寒假作业 03 二次根式的加减 专项练习 2025--2026学年 华东师大版九年级数学上册（甘肃专用）

H出 B ooO 月 日天气■ 用时」 寒假作业 作业03二次根式的加减 分层式学习 积累运用 一、核心法则：先化简，再合并 二次根式的加减运算，本质是合并同类二次根式，步骤为： 1.化简：将所有二次根式化为最简二次根式（满足：①被开方数不含分母：②被开方数不含能开得 尽方的因数/因式)： 2.判断：识别“同类二次根式”（被开方数相同的最简二次根式，如23与5V3: 3.合并：同类二次根式的系数相加减，被开方数不变（如2V5+5V3=(2+5)v3=73) 二、关键概念：同类二次根式 ·定义：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 ·示例：√12=23，√27=3V5,二者是同类二次根式；√2与V3不是同类二次根式（被开方数不 同)。 三、常用化简技巧 1.分解因数/因式：将被开方数拆为“平方数×非平方数”，如V48=√16×3=43； 2分母有理化：若被开方数合分导，西化为“分子含根号、分母为整数”，如目-兰 四、易错点提醒 1.非同类二次根式不能合并：如2+3无法合并，不能写成5： 2.未化简直接合并：如V⑧+V1⑧儒先化为2W2+3V2,再合并为5√2： 3.符号错误：合并时注意系数的正负，如3V5-5√5=(3-5)V5=-2W5。 培优训练 一、选择题 1.下列根式中，化简后与3V2的被开方数相同的是() A.V12 B.V⑧ C./6 D.V3 H出 一月一日天气用时 寒假作业 2.a=2,则2Va-+的值为() a-va A.4V-3 B.3-4y2 C.-3 D.4v2 3.ab=√2，a-b=2-1,则(a+1)(b-1)等于() A.6W2-2 B.6v2+2 C.4V2 D.0 4.下列运算正确的是() A.Vx+V√2x=V3x B.3V3-2V5=1 c.2+V5=2√3 D.(1-V2)(-1-2)=1 5.化简V3-V3(1-V3)的结果是() A.3 B.-3 C.v3 D.-V3 6计算×+(W2的结果为() A.2+V2 B.V2+1 C.3 D.5 7.下列各组根式是同类二次根式的为() A.ava与2V3a B.V2a与V3a2 c.V3a2与v3a D2a5a月 8.已知m=√3+√2，n=√3-√2，则代数式√m2+n2-mm的值为() A.9 B.±3 C.3 D.5 二、填空题 9.(2VE+3V)(-2WE+3V列)= 10.已知最简二次根式V2b+1和√7-b的和是一个二次根式，那么b=,它们的和是 1计算：(（作va-v)= 12.计算(2+V3)2014(2-V3)2014的结果为 l3.规定运算：a*b=|a-bL,其中a,b为实数，则V7*3+√7= H出 B ooO 一月日天气 用时。 寒假作业 三、解答题 14.【二次根式的混合运算】计算： (1)(2024天水月考改编) V20+v5 √5 V点×vm 解方任：+2+-10： 3)V⑧÷V3-×V匝+24， 4)(5+1W3-1)+24-(佾°； (5)x(x+2)+(x-1)2: (6)-22+(π-3.14)°-N2-2 15.先化简，再求值： 0）(2023平凉期卡)2年+4共中a=-V万+1，b=V5, (2)x242y4y2 22其中x=V3+1,y=V3-1. 16.★为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公 园.己知正方形ABFE和正方形GFCH的面积分别为：250m,90m2,则该公园的总面积为多少？ E A D H B F 17.★★【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读下列材料，然后回答问题 在运行二次根式化简时，友们有时会酸上如房、层品这择约式子，英安我们还可以培共连一步化 5+1 简： >T,☒ H出 B ooO 日天气用时 寒假作业 ① 3 %=V6 = 5 ② 层= 2- 3 2 2×(W3-1) ③ 3+1(W3+1)(3-1) 23-1) (W3)2-12 =V3-1 2 ④ 3-1(32-12 3+1V3+1V3+1 =3+15==V3-1 V3+1 以上四种化简的方法叫做分母有理化. 2 (1)请用两种不同的方法化简5+V 1 1 1 (2)化简：V5+1+V5+V+V4V店+…+ V2n+1+V2n-1 素养提升 18.★★★【新课标·类比法计算】类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法. 【回顾旧知，类比求解】 解方程：Vx-1=2 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程x-1=4,解这个方程，得x=5.经检验，x=5是原方 程的解 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： (1)Vx+2-3=0: (2)V9x2+7x=3x-1. 建议用时：60分钟 >T4☒___________月___________日 天气________ 用时________ 寒假作业 作业03 二次根式的加减 分层式学习 一、核心法则：先化简，再合并 二次根式的加减运算，本质是合并同类二次根式，步骤为： 1. 化简：将所有二次根式化为最简二次根式（满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数/因式）； 1. 判断：识别“同类二次根式”（被开方数相同的最简二次根式，如与）； 1. 合并：同类二次根式的系数相加减，被开方数不变（如）。 二、关键概念：同类二次根式 · 定义：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 · 示例：，，二者是同类二次根式；与不是同类二次根式（被开方数不同）。 三、常用化简技巧 1. 分解因数/因式：将被开方数拆为“平方数×非平方数”，如； 1. 分母有理化：若被开方数含分母，需化为“分子含根号、分母为整数”，如。 四、易错点提醒 1. 非同类二次根式不能合并：如无法合并，不能写成； 1. 未化简直接合并：如需先化为，再合并为； 1. 符号错误：合并时注意系数的正负，如。 一、选择题 1. 下列根式中，化简后与的被开方数相同的是（     ） A. B. C. D. 2. ，则的值为（     ） A. B. C. -3 D. 3. ，，则等于（     ） A. B. C. D.0 4. 下列运算正确的是（     ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（     ） A.3 B. -3 C. D. 6. 计算的结果为（     ） A. B. C.3 D.5 7. 下列各组根式是同类二次根式的为（     ） A.与 B.与 C.与 D.与 8. 已知，，则代数式的值为（     ） A.9 B. C.3 D.5 二、填空题 9. __________. 10. 已知最简二次根式和的和是一个二次根式，那么________，它们的和是________. 11. 计算：__________. 12. 计算的结果为________________. 13. 规定运算：，其中，为实数，则__________. 三、解答题 14. 【二次根式的混合运算】计算： （1）（2024天水月考改编） ； （2） 解方程： ； （3） ； （4）； （5）； （6） 15. 先化简，再求值： （1）（2023平凉期中） ，其中 ，； （2） ，其中 ，。 16. 为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形ABFE和正方形GFCH的面积分别为：250m²，90m²，则该公园的总面积为多少？ 17. 【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上四种化简的方法叫做分母有理化. （1） 请用两种不同的方法化简； （2） 化简：. 18. 【新课标·类比法计算】类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程，解这个方程，得．经检验，是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： (1) ； (2) ． 建议用时：60分钟 ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $作业03二次根式加减答案解析 分层式学习 培优训练 一、选择题 1.答案：B 解析：化简各选项： ·A.V12=23(被开方数3，与3V2的2不同)： 。B.√8=22（被开方数2，与3V2相同）； 。C.V6(被开方数6，不同)； 。D.V3(被开方数3，不同)。 2.答案：A 解析：代入a=2,原式222-2+2 2-V2 22-、2 2-V2 2 2(2+V2 分母有理化： 2-V2(2-92)(2+V2) =2+2: 故原式2V2-(2+2)=4V2-3。 3.答案：D 解析：展开(a+1)(b-1)=ab-a+b-1=ab-(a-b)-1: 代入ab=2,a-b=V2-1,得2-(V2-1)-1=0。 4.答案：D 解析： ·A:Vx与2x不是同类二次根式，不能合并： ·B:3V3-23=V3≠1： ·C:2与3不是同类二次根式，不能合并： 。D:用平方差公式：(1-V2)(-1-V2)=,正确。 5.答案：A 解析：展开3-3(1-3)=3-3+3=3。 1 6.答案：C 解析： 8×日8×4=2： 零指数幂：乙： 原式2+1=3。 7.答案：D 解析：化简后判断同类二次根式： 。A:aa与}3a(被开方数a和3a不同)： ·B:V2a与3a=iav3(被开方数2a和3不同)； ·C:3a=乙aV3与3a3=iav3a(被开方数3和3a不同)； D:2aRa与a日aa(被开方数均为0，是同类二次根式)。 8.答案：C 解析： 。m+n=(3+V2)+(3-V2)=23: ·mn=(3+V2)(3-V2)=3-2=1; ●m2+n2-mn=i: 故m2+n2-mn=9=3。 二、填空题 9.答案：9y-4x 解析：用平方差公式：。 10.答案：2；25 解析：最简二次根式的和为二次根式，说明是同类二次根式，故2b+1=7-b, 解得b=2; 代入得5+5=25： 1.答案：0号a+时0 解析：用完全平方公式展开：。 12.答案：1 解析：逆用积的乘方：。 13.答案：3 解析：按定义7*3=d7-3V3-7(V7≈2.64<3)： 原式3-7+V7=3。 三、解答题 14.二次根式混合运算 (1)答案：1 解析： ● 920+5-25+5=3: 5 V5 1 ×12=4=2: 3 原式乙3-2=1. (2)答案：x=2 解析：化简(x>0): ·x2=2x,2登=2x,18x=392g 2 合并得5V2x=10-2x=2→2x=4=x=2(检验成立)。 (3)答案：4+6 解析： 。48÷3=V16=4: ● 份x12=6 。V24=26: 原式4-V6+26=4+V6。 (4)答案：1+26 解析： ·平方差：(3+1)(3-1)=3-1=2： ·24=26: ·零指数幂：乙： 原式(2+2V6-1=1+26。 3 (5)答案：2x2+1 解析：展开合并：x2+2x+x2-2x+1=2x2+1. (6)答案：-5+2 解析： 。-22=-4: ·i: 。2-2v元2-92： 原式-4+1-(2-2)=-5+2。 15.先化简，再求值 (1)答案：3 2a+2b 、2 解析：化简爱+2b+ba+b,原式6，+1二3 a+b'a+ba+bi =3。 代入a=-2+1,b=2,a+b=1,得 (2)答案：3 解析：化简+2y+y=X+y x2-y7 x-y 代入x=3+1,y=3-1,得23=5。 16.公园总面积 答案：400m2 解析： ·正方形ABFE边长：250=510： ·正方形GFCH边长：V90=310: 。长方形长：5V10+3V10=810,宽：5V10: 。面积：810×510=40×10=400。 17.分母有理化 (1)方法一（平方差）： 2 2(5-3) 5+36+353=5-3, 方法二（拆分子）： 4 2 5-3-5-3)(5+3=5-3. 5+35+3 5+3 (2)答案： 2n+1-1 3 解析：裂项相消：2k+1+2k-1 1 2k+1-V2k-1 原式2I3-1)+(5-3)++2n+1-2n-1]=2n*1-1 2 素养提升 18.解方程 (1)答案：x=7 解析：移项得x+2=3,平方得x+2=9,解得x=7(检验成立)。 (2)答案：无实数解 解析： 。定义域：3x-1≥0=x≥ 1 3 。平方得9x+7x=9X-6x41-13x=1=X=d ·检险：X=名行不满足定义域，故无实根 5