寒假作业 07 一元二次方程的应用 专项练习 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册（甘肃专用）

___________月___________日 天气________ 用时________ 寒假作业 作业07 一元二次方程的应用 分层式学习 一、核心应用场景（高频考点） 1. 增长率/下降率问题 · 公式：（ 初始量， 增长率/下降率， 次数， 最终量） · 关键：明确“增长/下降”对应的“” “”，次数与时间单位一致（如年增长率对应年数）。 1. 利润最值问题 · 关系：总利润 = 单件利润×销售量，单件利润 = 售价 - 成本 · 关键：设变量（如涨价/降价元），列二次函数关系式，用顶点式求最值（注意自变量取值范围，需符合实际销量）。 1. 几何图形问题 · 常见类型：矩形面积、边框宽度、直角三角形边长（勾股定理）、圆形相关（面积/周长） · 关键：根据图形性质列等式，注意“边长为正”，舍去负根。 1. 传播问题 · 公式：（简化为， 传播效率， 最终传播总数） · 关键：区分“一传一” “一传多”模型，明确初始传播人数。 二、解题步骤（通用流程） 1. 审题：圈画关键词（如“增长” “利润” “面积”），确定应用类型； 1. 设元：选合适的未知数（直接设或间接设，优先让等式简洁）； 1. 列方程：根据数量关系/公式列一元二次方程； 1. 求解：用配方法、公式法或因式分解法，优先选简便方法； 1. 检验：舍去不符合实际意义的根（如负数、零、超出范围的数）； 1. 作答：规范写出答案，带单位。 三、易错点规避 1. 增长率问题中，“增长两次”是，而非； 1. 利润问题中，售价变动会同步影响单件利润和销售量，避免漏算销量变化； 1. 几何问题中，边长、宽度等需为正数，根的检验不可省略； 1. 设元时需注明单位，方程中单位要统一（如元、米）。 四、常用公式积累 1. 矩形面积：长宽（边框问题：新长=原长-2×边框宽，新宽=原宽-2×边框宽）； 1. 直角三角形：（已知周长/面积，求边长）； 1. 总利润公式：（ 售价， 成本， 基础销量， 销量变动系数）。 一、选择题 1. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（     ） A.12人 B.18人 C.9人 D.10人 2. 若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（     ） A.16 B.17 C.±16 D.±17 3. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2023年投入3 000万元.预计2025年投入5 000万元，设投入教育经费的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（     ） A. B. C. D. 4. 若两个连续正偶数的平方差为36，则这两个数为（     ） A.-8和 .8和10 C.8和-10 D.和10 5. 已知一个多边形有9条对角线，则这个多边形的内角和为（     ） A.720° B.900° C.1 080° D.1 260° 6. 如图所示，把底面直径为60 mm，高为200 mm的圆柱形钢材，锻压成底面为正方形，高为157 mm的长方体零件毛坯，那么零件毛坯的底面正方形的边长为（π取3.14）（     ） A.30 mm B.40 mm C.50 mm D.60 mm 7. 某商品经过两次降价，每瓶零售价由388元降为268元.已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（     ） A. B. C. D. 8. （2024·张掖期中）为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2021年的月退休金为4 500元，2023年达到5 160元.设李师傅的月退休金从2021年到2023年年平均增长率为x，所列方程为（     ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 某工厂6月份生产电视机5000台，8月份生产7200台，平均每月增长的百分数为______。 10. 为绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14 m，面积为3200 ，则操场长______m，宽______m。 11. 已知的面积是6，设其底边长是x，其对应的高比底小2，由三角形的面积公式可列方程：______。 12. 三个连续自然数，最大的一个数为，它比另外两个自然数的积还大1，则这三个自然数是______。 13. 一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方，如果这三位数比它的个位与十位数字的积的25倍大513，则这个三位数是______。 14. （2025·武威期中）有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感。如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么所列方程为______。 三、解答题 15. 面积是54 的长方形，一边剪短5 cm，另一边剪短2 cm后恰好是一个正方形，求正方形的边长。 16. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数。 17. （2023·定西月考）某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染，用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4轮感染后，被感染的电脑会不会超过7000台？ 18. 某汽车租赁公司有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，为适应市场需求，公司准备适当提高日租金，经调查发现一辆汽车的日租金每增加10元，每天出租的汽车会相应地减少6辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10元时，能使公司的日租金收入达到19440元？ 19.【教材P42习题T1变式】如图，有一幅长20 cm、宽12 cm的长方形图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 . 设竖彩条的宽度为 ，若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度. 20.【本课时T7（2）变式】如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33 m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5 m的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6 m（围栏宽忽略不计）. （1） 每个生态园的面积为 ，求每个生态园与墙平行的一边的长； （2） 每个生态园的面积能不能达到 ？ 若不能，请说明理由. 21.(2023·宛城区校级月考) 如图，在 中，，，. 点 从点 开始沿 边向点 以的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以的速度移动. （1） 如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？ （2） 如果点 ， 分别从点 ， 同时出发， 的面积能否等于 ？ 22. （2025·邯郸期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1) 问几秒后，的面积为． (2) 出发几秒后，线段的长为？ (3) 的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【点睛】设时间，用、，结合面积公式、勾股定理列方程，验根（正），判面积能否为22看二次函数最值。 建议用时：75分钟 学科网（北京）股份有限公司 $ch 日p00 月一日天气用时 寒假作业 作业07一元二次方程的应用 分层式学习 积累运用 一、核心应用场景（高频考点） 1.增长率/下降率问题 o公式：a(1±x)n=b(a初始量，x增长率/下降率，n次数，b最终量) 。关键：明确“增长/下降”对应的“+”“_”，次数与时间单位一致（如年增长率对 应年数)。 2.利润最值问题 。关系：总利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-成本 。关键：设变量（如涨价/降价x元），列二次函数关系式，用顶点式求最值（注意自变量 取值范围，需符合实际销量)。 3.几何图形问题 。常见类型：矩形面积、边框宽度、直角三角形边长（勾股定理）、圆形相关（面积/周长） 。关键：根据图形性质列等式，注意“边长为正”，舍去负根。 4.传播问题 0公式：1+x+x(1+x)=n(简化为(1+x)2=n,x传播效率，n最终传播总数) 。关键：区分“一传一”“一传多”棋型，明确初始传播人数。 二、解题步骤（通用流程） 1.审题：圈画关键词（如“增长”“利润”“面积”），确定应用类型： 2.设元：选合适的未知数（直接设或间接设，优先让等式简洁）： 3.列方程：根据数量关系/公式列一元二次方程： 4.求解：用配方法、公式法或因式分解法，优先选简便方法： 5.检验：舍去不符合实际意义的根（如负数、零、超出范围的数）： ch 日P00 0日gD 月 日天气 用时 寒假作业 6.作答：规范写出答案，带单位。 三、易错点规避 1.增长率问题中，“增长两次”是(1+x)2,而非1+2x: 2.利润问题中，售价变动会同步影响单件利润和销售量，避免漏算销量变化： 3.几何问题中，边长、宽度等需为正数，根的检验不可省略： 4.设元时需注明单位，方程中单位要统一（如元、米）。 四、常用公式积累 1.矩形面积：长宽S=长×宽（边框问题：新长=原长-2×边框宽，新宽=原宽-2×边框宽)： 2.直角三角形：a2+b2=c2(已知周长/面积，求边长)： 3.总利润公式：y=(p-c)(m-kx)(p售价，c成本，m基础销量，k销量变动系数)。 培优训练 一、选择题 1.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有() A.12人 B.18人 C.9人 D.10人 2.若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为() A.16 B.17 C.±16 D.±17 3.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2023年投入3000万元.预计2025年投入5000 万元，设投入教育经费的年平均增长率为x,则所列方程正确的为() A.3000(1+x)2=5000 B.3000x2=5000 C.3000(1+x%)2=5000 D.3000(1+x)+3000(1+x)2=5000 4.若两个连续正偶数的平方差为36，则这两个数为() A.-8和-10 B.8和10 ch 日P00 0日gD 日天气 用时 寒假作业 C.8和-10 D.-8和10 5.已知一个多边形有9条对角线，则这个多边形的内角和为() A.720° B.900° C.1080 D.1260 6.如图所示，把底面直径为60mm,高为200mm的圆柱形钢材，锻压成底面为正方形，高为157mm 的长方体零件毛坯，那么零件毛坯的底面正方形的边长为（π取3.14）() A.30 mm B.40 mm C.50 mm D.60 mm 7.某商品经过两次降价，每瓶零售价由388元降为268元.己知两次降价的百分率相同，设每次降价的 百分率为x,根据题意列方程得() A.388(1+x)2=268 B.388(1-x)2=268 C.268(1-2x)=388 D.268(1+x)2=388 8.(2024·张掖期中)为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2021 年的月退休金为4500元，2023年达到5160元.设李师傅的月退休金从2021年到2023年年平均增长 率为x,所列方程为() A.5160(1-x)2=4500 B.4500(1+x)2=5160 C.4500(1-x)2=5160 D.4500+4500(1+x)+4500(1+x)2=5160 二、填空题 9.某工厂6月份生产电视机5000台，8月份生产7200台，平均每月增长的百分数为 10.为绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14m,面积为3200m2,则操场长m 宽 m。 11.已知△ABC的面积是6，设其底边长是x,其对应的高比底小2，由三角形的面积公式可列方程： cmh 日P0a 0日gD 月 日天气 用时」 —寒假作业 12.三个连续自然数，最大的一个数为n+2,它比另外两个自然数的积还大1，则这三个自然数是 13.一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方，如果这 三位数比它的个位与十位数字的积的25倍大513，则这个三位数是 。 14.(2025·武威期中)有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感。如果 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么所列方程为一。 三、解答题 15.面积是54cm的长方形，一边剪短5cm,另一边剪短2cm后恰好是一个正方形，求正方形的边 长。 16.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数。 17.(2023·定西月考)某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100台电脑被感染，用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控，4轮感染后，被感染的电脑会不会超过7000台？ 18.某汽车租赁公司有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，为适应市场需求，公司准备适当提 高日租金，经调查发现一辆汽车的日租金每增加10元，每天出租的汽车会相应地减少6辆。若不考虑 其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10元时，能使公司的日租金收入达到19440元？ +++++ 日P00 oo 0 o 月 日天气 用时 寒假作业 19.【教材P42习题T1变式】如图，有一幅长20cm、宽12cm的长方形图案，其中有一横两竖的彩条，横、 竖彩条的宽度比为3：2.设竖彩条的宽度为×cm,若图案中三条彩条所占面积是图案面积的子求横、竖 彩条的宽度. 20 20.【本课时T7(2)变式】如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m的围栏建两个面积 相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5m的门，能够建生态园的场 地垂直于墙的一边长不超过6m(围栏宽忽略不计) (1) 每个生态园的面积为48m2,求每个生态园与墙平行的一边的长： (2)每个生态园的面积能不能达到108m2？若不能，请说明理由. 21.(2023·宛城区校级月考)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始 沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， (1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2? (2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，△PBQ的面积能否等于7cm2? P >厂5☒ +++++ 日P0a 日天气用时 寒假作业 素养提升 22.(2025·邯郸期末)如图，在1.1B(中，∠B-9)°，1B-以11，B(一12c1,若点P从点.1沿.1B 边向点B以1心的速度移动，点从点B沿B(边向点（以心m的速度移动，两点同时出发. (①)问几秒后，PB)的面积为1c. (②)出发几秒后，线段P0的长为5c? (3)1PB)的面积能否为2m？若能，求出时间；若不能，请说明理由. 【点睛】设时间t,用PB=9-t、BQ=2t,结合面积公式、勾股定理列方程，验根（正），判面积能 否为22看二次函数最值。 建议用时：75分钟 2T6☒ 作业07 一元二次方程的应用 答案解析 分层式学习 一、选择题 1. C · 解析：设小组有人，每人送张贺卡，总贺卡数为，解得（舍去负根），故选C。 1. C · 解析：设较小奇数为，则，解得或，两数和为或，故选C。 1. A · 解析：2023年到2025年共2年，年平均增长率为，则，符合增长率公式，故选A。 1. B · 解析：设较小偶数为，则，化简得，解得，两数为8和10（正偶数，舍去负根），故选B。 1. A · 解析：设多边形边数为，对角线公式为，解得，内角和为，故选A。 1. D · 解析：锻压前后体积不变，圆柱体积，长方体体积，解得，故选D。 1. B · 解析：两次降价，原价388元，现价268元，降价百分率为，则，故选B。 1. B · 解析：2021年到2023年共2年，月退休金从4500元增长到5160元，则，故选B。 二、填空题 1. 20% · 解析：设月增长率为，，解得（舍去负根）。 1. 64；50 · 解析：设宽为，长为，则，解得（舍去负根），长为。 1. · 解析：底为，高为，三角形面积公式底高，列方程得。 1. 3，4，5 · 解析：三个数为，，，则，解得（舍去负根），故为3，4，5。 1. 963 · 解析：设个位为，十位为，百位为，三位数为，列方程，解得，三位数为963。 1. · 解析：一轮传染后人患病，二轮后，符合传播问题公式。 3、 解答题4cm（6分） 15.解析：设正方形边长为，则原长方形长，宽，列方程，解得（舍去负根）。 16.10%（6分） · 解析：设每次降价百分率为，，解得（舍去负根）。 17.每轮感染10台；4轮后超过7000台（8分） · 解析：①设每轮感染台，，解得（舍去负根）；②4轮后感染数为，故超过。 18.2个或3个（8分） · 解析：设提高个10元，日租金收入，化简得，解得或。 19.横彩条3cm，竖彩条2cm（8分） · 解析：竖彩条宽，横彩条宽，彩条面积，解得（舍去负根），横彩条宽。 20.(1)12m；(2)不能（10分） · 解析：(1)设与墙平行边长为，垂直边长为，面积，解得（符合垂直边长≤6）；(2)若面积108，，判别式，无解，故不能。 21.(1)1秒或4秒；(2)不能（8分） · 解析：(1)设秒后面积为4，，解得或；(2)若面积7，，判别式，无解，故不能。 22.【答案】 （1）出发3秒或6秒后，的面积为； （2）出发秒或2秒后，线段的长为； （3）的面积不能为. 【解析】 （1） 解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发3秒或6秒后，的面积为． （2） 解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或2秒后，线段的长为． （3） 解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 学科网（北京）股份有限公司 $