当时，，该抛物线开口向上，对称轴为：，此时随的增大而减小， 当时，，该抛物线开口向下，对称轴为：，在范围内随的增大而减小， 当时，，该抛物线开口向上，对称轴为：，此时随的增大而增大， 随的增大而减小， 或， 即， 情况1：当时，方程变为，，解得（舍）； 情况2：当时，方程变为，，解得（舍）； 综上所述，存在满足条件的值，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月中考适应性测试 数 学 试 题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1. 手机信号的强度（单位：）的值越接近0信号越强，则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是一款品茗杯，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 左视图与俯视图相同 C. 主视图与左视图相同 D. 三视图都相同 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. “明天下雨”这个事件是（ ） A. 确定事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 不确定事件 6. 以的对角线交点为原点建立平面直角坐标系，若点A的坐标为，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. 3 B. a C. D. 8. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，若有x家公司共签订了45份合同，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为( ) A. B. C. D. 10. 古代数学文化 《九章算术》记载：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”意思是有一道墙，高9尺，墙顶长了一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸（1尺=10寸）；墙脚长着瓠，瓠蔓每天长1尺．问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇．瓜蔓与瓠蔓离地面的高度h（单位：尺）与生长时间x（单位：天）的函数图象如图所示，则由图可知两图象交点P的横坐标是（ ） A. B. 5 C. D. 6 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 代数式ab可以表示不同实际问题中的数量关系，请举例说明：________． 12. 关于x的方程的两根分别为和，若，则_______． 13. 在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国4位著名数学家祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉之中，随机选取两位介绍其生平事迹，小明选中赵爽的概率是______． 14. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用 到达目的地．如果该司机原路返回甲地用时不超过 ，他返程的平均速度不能小于________． 15. 如图，在菱形中，点E是的中点，连接交于点F，点G是的中点，连接并延长交于点H．（1）______；（2）若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算：． 17. 已知：如图，在△中，是的平分线，，．求证：四边形是菱形． 18. 实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2是其侧面抽象示意图．立柱，且立柱垂直水平桌面，C为摄像头，可绕点B旋转．当与水平桌面平行时，投影线，摄像头的广角．求拍摄区域的宽度．（结果精确到，参考数据：，，． 19. 某校引入赋能的体育打卡平台，为全校学生打造良好的运动氛围．现随机抽取数名七年级学生，统计其使用该平台后某天运动打卡时长t（单位：小时），结果分为六组 (A：；B：；C：；D：；E：；F：)，整理数据后，绘制了如下不完整的统计图和统计表． 平均数 众数 中位数 方差 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：抽取的学生人数是________，________，抽取的F组的人数是________； （2）全校七年级共有600名学生，估计该天七年级学生运动打卡时长不少于小时的至少有____人；估计该天七年级学生运动打卡时长不少于2小时的有____人； （3）若该校八年级学生这天运动打卡时长的平均数、众数、中位数、方差分别为，，，，请结合统计数据对七、八年级学生的运动提出建议． 20. 综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】活动一 定义“漂亮数”：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． （1）判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”. ①1，4，16____；②4，16，25____；③3，9，12____；④3，12，48____； 活动二 将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． （2）1，4，9是“漂亮数”， 2，8，18____（填“是”或“不是”）“漂亮数”． （3）结论：若a，b，c是“漂亮数”，则，，(，且k是整数) ____（填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 21. 如图，是的直径，C，D是上两点，是的切线，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 五一小长假前，某景区内一文创商店购进A，B两种文创产品各50件进行售卖，这两种产品的进货总价为7250元，B种产品的进货单价比A种产品的进货单价少15元． （1）求A，B两种产品的进货单价各是多少元； （2）商店将A种产品每件的售价定为120元，若商店销售这两种产品的利润不低于3500元，B种产品每件的售价最低定为多少元？ （3）由于这两种产品备受青睐，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两种产品共100件进行销售．若A种产品每件的售价仍定为120元，B种产品每件的售价按（2）中的最低定价．销售完这100件产品能否获利3700元?请说明理由． 23. 在矩形中，点E是边上一动点，过点D作于点P，与边交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图1，若，，，求的长； （3）如图2，延长至点Q，使，连接，若，，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，抛物线的顶点为，点为轴下方抛物线上一动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图1，当点在直线下方且在点的右侧时，连接交于点，当时，求的值； （3）将此抛物线平移得到的新抛物线记为，设的顶点为，过点作轴的垂线交直线于点，交于点，设两点间的距离为． ①求关于的函数解析式； ②若点与点关于原抛物线的对称轴对称，连接，当随的增大而减小时，是否存在？若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $