寒假作业 01 二次根式 专项练习 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册（甘肃专用）

H出 日天气 用时 寒假作业 作业01二次根式 分层式学习 积累运用 一、二次根式的概念 1.二次根式的定义：形如同（其中Q≥0）的式子叫做二次根式，“√厂”是二次根号，被开 方数a必须是非负数（正数或0）。 二、二次根式的性质 二次根式是特殊的代数式，除了满足代数式的基本运算规则外，还具有以下特殊性质： 1.双重非负性：√a≥0（二次根式的结果是非负数），且a≥0（被开方数非负）； 2.平方性质：(@2=a(a≥0)； 3.开方性质：Va2=la(a为任意实数)。 三、二次根式的有意义条件 判断二次根式是否有意义，核心是保证被开方数非负： 1.若式子为a,则a≥0时式子有意义； 2.若式子含多个二次根式（如√x-工+√2-x),则需所有被开方数同时非负（即x-1≥0 且2-x≥0)。 四、二次根式的判定 满足以下条件的式子是二次根式： 1.含有二次根号“ (根指数默认是2，省略不写)； 2.被开方数的值是非负数(a≥0)。 反例：V一3（被开方数为负，不是有效二次根式）、5（根指数是3，是三次根式）。 培优训练 一、选择题 1.x是任何实数，下列式子恒有意义的是() A.V4 B.Vx-1 C.V2x D.√x2+4 日天气 用时 寒假作业 2.下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是() A. 1 “x-2 B.x-2 C.Vx-2 D.V2-x 3.已知a为实数，那么V一a2等于() A.a B.-a C.-1 D.0 4.计算√(-3)2的结果是() A.-3 B.3 C.-9 D.9 5.已知一个正方形的面积为5，则它的边长是() A.5 B.V5 C.+V5 D.-√5 6.已知(x-y+3)2+√2x+y=0,则x+y的值为() A.0 B.-1 C.1 D.5 7.若√(x-1)2=x-1,则x的取值范围是() A.x≥1 B.X≤1 C.x>1 D.x<1 8.有下列各式：①a2=|a:②Vx2-3:③2+a:④-5<0；⑤W16;⑥π。其中代数式的个数是 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 9.计算：(2V3)2= 10.使√6+n为整数的自然数n的最小值为。 11.若y<0,V75x3y=。 12.若3，m,5为三角形三边长，则√(2-m)7-√m-8)2=。 13.★已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足关系式√C2-a2-bZ+|a-b=0,则△ABC的形状为 三、解答题 14.计算： (2)(5V22: >T2☒ H出 B ooO 月 日天气 用时 寒假作业 (3)(Va-1)2(a≥1)： (4)(-V5)2。 15.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)V3x-2: 1 (2)+ 3)v2x-1- 16.★已知实数m,n满足等式m=vn+18+n. (1)当m=6时，求n的值. (2)若m,n都是正整数，求n的最小值. 17.★★阅读下列材料： 我们在学习二次根式时，式子V有意义，则x≥0：式子√一x有意义，则X≤0：若式子√+V一x 意义，求X的取值范围。这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于X的不等式组{X,的解 集，解这个不等式组得X=0。 请你运用上述的数学方法解决下列问题： (1)式子Vx2-1+V1-x2有意义，求x的取值范围： (2)己知y=Vx-2+V2-x-3,求xy的值。 >T☒ H出 B ooO 月 日天气 用时 寒假作业 18.应用公式a+b±2Wab=(Wa±Vb)2(a≥0，b≥0)，计算： (1)V3+2W2: (2)V5-2W6 素养提升 19.★★★【新中考·解题方法型阅读理解题】先阅读，再解答问题： 当×为何值时， Vx(x-3)有意义？ 解：要使该二次根式有感义，需x《-3)≥0，由突数的乘法法则，得”30或 {00解得x≥3或x三0.音a≥3或x三0时，-可有志又. 体会解题思想后，请你解答：当x为何值时， 1有意义？ V3x+6 建议用时：45分钟 >T4☒___________月___________日 天气________ 用时_________寒假作业 作业01 二次根式 分层式学习 一、二次根式的概念 1. 二次根式的定义：形如 （其中 ）的式子叫做二次根式，“”是二次根号，被开方数 必须是非负数（正数或0）。 二、二次根式的性质 二次根式是特殊的代数式，除了满足代数式的基本运算规则外，还具有以下特殊性质： 1. 双重非负性：（二次根式的结果是非负数），且 （被开方数非负）； 1. 平方性质：（）； 1. 开方性质：（ 为任意实数）。 三、二次根式的有意义条件 判断二次根式是否有意义，核心是保证被开方数非负： 1. 若式子为 ，则 时式子有意义； 1. 若式子含多个二次根式（如 ），则需所有被开方数同时非负（即 且 ）。 四、二次根式的判定 满足以下条件的式子是二次根式： 1. 含有二次根号“”（根指数默认是2，省略不写）； 1. 被开方数的值是非负数（）。 反例：（被开方数为负，不是有效二次根式）、（根指数是3，是三次根式）。 一、选择题 1.x是任何实数，下列式子恒有意义的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列四个式子中，x的取值范围为的是（     ） A. B. C. D. 3. 已知a为实数，那么等于（     ） A.a B. -a C. -1 D.0 4. 计算的结果是（     ） A. -3 B.3 C. -9 D.9 5. 已知一个正方形的面积为5，则它的边长是（     ） A.5 B. C. D. 6. 已知，则的值为（     ） A.0 B. -1 C.1 D.5 7. 若，则x的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥。其中代数式的个数是（     ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 9. 计算：______。 10. 使为整数的自然数n的最小值为______。 11. 若，______。 12. 若3，m，5为三角形三边长，则______。 13. 已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为____________。 三、解答题 14. 计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 15. 当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； （2） ； （3） 。 16. 已知实数m，n满足等式． (1)当时，求n的值． (2)若m，n都是正整数，求n的最小值。 17. 阅读下列材料： 我们在学习二次根式时，式子有意义，则；式子有意义，则；若式子有意义，求的取值范围。这个问题可以转化为不等式组来解决，即求关于的不等式组的解集，解这个不等式组得。 请你运用上述的数学方法解决下列问题： （1） 式子有意义，求的取值范围； （2） 已知，求的值。 18. 应用公式（，），计算： （1） ； （2） 。 19. 【新中考·解题方法型阅读理解题】先阅读，再解答问题： 当x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需0，由实数的乘法法则，得或 解得或．当或时，有意义． 体会解题思想后，请你解答：当x为何值时，有意义？ 建议用时：45分钟 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $作业01二次根式答案解析 分层式学习 培优训练 一、选择题 1.答案：D 解析： ·A:√4的被开方数-4<0，无意义； ·B:k-1需x≥1，非任意实数有意义： ·C:V2x需x≥0，非任意实数有意义； ·D:x2+4≥4>0(x为任意实数时，x2非负)，故V2+ 2.答案：C 解析： (x-2≥0 ●A: 竖需x-2≠0，即x>2: ·B:2需x-2>0,即x>2: ·C:x-2需x-2≥0，即x≥2； ·D:V2-x需2-x≥0，即x≤2。 3.答案：D 解析：Va2有意义，需-a2≥0，即a2≤0。又a2≥0，故a=0, 4.答案：B 解析：根据=日，3==3。 5.答案：B 4恒有意义。 因此ya2=V6=0。 解析：正方形边长为正数，面积=边长2，故边长=5（负数不符合实际意义）。 6.答案：C 解析：平方数和二次根式均非负，和为0则各自为0： x-y+3=0 「X=-1 {2x+y=0，解得{y=2,故x+y=-1+2=1。 7.答案：A 解析： x-1=k-已知x-1=x-1,则x-1≥0，即x≥1 8.答案：C 解析：代数式是用运算符号连接的式子（不含等号、不等号）： ②Wx2-3、③2+a、⑤W16、⑥π是代数式，共4个（①是等式，④是不等式）。 二、填空题 9.答案：12 解析：(23°=22×(3=4×3=12。 10.答案：3 解析：设V6+n=k(k为自然数)，则n=k2-6。k最小取3时，n=32-6=3 (k=2时n=-2非自然数)。 11.答案：-5xW3xy 解析：V75x3y=V25x2.3xy=5W3xy。 因y<0,被开方数75x3y≥0，故x3≤0，即x≤0，x=-x,因此化简为-5xW3xy。 12.答案：2m-10 解析：由三角形三边关系，5-3<m<5+3,即2<m<8。 2-m=k-m=m-2,《m-8=hm-=8-m,放和为m-2)-8-m=2m-10。 13. 答案：等腰直角三角形 解析：非负数和为0则各自为0： 。Vc2-a2-b2=0→c2=a2+b2(直角三角形)； ·a-b=0→a=b(等腰)，故为等腰直角三角形。 三、解答题 14.计算 1)() 答案： 解析：a=a得()= 2)52 答案：50 解析：52×(2=25×2=50。 (3)a-a≥ 答案：a-1 解析：a≥1时a-1≥0，(a=a得(a-1=a-1。 (4(52 答案：5 解析：（-°=(52=5。 15.求x的取值范围 (1)V3x-2 答案：x≥ 解析：被开方数3x-2≥0→x≥号。 (2) 答案：x>-1 解析：需≥0且x+1≠0，即x+1>0→x>-1。 (3)V2x-1- 答案：x≥专且x≠1 解析：V2x-1需x≥，寺需x≠1，取交集得结果。 16.解答 (1)当m=6时，求n的值 答案：n=2 解析：6=yn+18+n→Vn+18=6-n,平方得 n+18=36-12n+n2→n2-13n+18=0,解得n=2(n=9时6-n=-3<0,舍 去)。 (2)求n的最小值 答案：n=7 解析：设√n+18=k(k为正整数)，则n=k2.18,m=k+k2-18。 n为正整数，故k2>18,k≥5。k=5时，n=25-18=7(正整数)，故n最小值 为7。 17.解答 (1)式子2-1+V1-x2有意义，求x的取值范围 答案：x=士1 x2-1≥0 解析：需1-x2≥0 →2=1→x=士1。 (2)求x的值 答案： x-2≥0 解析： 需{2X≥0→x=2,代入得y=-3,故xΨ=23=。 18.应用公式计算 (1)V3+22 答案：2+1 解析：3+2W2=2+1+22×1=(5+V,故3+2V2 (2)5-2W6 答案：5-v2 解析：5-26=3+2-23×2=(5-V②，故5-2W6=3 19.阅读理解题 答案：x≥1或x<-2 解析：要使√器有意义，需： 1.被开方数非负：≥0： 2.分母不为0：3x+6≠0→x≠-2。 分情况讨论： x-120 。分子分母均正： (3x+6>0 →x21; ∫x-1≤0 。分子分母均负： (3x+6<0 →X<-2。 V2+1。 v2。